2024年高考数学金太阳联考二模试卷附答案解析

2024年高考数学金太阳联考二模试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.(5分)设全集为R,集合},则CRA=()A.{x|0≤x<1}B.{x|0<x≤1}C.{x|0<x<1}2.(5分)已知a为实数，复数z=(a-2i)(1+i)+i为纯虚数，则a=()A.-1B.3.(5分)下列函数图象的对称轴方程),k∈Z的是()4.(5分)设α,β为两个平面，下列条件中，不是“α与β平行”的充要条件的是()A.2V2B.±2√27.(5分)已知3名男同学、2名女同学和1名老师站成一排，女同学不相邻，老师不站两端，则不同的排法共有()A.c>b>aB.a>b>cC.c>a>bD.a>c>b二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.(多选)9.(6分)某厂近几年间续购买了几台A型机床，该型机床已投入生产的时间x(单位：年)与当年所需要支出的修理费用y(单位：万元)有如下统计资料：x23456y7A.a=0.08B.y与x的样本相关系数r>0C.表中修理费用的第60百分位数为6D.该型机床已投入生产的时间为10年时，当年所需要支出的修理费用肯定是12.38万元第1页(共16页)(多选)10.(6分)已知函数f(x)=x³+x²+ax-4有3个不同的零点x₁,x₂,x₃,」且则()A.a=-4B.f(x)<0的解集为(-1,2)(多选)11.(6分)已知a,b,c∈(0,+～),关于x的不等式α-b+c²>0的解集为(-,2),则()A.b>1B.a+c>bC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.(5分)已知圆O为圆锥PO的底面圆，等边三角形ABC内接于圆O,若圆锥PO的体积为π,则三棱锥P-ABC的体积为13.(5分)大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经受过的两仪数量的总和.大衍数列从第一项起依次为0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,….记大衍数列{an}的通项公式为若bn=(-1)"an,则数列{b}的前30项和为14.(5分)已知M是椭[四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知ccosA+acosC=3.AB⊥BD,求BD的长度和∠AB⊥BD,求BD的长度和∠ADB的大小.;第2页(共16页)16.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，AB//CD,CD⊥BC,AB=2CD=4,BD=BP,△PCD为等边三角形.(1)证明：BC⊥平面PCD.(2)若△ABD为等边三角形，求平面PBD与平面PAD夹角的余弦值.第3页(共16页)17.(15分)某商场在开业当天进行有奖促销活动，规定该商场购物金额前200名的顾客，均可获得3次抽奖机会.每次中奖的概率；),每次中奖与否相互不影响.中奖1次可获得100元奖金，中奖2次可获得300元奖金，中奖3次可获得500元奖金.(1)已求顾客甲获得了300元奖金的条件下，甲第一次抽奖就获奖的概率.(2)已知该商场开业促销活动的经费为4.5万元，问该活动是否会超过预算?请说明理由.(2)如图，过点T(0,1)的直线1(斜率大于0)与双曲线M和N的左、右两支依次相交于A,B,C,D,若3|ABI|BT]=2|CDITC],求直线1的方程.第5页(共16页)19.(17分)已知函数f(x)=ae¹-x-1.(1)争辩f(x)的单调性.(2)证明：当a≥1时，第6页(共16页)2024年高考数学金太阳联考二模试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.(5分)设全集为R,集合,则CrA=()A.{x|0≤x<1}B.{x|0<x≤1}C.{x|0<x<2.(5分)已知a为实数，复数z=(a-2i)(1+i)+i为纯虚数，则a=()A.-1B.解：复数z=(a-2i)(1+i)+i=a+2+(a-1)i为纯虚数，则a+2=0,且a-1≠0,解得a=-2.故选：C.3.(5分)下列函数图象的对称轴方程,k∈Z的是().解：选B.4.(5分)设α,β为两个平面，下列条件中，不是“α与β平行”的充要条件的是()解：选A.5.(5分)已知数列{an}为等比数列，a₂+a₄+a₆A.2v2B.±2y2C.2解：抛物线C:y²=2px(p>0)的焦点为F,其准线与x轴交于点M,N为C上一点，且tan∠NFM=-2√2,不妨设N在第一象限，可得tan∠NFx=2V2,第7页(共16页)7.