2024年山西省晋中市昔阳县中考一模数学试题(含答案)

姓名____________ 准考证号____________2024年九年级模拟数学试题（卷）注意事项：1．本试卷共6页，满分120分。考试时间120分钟。2．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试卷相应的位置上。3．答卷全部在答题卡上完成，写在本试卷上无效。4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷选择题（共30分）一、选择题（在每小题的四个选项中，只有一项最符合题意，请选出并在答题卡上将该项涂黑。本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（）A． B．C．且 D．且2．从正面、左面、上面观察某个立体图形，得到如图所示的平面图形，那么这个立体图形是（）A． B． C． D．3．已知双曲线，下列各点不在此双曲线上的是（）A． B．C． D．4．平移抛物线使其经过原点，则下列操作不正确的是（）A．向右平移1个单位长度 B．向右平移5个单位长度C．向下平移5个单位长度 D．向上平移4个单位长度5．如图，把绕点顺时针旋转35°，得到，交于点，若，则的度数（）A．35° B．75° C．55° D．65°6．如图，点是内切圆的圆心，已知，，则的度数是（）A．100° B．115° C．125° D．130°7．如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上，若，则和的周长之比为（）A． B． C． D．8．如图，一艘轮船航行至点时，测得某灯塔位于它的北偏东40°方向，且它与灯塔相距13海里，继续沿正东方向航行，航行至点处时，测得灯塔恰好在它的正北方向，则的距离可表示为（）A．海里 B．海里 C．海里 D．海里9．电影《热辣滚烫》于春节档上映，首周累计票房约3.5亿元，第三周累计票房约6.8亿元．若每周累计票房的增长率相同，设增长率为，根据题意可列方程为（）A． B．C． D．10．黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法，其原理是：如图，将正方形的底边取中点，以为圆心，线段为半径作圆，其与底边的延长线交于点，这样就把正方形延伸为矩形，称其为黄金矩形．若，则的长为（）A． B． C． D．第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题。（共5个小题，每题3分，共15分）11．请写出一个开口向下，经过原点的二次函数的表达式______．12．一段公路路面的坡度为，如果某人沿着这段公路向上行走了260米，那么此人升高了______米．13．如图，扇形的半径，，则以为直径的半圆与弧围成的区域（图中阴影部分）的面积是______．14．如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，点在轴的正半轴上，，，将绕点逆时针旋转90°，点的对应点的坐标是______．15．如图，点在轴的负半轴上，点在反比例函数的图象上，交轴于点．若是的中点，的面积为，则的值为______．三、解答题（共8个小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16．（12分）（1）用适当的方法解下列方程：① ②（2）计算：17．（6分）如图，已知，．（1）在图中用尺规作出的内切圆，并标出与边，，的切点，，（保留痕迹，不必写作法）；（2）连接，，求的度数．18．（7分）实验中学有7位学生的生日是1月1日，其中男生分别记为，，，，女生分别记为，，，学校准备召开元旦联欢会，计划从这7位学生中抽取学生参与联欢会的访谈活动．（1）若任意抽取1位学生，且抽取的学生为女生的概率是______．（2）若先从男生中任意抽取1位，再从女生中任意抽取1位，请用“列表”或“画树状图”的方法求抽得的2位学生中至少有1位是或的概率．19．（6分）是的直径，与交于点，点是半径上一点（点不与点，重合）．连接交于点，连接，．若，．求证：是的切线．20．（9分）某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，点与点重合．道闸打开的过程中，边固定，连杆，分别绕点，转动，且边始终与边平行．（1）如图2，当道闸打开至时，边上一点到地面的距离为1米，求点到的距离的长．（2）一辆轿车过道闸，已知轿车宽1.8米，高1.6米，当道闸打开至时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：，，）21．（10分）阅读下列材料，并完成相应的任务．托勒密定理托勒密（Ptolemy）（公元90年～公元168），希腊著名的天文学家，他的著作《天文学大成》被后人称为“伟大的数学书”，托勒密有时把它叫作《数学文集》，托勒密从书中摘出并加以完善，得到了著名的托勒密（Ptolemy）定理。托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．已知：如图1，四边形内接于．求证：．下面是该结论的证明过程：证明：如图2，作，交于点．，，，．，（依据1）．，，即．（依据2），，．．．任务：（1）上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？（2）当圆内接四边形是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理：______．（请写出）（3）如图3，四边形内接于，，，，点为的中点，求的长．22．（12分）综合与实践下面是李老师在“矩形折叠中的相似三角形”主题下设计的问题，请你解答．如图，已知在矩形中，，，点为边上一点（不与点、点重合），先将矩形沿折叠，使点落在点处，交于点．观察发现（1）写出图1中一个与相似的三角形；迁移探究（2）当与的交点恰好是的中点时，如图2．①设，，请判断与的数量关系，并说明理由；②求阴影部分的面积．拓展应用（3）当点的对应点落在矩形的对称轴上时，直接写出的长．23．（13分）综合与探究抛物线与轴交于点和，与轴交于点，连接．点是线段下方抛物线上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的平行线交于，交轴于，设点的横坐标为．（1）求该抛物线的解析式；（2）用关于的代数式表示线段，求的最大值及此时点的坐标；（3）若连接，在轴上是否存在点，使得为直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．九年级数学答案一、1．C2．C3．A4．D5．C6．B7．C8．A9．C10．D二、11．（答案不唯一）12．10013．14．15．6三、16．（1）解：①，；②，．（2）．17．解：（1）如图1，即为所示．（2）如图2，连接，，，．．，．．18．解：（1）；（2）共有12种等可能的结果，其中抽得的2位学生中至少有1位是或的结果有6种，概率为．19．解：是的直径，，．又，，又，，即，是的切线．20．解：（1），，米，（米），答：点到的距离的长为2米；（2）轿车能驶入小区，理由如下：，，，当米时，（米），在中，，，解得：，，轿车能驶入小区．21．解：（1）“依据1”是同弧所对的圆周角相等．“依据2”是两角分别相等的两个三角形相似．（2）勾股定理（3）如图，连接，作于点．四边形是圆内接四边形，．，．，．．在中，，．由托勒密定理：，．．22．解：（1）或（写出一个即可）；（2）（1），理由如下：，，由沿翻折得到，，，；（2）点是的中点，，，，，，，，即，，，阴影部分的面积是；（3）①设的中点为，的中点为，直线为矩形的对称轴，当在上时，如图：，，，，，设，则，，，，，，即，解得；；②设的中点为，的中点为，直线为矩形的对称轴，当在直线上时，如图：，，，，，，，，，解得；综上所述，当点的对应点落在矩形的对