河南省漯河市2022-2023学年高二下学期期末数学试题

漯河市20222023学年下学期期末质量监测高二数学一､单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为（的单位：，的单位：），则时的瞬时速度（单位：）为A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】∵，∴.故选D.考点：利用导数求瞬时速度.2.有下列说法：①在残差图中，残差点比较均匀地落在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，说明选用的模型比较合适.②决定系数用来刻画回归的效果，值越小，说明模型的拟合效果越好.③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越不好.其中正确命题的个数是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】利用残差的意义、相关指数的意义即可判断.【详解】①在残差图中，残差点比较均匀地落在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，说明选用的模型比较合适，则①正确；②决定系数用来刻画回归的效果，值越接近于1，效果越好，故②错误；③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好，故③错误；其中正确得是①，故选：B.3.已知，数列，，，与，，，，都是等差数列，则的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据等差数列的通项公式，分别表示出，，整理即可得答案.【详解】数列，，，和，，，，各自都成等差数列，

，，

，

．

故选:A．4.已知直线平面，且的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则实数的值为（）A.2或 B. C.3 D.或3【答案】A【解析】【分析】由直线平面，所以求解.【详解】因为直线平面，所以或，故选：A.5.根据分类变量与的成对样本数据，计算得到.依据的独立性检验，结论为（）A.变量与不独立B.变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过C变量与独立D.变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过【答案】C【解析】【分析】直接利用独立性检验的知识求解.【详解】按照独立性检验的知识及比对的参数值，当，我们可以下结论变量与独立.故排除选项A,B;依据的独立性检验，6.147<6.635,所以我们不能得到“变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过”这个结论.故C正确，D错误.故选：C6.设点为直线上任意一点，过点作圆的切线，切点分别为，则直线必过定点（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，设为直线上的一点，由切线的性质得点、在以为直径的圆上，求出该圆的方程，与圆的方程联立可得直线的方程，将其变形分析可得直线恒过的定点，【详解】如图，连接，，根据题意，设为直线上的一点，则，由于为圆的切线，则有，，则点、在以为直径的圆上，以为直径的圆的圆心为,，半径，则其方程为，变形可得，联立可得直线AB：，又由，则有AB：，变形可得，则有，解可得，故直线恒过定点.故选：B.7.如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板．上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内．若小球下落过程中向左、向右落下的机会均等，则小球最终落入④号球槽的的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】小球落下要经过5次碰撞，每次向左、向右落下的概率均为，并且相互独立，最终落入④号球槽要经过两次向左，三次向右，根据独立重复事件发生的概率公式，即可求解.【详解】解：设这个球落入④号球槽为时间，落入④号球槽要经过两次向左，三次向右，所以.故选：D.【点睛】本题主要考查独立重复试验，属于基础题.8.某校组织甲､乙两个班的学生参加社会实践活动，安排有酿酒､油坊､陶艺､打铁､纺织､插花､竹编制作共七项活动可供选择，每个班上午､下午各安排一项活动（不重复），且同一时间内每项活动只允许一个班参加，则活动安排方案的种数为（）A.1260 B.1302C.1520 D.1764【答案】B【解析】【分析】按两个班共选择活动项数进行分类，至少选两项，至多选四项，故分三类求解即可.【详解】按两个班共选择活动项数分三类：第一类：两个班共选择2项活动，上午选两项活动安排给甲，乙，下午将这两项活动交换给甲，乙，则有种方法；第二类：两个班共选择3项活动，上午选两项活动安排给甲，乙，然后再在其中选一个活动并再下午将其安排给上午没有安排该活动的班级，另一个班再从余下的5项活动中选1项，则有种方法；第三类：两个班共选择4项活动，则有种方法.则活动安排方案的种数为故选：B.二､多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.在递增的等比数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，若a1a4＝32，a2+a3＝12，则下列说法正确的是（）A.q＝1 B.