备战2024年高考数学模拟卷（全国卷专用）03（文科）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（全国卷专用）黄金卷03（文科）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，则（

）A． B． C． D．2．已知复数满足，则（

）A． B． C．1 D．3．设有n个样本，，…，，其标准差是，另有n个样本，，…，，且，其标准差为，则下列关系中正确的是（

）A． B．C． D．4．已知，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．5．已知某品牌手机电池充满电量为毫安，每经过小时，电量消耗，若电池电量不超过毫安时充电最佳，那么该手机至少可以待机小时．（待机小时取整数，参考数据：，）（

）A． B． C． D．6．已知，则＝（

）A． B． C． D．（2023·浙江宁波·统考一模）7．若是夹角为的两个单位向量，与垂直，则（

）A． B． C． D．8．求圆心在直线上，且与直线相切于点的圆的方程是（

）A． B．C． D．9．某几何体的三视图如图所示，正视图中的圆弧所对的圆心角为直角，则该几何体的表面积为（

）

A． B． C． D．10．在，角的对边分别为，若，且，则的最小值为（

）A． B．2 C． D．11．数列，满足：，，，则数列的最大项是第（

）项．A．6 B．7 C．8 D．912．已知在上单调递减，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．第II卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．若实数x，y满足约束条件，则的取值范围为.14．已知双曲线的渐近线方程为，且右顶点与椭圆的右焦点重合，则这个双曲线的标准方程是.15．已知函数，则的最小值为．16．如图，在三棱锥中，平面为外接圆的圆心，为三棱锥外接球的球心，，则三棱锥的外接球的表面积为．

三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知等比数列的公比，若，且分别是等差数列的第1，3，5项.(1)求数列和的通项公式；(2)记，求数列的前项和.18．2022年12月份以来，全国多个地区纷纷采取不同的形式发放多轮消费券，助力消费复苏.记发放的消费券额度为x（百万元），带动的消费为y（百万元）.某省随机抽查的一些城市的数据如下表所示.x33455668y1012131819212427(1)根据表中的数据，请用相关系数说明y与x有很强的线性相关关系，并求出y关于x的线性回归方程.(2)（ⅰ）若该省A城市在2023年2月份准备发放一轮额度为10百万元的消费券，利用（1）中求得的线性回归方程，预计可以带动多少消费？（ⅱ）当实际值与估计值的差的绝对值与估计值的比值不超过10％时，认为发放的该轮消费券助力消费复苏是理想的.若该省A城市2月份发放额度为10百万元的消费券后，经过一个月的统计，发现实际带动的消费为30百万元，请问发放的该轮消费券助力消费复苏是否理想？若不理想，请分析可能存在的原因.参考公式：，，.当时，两个变量之间具有很强的线性相关关系.参考数据：.19．如图所示，在直四棱柱中，，，且，，，M是的中点．(1)证明；(2)求点B到平面的距离．20．已知函数.(1)当时，求函数的单调区间和极值(2)若在区间内恰好有两个零点，求的取值范围.21．已知椭圆C：(a>b>0)的焦点为F1，F2，离心率为，点P为其上一动点，且三角形PF1F2面积的最大值为，O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）若点M，N为C上的两个动点，求常数m，使·＝m时，点O到直线MN的距离为定值，求这个定值．（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22．已知曲线的参数方程分别为（为参数），（为参数）．(1)将的参数方程化为普通方程；(2)以坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系．若射线与曲线分别交于两点（异于极点），点，求的面积．选修4-5：不等式选讲23．已知a、b均为正数，设.(1)当时，求不等式的解集；(2)若的最小值为6，求的值，并求的最小值.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．C【分析】化简集合A，B，根据集合的交集运算求解即可.【详解】因为，所以，故选：C2．C【分析】先求出，然后再求.【详解】由，得：，所以：，即：，故C项正确.故选：C.3．B【分析】根据标准差的计算公式分别表示，由此判断两者关系.【详解】设样本，，…，的平均数为，样本，，…，的平均数为，则，，，，所以，故，故选：B.4．B【分析】计算，，，得到大小关系.【详解】，，，故.故选：B.5．A【分析】分析可知小时后，该手机剩余的电量为毫安，解不等式可得结论.【详解】由题意可知，小时后，该手机剩余的电量为毫安，小时后，该手机剩余的电量为毫安，，以此类推可知，小时后，该手机剩余的电量为毫安，由，即，所以，，因此，该手机至少可以待机小时.故选：A.6．D【分析】由倍角公式和差角公式、平方关系求解即可.【详解】.故选：D7．B【分析】由题意先分别算出的值，然后将“与垂直”等价转换为，从而即可求解.【详解】由题意有，又因为与垂直，所以，整理得，解得.故选：B.8．A【分析】设出圆心坐标，根据圆心到直线的距离等于圆心到的距离求解出圆心坐标，从而半径可求，则圆的方程可知.【详解】因为圆心在直线上，所以设圆心，因为圆与直线相切于点，所以，解得，所以圆心为，半径为，所以圆的方程为，故选：A.9．A【分析】根据三视图可还原几何体的直观图，从而可通过运算得出结论.【详解】根据题意可知，该几何体为一个正方体截掉四分之一圆柱（圆柱的上、下底面圆心的连线为正方体的一条棱，圆柱底面圆的半径为正方体棱长的一半）所剩几何体，所以该几何体的表面积为，

