高三数学三垂线定理2

关于高三数学三垂线定理2【教学目标】正确理解和熟练掌握三垂线定理及其逆定理，并能运用它解决有关垂直问题第2页,共17页，2024年2月25日，星期天【知识梳理】1．斜线长定理从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；③垂线段比任何一条斜线段都短．2．重要公式如图，已知OB

平面

于B，OA是平面

的斜线，A为斜足，直线AC

平面

，设

OAB=

1，又

CAB=

2，

OAC=

．那么cos

=cos

1

cos

2．C

DABO第3页,共17页，2024年2月25日，星期天【知识梳理】3．直线和平面所成的角①平面斜线与它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角．②一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角，叫做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角)．如果直线和平面垂直，那么就说直线和平面所成的角是直角；如果直线和平面平行或在平面内，那么就说直线和平面所成的角是0

的角．第4页,共17页，2024年2月25日，星期天【知识梳理】

4．三垂线定理和三垂线定理的逆定理名称语言表述字母表示应用三垂线定理在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.①证两直线垂直②作点线距③作二面角的平面角三垂线定理的逆定理在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直.同上第5页,共17页，2024年2月25日，星期天【知识梳理】

重要提示三垂线定理和三垂线定理的逆定理的主要应用是证明两条直线垂直，尤其是证明两条异面直线垂直，此外，还可以作出点到直线的距离和二面角的平面角．在应用这两个定理时，要抓住平面和平面的垂线，简称“一个平面四条线，线面垂直是关键”．第6页,共17页，2024年2月25日，星期天【点击双基】

1．下列命题中，正确的是 ()(A)垂直于同一条直线的两条直线平行(B)平行于同一平面的两条直线平行(C)平面的一条斜线可以垂直于这个平面内的无数条直线(D)a、b在平面外，若a、b在平面内的射影是两条相交直线，则a、b也是相交直线2．直线a、b在平面

内的射影分别为直线a1、b1，下列命题正确的是 ()(A)若a1

b1，则a

b (B)若a

b，则a1

b1(C)若a1

b1，则a与b不垂直 (D)若a

b，则a1与b1不垂直第7页,共17页，2024年2月25日，星期天【点击双基】

3．直线a、b在平面外，若a、b在平面内的射影是一个点和不过此点的一条直线，则a与b是 ()(A)异面直线(B)相交直线(C)异面直线或相交直线(D)异面直线或平行直线4．P是△ABC所在平面外一点，若P点到△ABC各顶点的距离都相等，则P点在平面ABC内的射影是△ABC的 ()(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心5．P是△ABC所在平面外一点，若P点到△ABC各边的距离都相等，且P点在平面ABC内的射影在△ABC的内部，则射影是△ABC的 ()(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心第8页,共17页，2024年2月25日，星期天【点击双基】

6．P是△ABC所在平面外一点，连结PA、PB、PC，若PA

BC，PB

AC，则P点在平面ABC内的射影是△ABC的 ()(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心7．从平面外一点向这个平面引两条斜线段，它们所成的角为

．这两条斜线段在平面内的射影成的角为

(90

<180

)，那么

与

的关系是 ()(A)

<

(B)

>

(C)

(D)

8．已知直线l1与平面

成30

角，直线l2与l1成60

角，则l2与平面

所成角的取值范围是 ()(A)[0

,60

](B)[60

,90

](C)[30

,90

](D)[0

,90

]第9页,共17页，2024年2月25日，星期天【典例剖析】

例1．如果四面体的两组对棱互相垂直，求证第三组对棱也互相垂直．已知：四面体ABCD中，AB

CD，AD

BC；求证：AC

BD；DCOBAabC第10页,共17页，2024年2月25日，星期天【典例剖析】

例2．如图，在三棱锥P

ABC中，

ACB=90

，

ABC=60

，PC

平面ABC，AB=8，PC=6，M、N分别是PA、PB的中点，设△MNC所在平面与△ABC所在平面交于直线l．

(1)判断l与MN的位置关系，并进行证明；(2)求点M到直线l的距离．28APBDMNQl第11页,共17页，2024年2月25日，星期天【典例剖析】

例3.如图，P是ΔABC所在平面外一点，且PA⊥平面ABC。若O和Q分别是ΔABC和ΔPBC的垂心，试证：OQ⊥平面PBC。第12页,共17页，2024年2月25日，星期天【典例剖析】

