面面垂直的判定习题课

面面垂直的判定习题课目录contents引言面面垂直的定义与性质典型例题解析解题思路与方法总结互动环节：学生提问与讨论课后作业与自测题01引言面面垂直是立体几何中的重要概念在立体几何中，面面垂直是研究空间图形性质的基础，对于理解空间图形的结构、性质和计算具有重要意义。判定方法多样性面面垂直的判定方法有多种，包括定义法、向量法、三垂线定理及其逆定理等，这些方法各有特点，适用于不同的问题情境。学生掌握情况学生在前面已经学习了线面垂直、面面平行的判定和性质，对于空间图形的认知有了一定的基础，但对于面面垂直的判定方法可能还不够熟练，需要通过习题课进行巩固和提高。课程背景掌握面面垂直的定义、判定定理和性质定理，能够运用所学知识解决相关问题。知识与技能过程与方法情感态度与价值观通过独立思考、小组合作、教师指导等多种学习方式，提高学生的空间想象能力和逻辑推理能力。培养学生严谨、细致的学习态度，体会数学在解决实际问题中的应用价值。030201教学目标介绍面面垂直的定义及符号表示，引导学生理解其含义。面面垂直的定义详细讲解面面垂直的判定定理，包括定义法、向量法、三垂线定理及其逆定理等，并给出严格的证明过程。判定定理及其证明介绍面面垂直的性质定理，如两个平面垂直则它们的法线也垂直等，并通过实例说明其应用。性质定理及其应用选取具有代表性的例题进行详细解析，帮助学生掌握解题方法和技巧。典型例题解析教学内容02面面垂直的定义与性质如果两个平面相交，且它们的法线向量互相垂直，则称这两个平面互相垂直。两平面垂直如果一条直线与一个平面内的任意两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直。面与直线垂直面面垂直的定义如果两个平面互相垂直，那么它们的法线向量也互相垂直。性质一如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线所在的任意平面也与这个平面垂直。性质二如果两个平面都垂直于第三个平面，那么这两个平面互相平行或在同一条直线上。性质三面面垂直的性质如果一个平面的垂线与另一个平面平行，那么这两个平面互相垂直。判定定理一如果一个平面内的一条直线与另一个平面垂直，且这条直线不在第一个平面的边界上，那么这两个平面互相垂直。判定定理二如果两个平面的法线向量互相垂直，且这两个平面有公共点或公共直线，那么这两个平面互相垂直。判定定理三面面垂直的判定定理03典型例题解析题目描述已知平面$alpha$和$beta$，若直线$l$在$alpha$内，且$lperpbeta$，求证：$alphaperpbeta$。解析过程根据面面垂直的判定定理，若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。因此，由已知条件$lperpbeta$且$l$在$alpha$内，可得$alphaperpbeta$。例题一：基础题型题目描述在四棱锥$P-ABCD$中，底面$ABCD$是矩形，侧棱$PAperp$底面$ABCD$，且$PA=AB=1$，$AD=sqrt{2}$，$E$是$PD$的中点。求证：平面$AEBperp$平面$PCD$。解析过程首先，由已知条件可得，$PAperpCD$且$ADperpCD$，因此$CDperp$平面$PAD$。又因为$AEsubset$平面$PAD$，所以$CDperpAE$。其次，由已知条件可得，$trianglePAD$是等腰直角三角形，且$E$是斜边中点，因此$AEperpPD$。最后，由直线与平面垂直的判定定理可知，若一条直线同时垂直于平面内的两条相交直线，则该直线与此平面垂直。因此，由上述推导可知，$AEperp$平面$PCD$。又因为直线$AEsubset$平面$AEB$，所以平面$AEBperp$平面$PCD$。例题二：综合题型题目描述在正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，棱长为1。求证：平面$AB_1Cperp$平面$BC_1D_1D$。要点一要点二解析过程首先，由正方体的性质可知，对角线BD与AC互相垂直且平分。又因为棱长相等，所以四边形$BC_1D_1D$是正方形。因此，对角线BD与对角线BC_1互相垂直且平分。其次，由已知条件可得，直线AB_1与直线BC_1相交于点B。最后，由面面垂直的判定定理可知，若一个平面过另一个平面的垂线且两平面有交点，则这两个平面垂直。因此，由上述推导可知，平面AB_1C与平面BC_1D_1D垂直。例题三：拓展题型04解题思路与方法总结观察图形特征寻找已知条件建立数学模型进行推理证明解题思路首先观察图形，判断是否存在明显的垂直关系，如直线与平面垂直、平面与平面垂直等。根据已知条件，建立相应的数学模型，如直线的一般式方程、平面的点法式方程等。分析题目中给出的已知条件，找出与垂直关系相关的信息，如直线的方向向量、平面的法向量等。利用数学模型和垂直关系的判定定理，进行推理证明，得出面面垂直的结论。

