高中数学复习优质课《空间向量及其运算》空间

第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其加减运算⒈定义：既有大小又有方向的量叫向量．几何表示法：用有向线段表示；

字母表示法：用字母a、b等或者用有向线段的起点与终点字母表示．相等的向量：

长度相等且方向相同的向量．ABCD平面向量复习⑴向量的加法：aba+b平行四边形法则aba+b三角形法则⑵向量的减法aba-b三角形法则⒉平面向量的加减运算加法交换律：a＋b＝b＋a

加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

推广⒊平面向量的加法运算律ABCDABCDABCDABCDA1B1C1D1CABDba平面向量概念加法减法运算律减法:三角形法则加法:三角形法则或平行四边形法则空间向量具有大小和方向的量加法交换律加法结合律具有大小和方向的量空间向量及其加减运算aabab+OABbC空间向量的加减法加法交换律加法:三角形法则或平行四边形法则减法:三角形法则加法结合律成立吗？平面向量概念加法减法运算律减法:三角形法则加法:三角形法则或平行四边形法则空间向量具有大小和方向的量加法交换律加法结合律具有大小和方向的量空间向量及其加减运算加法结合律abcab+c+()OABCab+abcab+c+()OABCbc+加法交换律：a＋b＝b＋a

加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

推广空间向量的加法运算律ababOABb结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用同一平面内的两条有向线段表示。因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。思考：它们确定的平面是否唯一？思考：空间任意两个向量是否可能异面？ABCDABCDA1B1C1D1ABCDa平行六面体：平行四边形ABCD平移向量到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体.a记做ABCD-A1B1C1D1已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量。(如图)ABCDA1B1C1D1始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量例1ABCGD在空间四边形ABCD中,化简练习1加法交换律加法:三角形法则或平行四边形法则减法:三角形法则加法结合律平面向量概念加法减法运算律减法:三角形法则加法:三角形法则或平行四边形法则空间向量具有大小和方向的量加法交换律加法结合律具有大小和方向的量空间向量及其加减运算小结第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.2空间向量的数乘运算2、平面向量的加法、减法与数乘运算向量加法的三角形法则ab向量加法的平行四边形法则ba向量减法的三角形法则aba－ba＋ba(k>0)ka(k<0)k向量的数乘a加法减法数乘运算数乘:ka,k为正数,负数,零数乘分配律平面向量概念运算律减法:三角形法则加法:三角形法则或平行四边形法则空间向量具有大小和方向的量加法交换律加法结合律具有大小和方向的量空间向量及其加减运算a(k>0)ka(k<0)k空间向量的数乘K=0?0aabab+OABbC空间向量的加减数乘分配律数乘:ka,k为正数,负数,零加法减法数乘运算数乘:ka,k为正数,负数,零数乘分配律平面向量概念运算律减法:三角形法则加法:三角形法则或平行四边形法则空间向量具有大小和方向的量加法交换律加法结合律具有大小和方向的量空间向量及其加减运算加法交换律加法:三角形法则或平行四边形法则减法:三角形法则加法结合律已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1例1已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1例2ABCDA1B1C1D1ABCDA1B1C1D1一、共线向量:零向量与任意向量共线.

1.共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量(或平行向量),记作

2.共线向量定理:对空间任意两个向量的充要条件是存在实数使共线向量与共面向量推论:如果为经过已知点A且平行已知非零向量的直线,那么对任一点O,点P在直线上的充要条件是存在实数t,满足等式OP=OA+t其中向量叫做直线的方向向量.OABPa