数列{Sn+2}是等比数列C.S8＝510 D.数列{lgan}是公差为2的等差数列【答案】BC【解析】【分析】先根据题干条件判断并计算得到q和a1的值，可得到等比数列{an}的通项公式和前n项和公式，对选项进行逐个判断即可得到正确选项．【详解】由题意，根据等比中项的性质，可得a2a3＝a1a4＝32＞0，a2+a3＝12＞0，故a2＞0，a3＞0．根据根与系数的关系，可知a2，a3是一元二次方程x2﹣12x+32＝0的两个根．解得a2＝4，a3＝8，或a2＝8，a3＝4．故必有公比q＞0，∴a10．∵等比数列{an}是递增数列，∴q＞1．∴a2＝4，a3＝8满足题意．∴q＝2，a12．故选项A不正确．an＝a1•qn﹣1＝2n．∵Sn2n+1﹣2．∴Sn+2＝2n+1＝4•2n﹣1．∴数列{Sn+2}是以4为首项，2为公比的等比数列．故选项B正确．S8＝28+1﹣2＝512﹣2＝510．故选项C正确．∵lgan＝lg2n＝n．∴数列{lgan}是公差为1的等差数列．故选项D不正确．故选：BC【点睛】本题考查了等比数列的通项公式、求和公式和性质，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.10.甲、乙两队进行排球比赛，采取五局三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）．根据前期比赛成绩可知在每一局比赛中，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为．若前两局中乙队以2：0领先，则（）A.甲队获胜概率为 B.乙队以3：0获胜的概率为C.乙队以3：1获胜的概率为 D.乙队以3：2获胜的概率为【答案】AB【解析】【分析】由概率的乘法公式对选项逐一判断，【详解】对于A，在乙队以2：0领先的前提下，若甲队获胜则第三、四、五局均为甲队获胜，所以甲队获胜的概率为，故A正确；对于B，乙队以3：0获胜，即第三局乙获胜，概率为，故B正确；对于C，乙队以3：1获胜，即第三局甲获胜，第四局乙获胜，概率为，故C错误；对于D，若乙队以3：2获胜，则第五局为乙队获胜，第三、四局乙队输，所以乙队以3：2获胜的概率为，故D错误．故选：AB11.下列命题中正确的是（）A.若平面内两定点，则满足的动点的轨迹为椭圆B.双曲线与直线有且只有一个公共点C.若方程表示焦点在轴上的双曲线，则D.过椭圆一焦点作椭圆的动弦，则弦的中点的轨迹为椭圆【答案】BD【解析】【分析】根据椭圆定义可判断A；双曲线与直线联立求解可判断B；根据方程表示焦点在轴上的双曲线求出的范围可判断C；设椭圆方程为，弦的中点为，当直线与轴不垂直时，设弦方程为，与椭圆方程联立利用韦达定理可得动弦的中点横、纵坐标，得，代入可得中点的轨迹方程，当直线与轴垂直时直接得答案可判断D.【详解】对于A，根据椭圆定义，若平面内两定点，则满足且的动点的轨迹为椭圆，故A错误；对于B，由得，所以双曲线与直线有且只有一个公共点，故B正确；对于C，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则，方程组无解，故C错误；对于D，不妨设椭圆方程为，，则，弦的中点为，当直线与轴不垂直时，设弦方程为，与椭圆方程联立可得，所以动弦的中点横坐标为，中点纵坐标为，所以，可得，代入可得，当直线与轴垂直时，弦的中点为在上，综上弦的中点的轨迹为椭圆，故D正确.故选：BD.12.对于函数，下列说法正确的有（）．A.在处取得极大值B.有两不同零点C.D.若在上恒成立，则【答案】ACD【解析】【分析】对于A，先对函数求导，令导函数等于零，然后再判其极值即可；对于B，令，则可得函数的零点；对于C，由选项A的解答过程可知，当时，函数为减函数，所以，而，从而可得结果；对于D，由在上恒成立，得，令，再利用导数求此函数的最大值即可【详解】函数的导数，，令得，则当时，，函数为增函数，当时，，函数为减函数，则当时，函数取得极大值，极大值为，故正确，由，得，得，即函数只有一个零点，故错误，，由时，函数为减函数知，故成立，故正确，若在上恒成立，则，设，，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，即当时，函数取得极大值同时也是最大值，成立，故正确.故选：ACD．【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的单调性，极值，函数零点问题，求函数的导数，利用导数研究的性质是解决本题的关键．三､填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.随着我国对新冠肺炎疫情的控制，全国消费市场逐渐回暖，某商场统计的人流量x（单位：百人）与销售额y（单位：万元）的数据表有部分污损，如下所示.x23456y2.23.86.57.0已知x与y具有线性相关关系，且线性回归方程，则表中污损数据应为_____.【答案】5.5【解析】【分析】先计算出，再由线性回归方程过点，可得答案.【详解】由表可知.因为线性回归方程过点，所以，所以表中数据应为.故答案为：5.5.【点睛】本题考查线性回归方程过样本中心点，属于基础题.14.若展开式中的系数为30，则________.【答案】【解析】【分析】求出展开式通式和相乘，然后利用的系数为30列方程求解.【详解】展开式通式为则，，解得故答案为：.15.已知为双曲线的左､右焦点，为坐标原点，过点且斜率为的直线交的右支于点，且，则双曲线的离心率为__________.【答案】【解析】【分析】由给定条件可得，再由斜率及双曲线定义，结合勾股定理建立的方程，即可求解作答.【详解】由，得，又，因此，又，则，令双曲线半焦距c，由，得，整理得，而，解得，所以双曲线的离心率.