解题方法向量法利用向量的点积性质判断两个平面的法向量是否垂直，从而判断两个平面是否垂直。坐标法建立空间直角坐标系，将点的坐标代入平面方程，通过计算判断两个平面是否垂直。综合法结合向量法和坐标法的优点，灵活运用多种方法解决问题。注意事项在解题前要认真审题，准确理解题意和要求，避免误解或遗漏重要信息。在解题过程中要注意书写规范，步骤清晰，逻辑严密，方便检查和复查。在解题时要灵活运用所学知识，善于将复杂问题转化为简单问题进行处理。在解题后要及时总结反思，归纳解题方法和技巧，提高解题能力和思维水平。准确理解题意规范书写过程灵活运用知识及时总结反思05互动环节：学生提问与讨论如何判断两个平面是否垂直？可以通过判断两个平面内的两条相交直线是否互相垂直来推断两个平面是否垂直。如何应用面面垂直的性质解题？可以通过寻找与已知垂直平面相交的直线，并证明该直线与另一个平面垂直，从而证明两个平面垂直。学生提问讨论不同方法判断面面垂直的优劣01学生们可以比较使用定义法、判定定理等方法判断面面垂直的难易程度、适用范围以及准确性等方面的优劣。分享解题思路与技巧02学生们可以分享自己在解题过程中采用的思路、方法以及技巧，如如何寻找与已知垂直平面相交的直线、如何证明该直线与另一个平面垂直等。探讨面面垂直在实际问题中的应用03学生们可以探讨面面垂直在实际问题中的应用，如建筑设计、机械制造等领域中需要判断面面是否垂直的情况。学生讨论点评学生提问与讨论的表现教师可以对学生们的提问和讨论进行点评，肯定学生们的积极思考和互动交流，同时指出存在的问题和不足，提出改进建议。总结面面垂直的判定方法与技巧教师可以对本次习题课所涉及的面面垂直的判定方法与技巧进行总结和归纳，强调解题的关键步骤和注意事项，帮助学生们更好地掌握相关知识。拓展面面垂直的应用场景教师可以进一步拓展面面垂直的应用场景，介绍一些实际问题中需要应用面面垂直知识的案例，激发学生们的学习兴趣和探索欲望。教师点评与总结06课后作业与自测题习题二已知平面α与平面γ相交于直线m，平面β与平面γ相交于直线n，且α⊥β，m与n不重合。试证明：m⊥n。习题一已知平面α与平面β相交于直线l，直线m在平面α内且m⊥l，试证明：平面α⊥平面β。习题三已知三棱锥A-BCD中，AB=CD=6,AC=BD=AD=BC=5,试判断AB与CD是否垂直，并说明理由。课后作业自测题一已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD⊥底面ABCD。若E为PC的中点，求证：DE⊥平面PBC。自测题二自测题三已知正方体ABCD-A'B'C'D'中，E、F分别为棱AA'、CC'的中点。求证：四边形BFDE是菱形。已知平面α内有一个四边形ABCD，其中AB=BC=CD=DA=a，且AC⊥BD。若平面α外有一点P到平面α的距离为h，且PA=PB=PC=PD。试求h的最大值。自测题根据面面垂直的判定定理，若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。因此，由于直线m在平面α内且m⊥l，我们可以得出平面α⊥平面β。由于α⊥β且α∩β=γ，我们可以分别在α、β内作直线a、b垂直于γ。因为a与b都垂直于γ，所以a∥b。又因为m与n分别是α、β与γ的交线，所以m⊥n。答案及解析习题二答案习题一答案习题三答案：连接AC、BD交于点O，连接AO、BO、CO、DO。由于AB=CD=6,AC=BD=AD=BC=5，我们可以得出AO=BO=CO=DO。因此，点O是△ABC和△ACD的外心。又因为AB=CD，所以点O也是线段AB、CD的中点。由此可得AB⊥CD。答案及解析自测题一答案当点P位于底面ABCD的中心上方或下方时，h达到最大值。此时h等于从底面中心到顶点的距离加上或减去底面中心到底面的距离。具体计算过程略。自测题二答案连接AC、BD交于点O'，连接EO'、FO'。由于侧面PAD是等边三角形且E为PC的中点，我们可以得出EO'⊥PC。又因为平面PAD⊥底面ABCD且交线为AD，所以FO'⊥AD。由此可得FO'