若P为A,B中点,则1.下列说明正确的是：A.在平面内共线的向量在空间不一定共线B.在空间共线的向量在平面内不一定共线C.在平面内共线的向量在空间一定不共线D.在空间共线的向量在平面内一定共线2.下列说法正确的是：A.平面内的任意两个向量都共线B.空间的任意三个向量都不共面C.空间的任意两个向量都共面D.空间的任意三个向量都共面练习一DC二.共面向量:1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.OA注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面的了。2.共面向量定理:如果两个向量不共线,则向量与向量共面的充要条件是存在实数对使下列命题中正确的有：A.1个B.2个C.3个D.4个练习二D空间向量的数乘运算小结123共线向量的概念与共线向量定理共面向量的概念与共面向量定理第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.3空间向量的数量积运算一、两个向量的夹角两条相交直线的夹角是指这两条直线所成的锐角或直角，即取值范围是(0°,90°],而向量的夹角可以是钝角,其取值范围是[0°,180°]练习1二、两个向量的数量积注意：(1)两个向量的数量积，其结果是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．(2)两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法，与以前学过的数的乘法是有区别的，因此我们书写向量的数量积时，只能用符号a·b，而不能用a×b，也不能用ab．练习2三、空间两个向量的数量积的性质(1)空间向量的数量积具有和平面向量的数量积完全相同的性质(2)性质(2)是用来判断两个向量是否垂直，性质(5)是用来求两个向量的夹角．(3)性质(3)是实数与向量之间转化的依据．已知空间四边形OABC中，M，N，P，Q分别为BC，AC，OA，OB的中点，若AB=OC，求证：PM⊥QN．证明：例1四、空间向量数量积的运算律与平面向量一样，空间向量的数量积满足如下运算律：向量数量积的运算适合乘法结合律吗?即(a•b)c一定等于a(b·c)吗?已知空间向量a，b满足|a|=4，|b|=8，a与b的夹角是150°，计算：(1)(a+2b)·(2n-b)；(2)|4a一2b|．例2lαOPAa在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。已知：如图，PO,PA分别是平面α的垂线，斜线,AO是PA在平面α内的射影，例3αnlmgnzmgl如图，m,n是平面α内的两条相交直线。如果l⊥m,l⊥n,求证：l⊥α例4五、三垂线定理及其逆定理

(1)相关概念①正射影：已知平面a和一点A，过点A作a的垂线l与a相交于点A’，则A’就是点A在平面a内的正射影，简称射影．②斜线：如果一条直线AB和平面a相交点B，但不和a垂直，那么直线AB叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点B叫做斜足，斜线上一点A与斜足B之间的线段叫做斜线段AB．(2)三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．(3)三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直．(1)三垂线定理及其逆定理中都出现了四条线AB，AC，BC，l，定理中所描述的是AC(斜线)、BC(射影)、l(面内的直线)之间的关系．在三垂线定理及其逆定理中，涉及上面四条线，三个垂直关系①垂线AB和平面a垂直；②射影BC和直线l垂直；③斜线AC和直线l垂直，所以定理称为“三垂线定理”．(2)两个定理的区别①从两个定理的条件和结论上区分，三垂线定理是“线与射影垂直推出线与斜线垂直”，逆定理相反．②从两个定理的作用上区分，三垂线定理解决已知“共面直线垂直推出异面直线垂直”，逆定理相反．

(3)利用三垂线定理及其逆定理的关键是要善于从各种图形中找出“平面的垂线”“平面的斜线”“斜线的射影”．(4)三垂线正逆定理是立体几何中重要定理，是共面两直线的垂直关系与空间两直线的垂直关系之间相互转化的判定定理，它的实质是通过线线垂直得到线面垂直又转化为线线垂直，它是证线线垂直的重要方法，它的用途是在作图中，作二面角的平面角；在证题中，证线线垂直；在计算中，用归面法归拢已知条件便于计算．在四面体ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，求证：AD⊥BC．练习3两个向量的夹角小结123两个向量的数量积空间向量数量积的运算律4三垂线定理第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示共线向量定理共面向量定理复习回顾平面向量基本定理任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底a、b、c都叫做基向量空间向量的基本定理如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc．任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底一、空间直角坐标系

单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底,常用e1,e2,e3

表示

空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底e1,e2,e3,以点O为原点，分别以e1,e2,e3的正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴.这样就建立了一个空间直角坐标系O--xyz

点O叫做原点，向量e1,e2,e3都叫做坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面.二、向量的直角坐标系给定一个空间坐标系和向量,且设e1，e2，e3为坐标向量，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x,y,z)使

p=xe1+ye2+ze3

有序数组(x,y,z)叫做p在空间直角坐标系O--xyz中的坐标，记作p=(x,y,z).

在空间直角坐标系O--xyz中，对空间任一点，A,对应一个向量OA，于是存在唯一的有序实数组x,y,z，使OA=xe1+ye2+ze3

在单位正交基底e1,e2,e3中与向量OA对应的有序实数组(x,y,z)，叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x,y,z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.xyzOA(x,y,z)e1e2e3例

1已知向量{a，b，c}是空间的一个基底．求证：向量a+b，a-b，c能构成空间的一个基底．练习1例

2解：练习

2小结12空间向量的基本定理单位正交基底3如何建立空间直角坐标系第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.5空间向量运算的坐标表示复习回顾向量的直角坐标系给定一个空间坐标系和向量,且设e1，e2，e3为坐标向量，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x,y,z)使

p=xe1+ye2+ze3

有序数组(x,y,z)叫做p在空间直角坐标系O--xyz中的坐标，记作p=(x,y,z).向量的直角坐标运算设则设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则AB=OB-OA=(x2,,y2,z2)-(x1,y1,z1)