专题02三角函数的图像与性质 讲义 2024年高考数学二轮复习高频考点追踪与预测（江苏专用）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页专题02三角函数的图象与性质01专题网络·思维脑图（含基础知识梳理、常用结论与技巧）02考情分析·解密高考03高频考点·以考定法考点一三角函数的图象及应用命题点1求解析式命题点2图象变换考点二三角函数的性质及应用命题点一三角函数的单调性及最值命题点二三角函数的奇偶性、对称性、周期性命题点三性质综合04创新好题·分层训练（★精选9道最新名校模拟考试题+8道易错提升）02考情分析·解密高考三角函数图象与性质作为高考必考题，高考题型一般作为客观题出现，偶尔也会出现解答题.高考要求：（1）能画出三角函数的图象；（2）了解三角函数的周期性、奇偶性、最大（小）值；（3）借助图象理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质；（4）了解函数y＝Asin（ωx＋φ）的物理意义，能画出y＝Asin（ωx＋φ）的图象；（5）了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响；（6）会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.真题多维细目表考点考向考题三角恒等变换①解析式③⑤②三角函数的定义域和值域图象变换④性质综合2023年全国乙卷理科·T6，2023年全国甲卷理科·T10，2023年新课标全国Ⅰ卷·T15，2023年新课标全国Ⅱ卷·T16，2022新高考全国I卷·T6，2022年高考全国甲卷数学（理）·T第11，2022年高考全国乙卷数学（理）·T15，2021年新高考Ⅰ卷·T4，2021年高考全国甲卷理科·T16，2020年高考课标Ⅰ卷理科·T7，2020年高考课标Ⅲ卷理科·T16，2019·全国Ⅱ·理·T9，2019·全国Ⅰ·理·T11，2019·全国Ⅲ·理·T12考点一三角函数的图象及应用命题点1求解析式典例01（2023年全国乙卷理科·第6题）1．已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（

）A． B． C． D．典例02（2023年新课标全国Ⅱ卷·第16题）2．已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则．

典例03（2021年高考全国甲卷理科·第16题）3．已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为．根据图象求解函数的解析式是本题求解的关键，根据周期求解，根据特殊点求解.命题点2

图象变换典例01（2022年浙江省高考数学试题·第6题）4．为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度典例02（2019·天津·理·第7题）5．已知函数是奇函数，将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为.若的最小正周期为，且，则A． B． C． D．典例03（2021•乙卷（文））6．把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（

）A． B．C． D．预计2024年高考仍会从三角函数图象向进行命制.（2023·江苏南通如皋·高三期初统测）7．已知函数的部分图象如图所示，且，则的值为（

）

A． B．C． D．（2023秋·福建·高三福建省师范大学附属中学月考）8．把函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象；再将图象上所有点向右平移个单位，得到函数的图象，则（

）A． B． C． D．考点二三角函数的性质及应用命题点一三角函数的单调性及最值典例01（2021年新高考Ⅰ卷·第4题）9．下列区间中，函数单调递增的区间是（

）A． B． C． D．典例02（2019·全国Ⅱ·理·第9题）10．下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是A．f(x)=│cos2x│ B．f(x)=│sin2x│C．f(x)=cos│x│ D．f(x)=sin│x│典例03（2021•浙江）11．设函数.（1）求函数的最小正周期；（2）求函数在上的最大值.命题点二三角函数的奇偶性、对称性、周期性典例01（2022新高考全国I卷·第6题）12．记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（

）A．1 B． C． D．3典例02（2023•天津）13．已知函数的图象关于直线对称，且的一个周期为4，则的解析式可以是（

）A． B．C． D．典例03（2022年高考全国乙卷数学（理）·第15题）14．记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为．命题点三性质综合典例01（2022•新高考Ⅱ）15．已知函数的图像关于点中心对称，则（

）A．在区间单调递减B．在区间有两个极值点C．直线是曲线的对称轴D．直线是曲线的切线典例02（2023•北京）16．已知函数，，．(1)若，求的值；(2)若在上单调递增，且，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求、的值．条件①：；条件②：；条件③：在上单调递减．典例03（2022年高考全国甲卷数学（理）·第11题）17．设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．1）注意符号对三角函数性质的影响；2）注意求的单调区间时的符号，尽量化成时的情况；3）在函数变换后在具体某个定义域，不能准确、快速地求出函数的最大值或最小值或值域，三角函数的最值不一定在区间的端点取得，应结合图象求得；4）不熟悉单调区间需要将看做一个整体来处理预计2024年高考仍会从三角函数性质综合进行命制（2023秋·广东深圳·高三深圳中学第一次月考）18．对于函数，则下列结论正确的是（

）A．是的一个周期 B．在上有3个零点C．的最大值为 D．在上是增函数（2023秋·江苏南通·高三10月统测）19．已知函数在区间上有且仅有3个零点，则ω的取值范围是.（★精选9道最新名校模拟考试题+8道易错提升）（2023秋·湖南·高三名校联考联合体第三次联考）20．若将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则的值为（