故选：A．10．B【分析】已知，由正弦定理边化角，化简可得，设，在和中，由余弦定理可得，可求的最小值.【详解】由及正弦定理可得，由，可得，故．通解

设，由可得，由余弦定理可得，又，所以，得．在和中，由余弦定理得，，由可得，故，当时，取得最小值12，即，得，故的最小值为2．优解

由题意知，两边同时平方得，又，所以当且仅当，即时取等号，则，故的最小值为2．故选：B11．A【分析】根据累加法求出，.设数列的最大项是第项，由得出不等式组，求解即可得出答案.【详解】由已知可得，，，，，两边分别相加可得，，所以有.因为，所以，.设数列的最大项是第项，则有，即，整理可得，，解得.又，所以.故选：A.12．A【分析】确定在上恒成立，根据得到，再证明充分性，，设，求导得到单调区间，计算最值得到证明.【详解】，在上恒成立，设，，，①必要性：，恒成立，故，故，若，则存在，使时，，单调递增，，不满足条件；②充分性：，，设，在恒成立，故单调递减，，故恒成立，综上所述：.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数解决函数单调性问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用必要性探路得到，再证明充分性可以避免繁琐的讨论，简化运算，是解题的关键.13．【分析】先作出平面区域，可知表示斜率为，纵截距为的直线，数形结合处理问题.【详解】如图，作出约束条件的平面区域，