故答案为：16.已知函数，若对恒成立，则实数的取值范围为___________.【答案】【解析】【分析】先证，当时，在上单调递增，可得恒成立；当时，可得，即可求解结果．【详解】由题意可知，令，当时，；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增，则恒成立；由，则当时，，即在上单调递增，则对恒成立，满足题意；当时，由得或又因为且函数为奇函数，所以可得，解得，则，综上，实数的取值范围为．故答案为：四､解答题：（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17.对某种书籍每册的成本费（元）与印刷册数（千册）的数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.i=14.834.220.377560.170.6039.384.8其中，.为了预测印刷千册时每册的成本费，建立了两个回归模型：，.（1）根据散点图，你认为选择哪个模型预测更可靠？（只选出模型即可）（2）根据所给数据和（1）中的模型选择，求关于的回归方程，并预测印刷千册时每册的成本费.附：对于一组数据，，…，，其回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.【答案】(1)模型更可靠.(2)关于的回归方程为.当时，该书每册的成本费（元）.【解析】【详解】分析：(1)根据散点呈曲线趋势，选模型更可靠.(2)根据公式求得，根据求得，最后求自变量为20对应的函数值.详解：（1）由散点图可以判断，模型更可靠.（2）令，则，则.∴，∴关于的线性回归方程为.因此，关于的回归方程为.点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求，写出回归方程，回归直线方程恒过点.18.已知数列满足，，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项的和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分为奇数和为偶数，求解通项公式；（2）利用分组求和求解.【小问1详解】当奇数时，，所以所有奇数项构成以为首项，公差为－1的等差数列，所以，当为偶数时，，所以所有偶数项构成以为首项，公比为3的等比数列，所以，所以；【小问2详解】.19.如图，在四棱锥中，四边形是长方形，平面平面，平面平面，（1）证明：平面；（2）若，为中点，求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】【分析】(1)有长方形可得，结合面面垂直的性质可推出，同理可证，结合线面垂直的判定可证明平面.(2)以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，从而可求出二面角的余弦值.【详解】（1）证明：∵四边形为长方形，∴，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，∵平面，∴．同理，又，平面平面，∴平面．（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则设为平面的法向量，∵，∴，令，则，∴平面的一个法向量．同理可求得平面的一个法向量，∴．∵二面角的大小为钝角,∴二面角的余弦值为．【点睛】思路点睛:求空间角问题时常用思路为:1、几何法找到角，结合解三角形的思想进行求解；2、建立空间直角坐标系，求直线的方向向量和平面的法向量，结合向量数量积运算从而求解.20.已知椭圆的离心率，过点和的直线与原点的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）已知定点，若直线与椭圆交于、两点．问：是否存在的值，使以为直径的圆过点？请说明理由．【答案】（1）；（2）存在，.【解析】【分析】（1）求出过点和的直线，利用直线与坐标原点的距离为，椭圆的离心率，建立方程，可求出的值，从而可得椭圆的方程；（2）直线代入椭圆方程，利用韦达定理及以为直径的圆过点，利用，即可求得结论【详解】（1）直线方程为：．依题意，解得．∴椭圆方程为．（2）假若存在这样的值，由，得．∴．①设，，则．②而．要使以为直径的圆过点，当且仅当时，则．即．∴．③将②式代入③整理解得．经验证使①成立．综上可知，存在，使得以为直径的圆过点．【点睛】此题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查计算能力，属于中档题21.已知函数，.（1）若存在单调递增区间，求的取值范围；（2）若，与为的两个不同极值点，证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题意知有解，分离可得有解，令，可得，利用导数求的最大值即可求解；（2）由题意知，是的两根，将，代入整理可得，所证明不等式为，令，问题转化为证明成立，利用导数证明单调性求最值即可求证.【详解】（1）函数定义域为，根据题意知有解，即有解，令，，且当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，所以；（2）由，是的不同极值点，知，是的两根，即，所以①，联立可得：②，要证，由①代入即证，即，由②代入可得③，因为，则③等价于，令，问题转化为证明④成立，而，在上单调递增，当，④成立，即得证.【点睛】方法点睛：破解双参数不等式的方法：一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；二是巧构函数，再借用导