广西高考数学一轮复习单元质检三 导数及其应用文

单元质检三导数及其应用

（时间：100分钟满分：150分）

一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分）

1.如果一个物体的运动方程为s=lV+比其中$的单位是米，t的单位是秒,那么物体在3秒末的瞬

时速度是（）

A.7米邓B.6米邓C.5米邓D.8米邓

H]c

画根据瞬时速度的意义,可得3秒末的瞬时速度是r=s'/E=（T+2t）（-5.

2.设曲线在点⑶2）处的切线与直线ax+y+3=0垂直,则a等于（）

A.2B.-2C.-D.」•

22

廨丽因为y喑的导数为y'—芹所以曲线在点（3,2）处的切线斜率k*.

又因为直线ax+y+34的斜率为-a,

所以-a.解得a=-2.

3.若函数yr,切次有极值，则实数）的取值范围是（）

A.加X）B.C./»>1D.加<1

解析求导得〃，由于eDO,若片e'+mx有极值，则必须使y'的值有正有负，故m<0.

4.已知函数/（^）=-/W-x-1在R上是减函数,则实数a的取值范围是（）

A.（-8,诋u[V3,+8）B.[/V3]

C.S,-73）U（假+R）D.（-V3,V3）

施责由题意,知f'(x)=-3V+2ax-l《0在R上恒成立，故4=(2a)TX(-3)X(-l)WO,解得一

5.函数f(x)=V,xTnx的零点的个数是()

A.OB.1C.2D.3

H］A

解析由F'(x)=”:1/得x=或x=T(舍去).当0<vg时，F'(x)<0,f(x)单调递减；

当X、时，f'(x)的,f(x)单调递增.则/Xx)的最小值为/(J=%ln2>0,所以无零点.

6.(2018全国/,文6)设函数F(x)+ax,若F(x)为奇函数,则曲线片f(x)在点(0,0)处的

切线方程为()

A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x

ggn

画因为f(x)为奇函数,所以F(-X)=-/■(*),即-f+(a-l)*-ax=-f-(a-l)片-ax,解得a=l,则

f(x)=?+x.

由f'(x)4/+1,得在(0,0)处的切线斜率公/''(0)=1.故切线方程为y=x.

7.已知当工咪闾时,a〈r+lnx恒成立，则a的最大值为()

A.0B.1C.2D.3

ggA

|解析|令f(x)斗+lnx,则/■'(x)专.

当1)时，f\x)<0;

当xG(l,2］时，/1'(/X).

."(X)在区间区1)内单调递减,在区间(1,2］上单调递增，

.:在xW*,2］上，f(x)”,n=f(l)R,

.：aW0,即a的最大值为0.

8.已知函数f(x)-In%Han。(0<。<§的导函数为ff(x),若方程f'(a=f{x)的根两小于1,则

。的取值范围为()

A-(7'T)B-(0>T)C-(T'7)D-(0-7)

颉A

解析：,f(x)-ln%Han。'(x)

----X

令f(x)=ff(%),得Inx也ana-,

X

B[Jtana—~lnx.

X

设g(x)、Tnx,显然g(x)在(0,+8)内单调递减,而当L0时,g(x)-*

故要使满足6(x)=f(x)的根/<1,只需tan。山⑴=1.

乂°<。今,：。T)-

9.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时，/(x)g(x)+F(x)g'(x)X),且

g(3)R,则不等式/U)g(x)<0的解集是()

A.(-3,0)U(3,+8)B.(-3,0)U(0,3)

C.(…,-3)U(3,s)D.(…,-3)U(0,3)

题「当x<0时，/(x)g(x)”(x)g'(x)X),即"(x)g(x)]'人,

•:当x<0时,f(x)g(x)为增函数,又g(x)是偶函数,且g(3)R,.：g(-3)K,

・：f(-3)g(-3)4故当x<-3时，f(x)g(x)<0;

：Y(x)g(x)是奇函数，

，当xX时,F(x)g(x)为增函数,且F⑶g(3)R,

故当0<x<3时，f(x)g[x)<0.故选D.