联立方程，解得，即点，因为，即，表示斜率为，纵截距为的直线，可知：当直线过点时，目标函数取到最小值，所以的取值范围为.故答案为：.14．【分析】根据渐近线可得，然后根据椭圆的焦点即可求出双曲线的顶点，即可求出结果．【详解】设双曲线的方程是，双曲线的渐近线方程是，①．由椭圆的方程知右焦点,则双曲线的右顶点坐标为双曲线方程中的②．解①②得：，，所求双曲线的标准方程为．故答案为：.15．【分析】根据题意，求得，设，求得，得到函数的单调性，进而求得在上单调递减，进而求得的最小值，得到答案.【详解】因为，可得，设，则，令，可得，令，得，所以函数，即函数在上单调递减，在上单调递增，又因为，，所以，所以在上单调递减，则．故答案为：.16．【分析】依题意由正弦定理可求得外接圆的半径为，再利用线面垂直关系确定球心位置在的正上方，由勾股定理可求出外接球的半径为，即可得出求的表面积.【详解】根据题意可知，设外接圆的半径为，在中由正弦定理可知，解得，即；易知三棱锥外接球的球心在的正上方，且平面；又平面，所以；因为平面，可得，又，所以可得四边形是矩形，即；设，三棱锥外接球的半径为，由勾股定理可得，解得；所以可得三棱锥的外接球的表面积为.故答案为：【点睛】关键点点睛：本题突破口在于利用正弦定理将外接圆的半径为求出，并根据线面垂直关系再确定其位置，由勾股定理求出外接球半径大小即可得球的表面积.17．(1)，(2)【分析】（1）根据等差、等比数列的知识求得首项和公差、公比，从而求得.（2）利用错位相减求和法求得.【详解】（1）由题意得，，，，解得（舍去）则，解得，所以.则，设等差数列的公差为，则，所以.（2）.所以，两式相减得，.18．(1)具有很强的线性相关关系,(2)（ⅰ）35.25百万元（ⅱ）不理想，理由见解析，答案不唯一【分析】（1）通过相关系数公式求得相关系数，利用回归直线方程的计算公式求得回归直线方程.（2）（ⅰ）利用回归直线方程求得预测值.（ⅱ）根据“理想”的定义进行分析，从而确定正确答案.【详解】（1），.，，，代入公式可得相关系数.由于且r非常接近1，所以y与x具有很强的线性相关关系.经计算可得，.所以所求线性回归方程为.（2）（ⅰ）当时，，所以预计能带动的消费达35.25百万元.（ⅱ）因为％，所以发放的该轮消费券助力消费复苏不是理想的.发放消费券只是影响消费的其中一个因素，还有其他重要因素，比如：A城市经济发展水平不高，居民的收入水平直接影响了居民的消费水平；A城市人口数量有限、商品价格水平、消费者偏好、消费者年龄构成等因素一定程度上影响了消费总量.（只要写出一个原因即可）.19．(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明平面，利用线面垂直证明线线垂直即可；（2）利用等体积法求解店面距离即可.【详解】（1）如图、连接BD，∵，，∴，∴，∴．∵平面ABCD，∴，又，∴平面，∵平面，∴．（2）解：连接BM，．由已知可得，，，∴，∴．设点B到平面的距离为h，由（1）知BC⊥平面，∴三棱锥的体积，即，解得，即点B到平面的距离为．20．(1)单调递增区间为，单调递减区间为，极小值为，无极大(2)【分析】（1）根据题意，求导得，即可得到结果；（2）根据题意，分与讨论，列出不等式，代入计算，即可得到结果.【详解】（1）由得，且定义域为∵，令，即，解得，令，解得，则的单调递增区间为，单调递减区间为；在处的极小值为，无极大值.（2）当，恒成立，在上单调递增，故在区间内至多只有一个零点；当时，由（1）得在上最小值为，若在区间内恰有两个零点，则需满足，整理得.21．（1）；（2）.【解析】（1）根据离心率和面积关系建立方程组即可得解；（2）联立直线和椭圆方程，根据点到直线距离为定值，求解常数·＝m.【详解】（1）依题意知解得,所以椭圆C的方程为；（2）设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2＋y1y2＝m，当直线MN的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋n，则点O到直线MN的距离，联立消去y，得(4k2＋3)x2＋8knx＋4n2－12＝0，由Δ>0得4k2－n2＋3>0，则x1＋x2＝，x1x2＝，所以x1x2＋(kx1＋n)(kx2＋n)＝(k2＋1)x1x2＋kn(x1＋x2)＋n2＝m，整理得因为为常数，则m＝0，d＝，此时满足Δ>0.当MN⊥x轴时，由m＝0得kOM＝±1，联立，得消去y，得x2＝，点O到直线MN的距离d＝|x|＝亦成立．综上，当m＝0时，点O到直线MN的距离为定值，这个定值是.【点睛】此题考查求椭圆的方程，根据直线与椭圆的位置关系求解定值问题，关键在于熟练利用韦达定理，根据等量关系求解.22．(1)；(2)【分析】（1）利用消参法与完全平方公式求得的普通方程，利用得到的普通方程；（2）分别求得的极坐标方程，联立射线，从而得到，，进而利用三角形面积公式即可得解.【详解】（1）因为曲线的参数方程为（t为参数），则，，两式相减，得的普通方程为