）A． B． C． D．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）21．函数的最小正周期为（

）A． B． C． D．不能确定（2023秋·湖南长沙·高三长郡中学月考）22．函数的最大值与最小值之差为（

）A． B．0 C．2 D．（2023秋·广东·高三东莞中学、广州二中、惠州一中等六校11月期中联考）23．已知函数的图象为，以下说法中正确的是（

）A．函数的最大值为B．图象相邻两条对称轴的距离为C．图象关于中心对称D．要得到函数的图象，只需将函数的图象横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位（2023·全国·高三专题练习）24．若函数的图象关于坐标原点对称，则的可能取值为（

）A． B． C． D．（2023秋·湖北·校考）25．函数的单调递增区间是.（2023秋·江苏扬州·高三期中统测）26．将函数图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到函数的图象，则.（2022·广东·佛山校考）27．已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式可能为（

）A． B．C． D．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）28．已知函数的部分图象如图所示，则（

）

A．1 B． C．2 D．（2022·安徽滁州校考）29．若将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向下平移一个单位得到函数的图象，则函数（

）A．图象关于点对称 B．图象关于对称C．在上单调递减 D．最小正周期是（2023·湖南长沙·长郡中学月考）30．已知函数，.若在区间内没有零点，则的取值范围是A． B． C． D．（2023秋·湖南郴州·高三第一次统测）31．已知函数向左平移个单位长度，得到函数的图像，若是偶函数，则（

）A．的最小正周期为B．点是图像的一个对称中心C．在的值域为D．函数在上单调递增（2023·山东滨州·统考二模）32．已知函数，满足，则下列结论正确的是（

）A．的值域为 B．的最小值为2C．的图象关于直线对称 D．是偶函数（2023秋·江苏南通海安·高三实验中学月考）33．函数在的单调递增区间是.（2023春·湖北校考）34．已知，如果存在实数，使得对任意的实数x，都有成立，则的最小值为.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．D【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入即可得到答案.【详解】因为在区间单调递增，所以，且，则，，当时，取得最小值，则，，则，，不妨取，则，则，故选：D.2．【分析】设，依题可得，，结合的解可得，，从而得到的值，再根据以及，即可得，进而求得．【详解】设，由可得，由可知，或，，由图可知，，即，．因为，所以，即，．所以，所以或，又因为，所以，．故答案为：．【点睛】本题主要考查根据图象求出以及函数的表达式，从而解出，熟练掌握三角函数的有关性质，以及特殊角的三角函数值是解题关键．3．2【分析】先根据图象求出函数的解析式，再求出的值，然后求解三角不等式可得最小正整数或验证数值可得.【详解】由图可知，即，所以；由五点法可得，即；所以.因为，；所以由可得或；因为，所以，方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足，即，解得，令，可得，可得的最小正整数为2.方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足，又，符合题意，可得的最小正整数为2.故答案为：2.【点睛】关键点睛：根据图象求解函数的解析式是本题求解的关键，根据周期求解，根据特殊点求解.4．D【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出．【详解】因为，所以把函数图象上的所有点向右平移个单位长度即可得到函数的图象．故选：D.