(5分)已知3名男同学、2名女同学和1名老师站成一排，女同学不相邻，老师不站两端，则不同的排法共有()当男生排在两端时，共有C}A2A=A}=3×2×2×3×2=72A.c>b>aB.a>b>cC.c>g>b解：由于e²>2.7²>7,所以c=e⁰²=(e²)⁰l>701=b;令g(x)=e-x-1,当x>0时，g²(x)>0,则g(x)在(0,+~)上单调递增，当x<0时，g²(x)<0,则g(x)在(-～,0)二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.(多选)9.(6分)某厂近几年间续购买了几台A型机床，该型机床已投入生产的时间x(单位：年)与当年所需要支出的修理费用y(单位：万元)有如下统计资料：x23456y7A.a=0.08B.y与x的样本相关系数r>0C.表中修理费用的第60百分位数为6D.该型机床已投入生产的时间为10年时，当年所需要支出的修理费用肯定是12.38万元解：依据题意可得，x=4,所以样本中心点为(4,5),对于A,将样本中心点(4,5)代入回归方程y=1.23x+a,解得a=0.08,故A正确；对于B,由表中数据可得y随着x增大而增大，x与y正相关，所以相关系数r>0,故B正确；对于C,修理费用从小到大依次为2.2,3.8,5.5,6.5,7,第60百分位数故C正确；(多选)10.(6分)已知函数f(x)=x³+x²+ax-4A.a=-4B.f(x)<0的解集为(-1,2)C.y=x-7是曲线y=f(x)解：对于A,由于f(x)=x³+x²+ax-4有3个不同的零点xi,x₂,xʒ,所以不妨设f(x)=(x-xi)(x-xz)(x解得xʒ=2,(多选)11.(6分)已知a,b,c∈(0,+~),关于x的不等式α²-B+c²>0的解集为(-,2),则()A.b>1B.atc>bC.解：对于A,由题意知a,b,c∈(0,+～),关于x的不等式α-b+c>0的解集为(-一，2),其解集为(-,2),即,b=1满足题意，故A错误；对于B,a²-b+c>0即(,故需满足0<m<1,0<n<1,且m²+n²=1,,三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.(5分)已知圆O为圆锥PO的底面圆，等边三角形ABC内接于圆O,若圆锥PO的体积为π,则三棱锥P-ABC的体积为解：设圆锥PO的底面圆的半径为r,圆锥PO的高为h,设底面圆O的内接等边三角形ABC的边长为a,在等边三角形ABC中，依据正弦定理可得13.(5分)大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经受过的两仪数量的总和.大衍数列从第一项起依次为0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,….记大衍数列{an}的通项公式为若bn第10页(共16页)故答案为：240.14.(5分)已知M是椭解：如图，设AB中点为N,故点N的轨迹为以(0,6)为圆心，r=√2为半径的圆，MA·MB=(MN+NA)·(MN+NB)=(MN+NA)·(MN-NA)=|MNI²-INAI²=|MNl²-2,=√37+9sin²θ-12cosθ=√37+9(1-cos²0)-12cosθ=√46-9cos²(MA·MB)max=|MNlAax-2=72-2=70.故答案为：70.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知ccosA+acosC=3.(2)D为边AC上一点，AD=2DC,AB⊥BD,求BD的长度和∠ADB的大小.解：(1)由于ccosA+acosC=3,(2)依据题意可得，AD=2,CD=1,16.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，AB//CD,CD⊥BC,AB=2CD=4,BD=BP,△PCD为等边三角形.(1)证明：BC⊥平面PCD.(2)若△ABD为等边三角形，求平面PBD与平面PAD夹角的余弦值.垂直于平面ABCD向上为z轴正方向，建立空间直角坐标系C-xyz,∵yi≠0(否则B,C重合与题设冲突),第12页(共16页)又BC⊥CD,CDNCP=C,CD,CPc平面PCD,∴BC⊥平面PCD;,,17.(15分)某商场在开业当天进行有奖促销活动，规定该商场购物金额前200名的顾客，均可获得3次抽奖机会.每),每次中奖与否相互不影响.中奖1次可获得100元奖金，中奖2次可获得300元奖金，中奖3次可获得500元奖金.,求顾客甲获得了300元奖金的条件下，甲第一次抽奖就获奖的概率.(2)已知该商场开业促销活动的经费为4.5万元，问该活动是否会超过预算?请说明理由.解：(1)设顾客甲获得了300元奖金的大事为A,甲第一次抽奖就中奖的大事为B,,(2)设一名顾客获得的奖金为X元，则X的取值可能为0,100,300,500,则P(X=0)=(1-p)³,P(X=100)=C}×p×(1-p)²,P(X=300)=C}×p²×第13