微积分上册复习

微积分上册复习第一章函数的极限与连续1.求极限2.讨论分段函数在分段点的连续性.(间断点分类)3.用连续函数介值定理证明一些题2例1求解原极限=又3例2

设f(x)在[

1,1]内连续,并且当x

[

1,1]时,又设求证:在区间(0,1)内存在一点

,使得解设G(x)为[-1,1]上的连续函数,由连续函数的介值定理知使得即故则4第二章导数与微分1.导数的定义与几何意义.(如求分段函数的导数)2.复合函数求导3.隐函数求导4.参数方程求导5.相关变化率问题5例

已知两曲线y=f(x)与的切线相同,写出此切线方程,并求极限在点(0,0)处故曲线在原点的切线的斜率为1,从而切线方程为y=x.解函数y=f(x)满足f(0)=0,f(0)=1,故6例设求73.设求8第三章微分中值定理与导数的应用1.用微分中值定理证明一些题2.证明不等式3.求函数的单调区间与极值4.求函数的凹凸区间与拐点5.用罗必达法则求极限6.求渐近线与曲率7.应用题(求最值)9例1设试确定f(x)的增减区间并求所有极值.增区间[0,1]减区间(,0]和[1,+)极大值f(1)=1/e极小值f(0)=0.10例2设f(x)可导,证明在f(x)的两个零点之间一定存在(其中k为常数)的零点.即证明:若f(x1)=f(x2)=0,x1<x2,则存在x0(x1,x2)使得k

f(x0)+f(x0)=0.证明使得即从而设辅助函数由已知得

11例2

确定常数a,b,c的值,使得当x0时,是等价无穷小.与分析12例3设函数f(x)在[0,1]上二阶可导,且f(0)=f(1).求证:在(0,1)内至少存在一点

,使得13例4.求证:当14不定积分与定积分15重点内容(一)牛顿－莱布尼兹公式(二)定积分的换元法和分部积分法(三)积分上限的函数(四)求分段函数的定积分(五)积分中值定理(六)反常积分(要会计算)(七)不定积分的计算16（一）牛顿－莱布尼兹公式17（二）定积分的计算法换元公式（1）换元法（2）分部积分法分部积分公式18计算定积分19常用的定积分变换f(x)为奇函数f(x)为偶函数20例设f(x)是连续函数,且证明:(1)若f(x)是偶函数,则F(x)也是偶函数,(2)若f(x)单调递减,则F(x)也单调递减.21(三)积分上限的函数核心公式22积分上限的函数+洛必达法则例确定常数a,b,c的值,使23积分上限的函数+参数方程求导例设函数y=y(x)由参数方程所确定,求24积分上限的函数+隐函数求导例设y=y(x)是由方程所确定的函数,求它的极值点,并判断是极大值点还是极小值点.极小值点25积分上限的函数+单调性例设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导且f'(x)<0,证明:在(a,b)内有F'(x)0.26积分上限的函数+定积分换元法例设f(x)连续,且(A为常数),求g'(x),并讨论g'(x)在x=0处的连续性.g'(x)在x=0处点连续27例解注意f(0)=0,

积分上限的函数+定积分分部积分法28(四)求分段函数的定积分例设|a|<1,求29(五)积分中值定理若f(x)在[a,b]上连续,则存在

(a,b)使例设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，证明：且使30(六)不定积分的计算例

求解：31计算不定积分32微分方程一、一阶微分方程求解可分离变量方程,线性方程齐次方程贝努里方程二、高阶微分方程求解1.可降阶微分方程的解法—降阶法2.二阶线性微分方程的解法33的解.

例设函数内具有连续二阶导(1)试将x＝x(y)所满足的微分方程

变换为y＝y(x)所满足的微分方程;(2)求变换后的微分方程满足初始条件

数,且解:上式两端对x求导,得:(1)由反函数的导数公式知34代入原微分方程得

①(2)方程①的对应齐次方程的通解为

设①的特解为

代入①得A＝0,从而得①的通解:35由初始条件

得故所求初值问题的解为

36已知