5．C【解析】只需根据函数性质逐步得出值即可．【详解】因为为奇函数，∴；又，，又∴，故选C．【点睛】本题考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数．6．B【分析】解法一：从函数的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到，即得，再利用换元思想求得的解析表达式；解法二：从函数出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到的解析表达式.【详解】解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，根据已知得到了函数的图象，所以，令,则,所以,所以；解法二：由已知的函数逆向变换，第一步：向左平移个单位长度，得到的图象，第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，即为的图象，所以.故选：B.7．C【分析】由可得，求出周期，再利用周期公式可求出，再由可求出的值.【详解】由题意可得，得，所以，得，所以，因为的图象过点，所以，得，所以，所以，或，所以，或，因为，所以，故选：C8．B【分析】利用三角函数的图象变换即得.【详解】纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍变为，将图象上所有点向右平移个单位，可得.故选：B.9．A【分析】解不等式，利用赋值法可得出结论.【详解】因为函数的单调递增区间为，对于函数，由，解得，取，可得函数的一个单调递增区间为，则，，A选项满足条件，B不满足条件；取，可得函数的一个单调递增区间为，且，，CD选项均不满足条件.故选：A.【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成形式，再求的单调区间，只需把看作一个整体代入的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数．10．A【分析】本题主要考查三角函数图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养．画出各函数图象，即可做出选择．【详解】因为图象如下图，知其不是周期函数，排除D；因为，周期为，排除C，作出图象，由图象知，其周期为，在区间单调递增，A正确；作出的图象，由图象知，其周期为，在区间单调递减，排除B，故选A．【点睛】利用二级结论：①函数的周期是函数周期的一半；②不是周期函数；11．（1）；（2）.【分析】（1）由题意结合三角恒等变换可得，再由三角函数最小正周期公式即可得解；（2）由三角恒等变换可得，再由三角函数的图象与性质即可得解.【详解】（1）由辅助角公式得，则，所以该函数的最小正周期;（2）由题意，，由可得，所以当即时，函数取最大值.12．A【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.【详解】由函数的最小正周期T满足，得，解得，又因为函数图象关于点对称，所以，且，所以，所以，，所以.故选：A13．B【分析】由题意分别考查函数的最小正周期和函数在处的函数值，排除不合题意的选项即可确定满足题意的函数解析式.【详解】由函数的解析式考查函数的最小周期性：A选项中，B选项中，C选项中，D选项中，排除选项CD，对于A选项，当时，函数值，故是函数的一个对称中心，排除选项A，对于B选项，当时，函数值，故是函数的一条对称轴，故选：B.14．【分析】首先表示出，根据求出，再根据为函数的零点，即可求出的取值，从而得解；【详解】解：因为，（，）所以最小正周期，因为，又，所以，即，又为的零点，所以，解得，因为，所以当时；故答案为：15．AD【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．【详解】由题意得：，所以，，即，又，所以时，，故．对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减；对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点；对C，当时，，，直线不是对称轴；对D，由得：，解得或,从而得：或,所以函数在点处的切线斜率为，切线方程为：即．故选：AD．16．(1)(2)答案见解析【分析】（1）化简函数，根据，列出方程，即可求解；（2）若选①：得到在和时取得最大值，这与在上单调递增矛盾，所以和的值不存在；若选②：得到在时取得最小值，时取得最大值，求得最小正周期为，得到，结合，求得的值；若选③：根据题意，求得的最小正周期为，得到，结合，求得的值.【详解】（1）解：由函数，因为，可得，又因为，所以．（2）若选①：由且，可得在和时取得最大值，这与在上单调递增矛盾，所以和的值不存在．若选②：由，因为在上单调递增，且，所以在时取得最小值，时取得最大值，所以的最小正周期为，可得，又因为，所以，解得，又因为，所以.若选③：函数在上单调递减，因为在上单调递增，且，所以在时取得最小值，时取得最大值，所以的最小正周期为，所以，又因为，所以，解得；又因为，所以．17．C【分析】由的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．【详解】解：依题意可得，因为，所以，要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：

则，解得，即．故选：C．18．ABC【分析】对于A，根据周期的定义即可判断；对于B，令即可求得零点；对于CD，对求导，令，判断单调性即可.【详解】对于A，因为，所以是的一个周期，A正确；对于B，当，时，，即，即或，解得或或，所以在上有个零点，故B正确；对于C，由A可知，只需考虑求在上的最大值即可.，则，令，求得或，所以当或时，，此时，则在上单调递增，当时，，此时，但不恒为0，则在上单调递减，则当时，函数取得最大值，为，C正确；对于D，由C可知，在上不是增函数，D错误.故选：ABC19．【分析】由，可得，所以，从而求出的取值范围．【详解】，，函数在区间,上有且仅有3个零点，，解得，即的取值范围是故答案为：20．C【分析】根据函数平移的性质可得，即可代入求解.【详解】函数的图象向右平移个单位长度得，所以，所以.故选:C.21．A【分析】作出函数的图象得到函数的最小正周期，再证明即得解.【详解】作出函数的图象如图所示，得到函数的最小正周期为.证明：所以函数的最小正周期为.故选：A

22．D【分析】由，可得，然后利用正弦函数的性质可求得函数的最值.【详解】因为，所以，所以，由的图像与性质知，当时，有最小值为，当时，有最大值为，所以最大值与最小值之差为，故选：D．23．BCD【分析】利用二倍角公式及两角和的正弦公式将函数化简，再根据正弦函数的性质一一判断即可.【详解】因为，所以函数的最大值为，故A错误；函数的最小正周期，所以图象相邻两条对称轴的距离为，故B正确；因为，所以图象关于中心对称，故C正确；将的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变得到，再将向右平移个单位得到，故D正确；故选：BCD24．AD【分析】化简，得，由，求出，结合四个选项可得答案.【详解】由已知，得．因为的图象关于坐标原点对称，所以，解得．结合选项知，A，D符合题意，B，C不符合题意．故选：AD．25．【分析】由整体代入法得对应的不等式组，解不等式组即可得解.【详解】因为，由有：.故答案为：.26．【分析】根据三角函数的变换规则进行求解即可．【详解】解：将函数图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，得到，再向右平移个单位长度得到函数的图象，则，故答案为：．27．A【分析】设，根据图形求出，得出周期可求出，代入可求出.【详解】设，由图可知，，，，则，又，即，，.故选：A.28．B【分析】设的最小正周期为，由图象可知，可推得或.根据，可推得.分别求解以及，即可得出答案.【详解】设的最小正周期为，由图象可知，则，所以，所以或.又由题图知，，则，解得.解可得，不满足条件；解可得，，当且仅当时，符合题意.所以，，此时.故选：B.29．C【分析】先求得变换后函数的解析式，再逐一判断对称性，单调性以及最小正周期【详解】由题得对于A当时,所以函数的图象不关于点对称，故A错误;对于B当时，，所以函数的图象不关于直线对