例4.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ΔABC是直角三角形，∠ABC=900，2AB=BC=BB1=a，且A1C∩AC1=D，BC1∩B1C=E，截面ABC1与截面A1B1C交于DE。（1）A1B1⊥平面BB1C1C；（2）求证：A1C⊥BC1；（3）求证：DE⊥平面BB1C1C。第13页,共17页，2024年2月25日，星期天【典例剖析】

例5．如图P是

ABC所在平面外一点，PA＝PB，CB

平面PAB，M是PC的中点，N是AB上的点，AN＝3NB（1）求证：MN

AB；（2）当

APB＝90

，AB＝2BC＝4时，求MN的长。（1）证明：取的中点，连结，∵是的中点，第14页,共17页，2024年2月25日，星期天【知识方法总结】

运用三垂线定理及其逆定理的关键在于先确定线、斜线在平面上的射影，而确定射影的关键又是“垂足”，如果“垂足”，定了，那么“垂足”和“斜足”的连线就是斜线在平面上的射影。第15页,共17页，2024年2月25日，星期天TomHooperstartedthecompanythatprovidestheonlinetutoring&BrightSparkEducation.Earlyresultssuggestthatonlinetutoringmayimprovestudentperformance.ExplorationofOnlineTutoringTestPlatformintheLearningSupportServicesSystem；/onlinetutoringjbh124cfBrightSparkEducationsaystheonlinetutoringisusedonlyasanadditiontosupplementregularteaching.Accordingtotheexistingproblems,thisdissertationexplorestheonlinetutoringstrategiesfrombothmacroandmicroperspectives.我去喽？”七王爷也认命了，大不了过完年，讨了公告封赐，再来长期攻艰，反正那刘小医生行踪线索全无，也是要慢慢儿的磨寻——“我跟你去。”蝶宵华道。“哎？！”“我也想看看，苏明远为奴家，可以做到什么地步。”酒来了。蝶宵华青青长睫，掩下一抹楚楚的笑容。第九十五章卖身进京纵强贼（1）明远有充足的理由不管蝶宵华。首先，他不久前刚刚秋闱大捷。中了进士，就有资格谋个官职了，他可以利用家里的资源，好好谋取个好职位。或者，这次的春闱紧接着秋闱，就在来年五月，明远也可以先不急着谋官，而专心攻书，把应试的学问，磨练得再精进些，四月赴京试，若能进一榜三元，自然红火光彩，退而求之，三榜之内，已注定可落得个高官品阶了，比小进士去谋官，又不同话讲。这之中的差池，说不定可以影响一生！其次，明秀就快出嫁了，唐家要了明秀的年命后，请先生合唐静轩的年命，排了四柱命盘，道是吉期只能在明年七月，这月中或取八日，为“执”日，有根生力，稳中带升，只不出大彩，或选十四日，为“除”日，虽有小坎，幸得大运帮扶，反见其功。唐家征询了苏家意思，就共定在十四日。算来，明秀在阁，也不过八个月时间了。明远是明秀的亲哥哥，平常感情也很不错。当年云诗入宫，明远年纪还轻，贪着去游历，北边因缘际会打一场战，初建武名，还收了剑影为奴，但错过了与大妹妹最后的相聚机会，等云诗入宫后，空望京都，再思念也不得相见，每每为憾。而今明秀虽不是远嫁，但在此风雨飘摇时候，明远难免多尽尽心，替她排解忐忑、帮她筹措嫁妆，才是正礼。再次，明柯还携两位母亲携丫头小厮逃跑了！明摆着蓄谋已久，明摆着给他亲爹没脸，明摆着还跟最近失玉坠等诸事都有关联，明远文韬武略，应立即加入苏府核心智囊团，大展才华，灭此内贼而后朝食才对吧！再再次，就算明远再怎么挂心蝶宵华。七王爷怜香惜玉的美名远扬，断不会把蝶宵华拆了。蝶宵华本也是这一行当里的，又岂在乎多接一门贵客？再怎么考量，苏明远都应不理会七王爷与蝶宵华才是！七王爷带着蝶宵华离城赴京的路上，仍频频回顾，似乎觉得苏明远还是会来。锦城有几个大户人家，在七王爷在城的时候，没得到机会拜望，听说七王爷要走，打算当道截他，献献殷勤