10.已知函数/'(6=二乎仃4的最大值为/Xa),则a等于()

答案|B

画疗3=3产•点-2x,

解得r(i)=g.：Mx)5-丸f(x)咤番,

故F(x)在(0,书内递增,在件，+8)内递减,故4)的最大值是,停｝a畔.

11.若函数f(x)(-R2+x+l在区间6,3)内有极值点，则实数a的取值范围是()

“*)B.[2,9C.(2,3D.[2,3

fgc

丽若f(x)《-犷+x+l在区间G，3)内有极值点,则f'(x)4-ax+l在区间&3)内有零点,且零点

不是F'(x)的图象顶点的横坐标.

由x-ax+l=G,得a=*4因为xG(；,3),y=x0的值域是12,果，

当aV时，/''(X)=*-2x+l=(xT)2,不合题意.

所以实数a的取值范围是(2,与)，故选C.

12.已知函数f(x)=y+ax‘班x有两个极值点%i,x2i且x《Xa若X^2X0=3X2J函数g(x)=F(x)-『(々)，则

g(x)()

A.恰有一个零点B.恰有两个零点

C.恰有三个零点D.至多两个零点

|解析|由已知g(x)=F(x)-/Vo)=x+凉+bx-y+啖+bx,Ax-x,[V+(4七)x说后西域],

*.9ff(x)=3/Rax+b,

题+*2--彳，

为*2=*代入上式可得g(x)=(才-4)(X-XI)之,所以g(x)恰有两个零点•

_3声-为

(曲一^，

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分，共20分)

13.已知F(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)%"V+1,则函数

力(x)Nf(x)-g(x)在点(0,力(0))处的切线方程是.

餐都一川44

解析|:U)-g(x)=ex-f-x+1,

・"(x)+g(x)=e'x^x+1.

•a、ex+e-A+2A2+2/、e-x~ex

・・f(X)=------------,g(x)「一.

."(x)=2f{x}-g(x)W+e*+2*+2J2c

We'*e"*2x2+2.

,"'(x)即/,'(0)1-月，

又A(0)N,.：所求的切线方程是x-y^.

14.己知函数F(x)=ad+3*-x+l在区间(-8,+吟内是减函数，则实数a的取值范围

是.

■(-8,-3]

解析由题意可知f'(x)=3a1用xT<0在R上恒成立，

则〈八解得aW3

(zl=6,+4X3aW0,

15.(2018山东名校联盟适应性考试)函数Ax)=eg,函数屋⑼玉x-x+a,若3x”均使得f(xj

成立,则a的取值范围是.

葬(2,+哈

解析|由题意，若三为,为使得f(x)«•(%)成立,可转化为久公心逾⑺时臧立,

由函数/'(0天门，根据指数函数的图象与性质可知,

当X，时，函数f(x)-e"取得最小值,此时最小值为AD=1.

又由g(x)=lnx-x+a,则g'(x)』T卓(才>0),

当—(0,1)时,g'(x)却,则函数g(x)单调递增；

当xG(1,+8)时,g'[x)<0,则函数g(x)单调递减.

所以当x=\时，函数有最大值，此时最大值为g(l)=aT,

令a-l>l,解得a>2,即实数a的取值范围是(2,.

16.(2018东北三省三校一模)已知函数/'(x)=xln％是函数f(x)的极值点,给出以下几个命题:

00<A-O4;②③f(x>+xn<Q\+x°X.

其中正确的命题是.(填出所有正确命题的序号)

噩收

|解析|由已知得f(x)=lnx+x+l(%>0),不妨令g(x)=lnx+x+l(x>0),由g'(x)3+1,当(0,+°°)时，有

g'(x)M总成立,所以g(x)在(0,+2上单调递增,且〈J弓为，又劭是函数f(x)的极值点，所以

r(x0)^U)R,即4})，g(x。)，所以即命题立，则命题蠲；

因为Inxo4+1R,所以f(xo)+%=%lnx/¥+Ao=%(lnAb+*0+l)^='吊<0,故③正确，而@昔,所

以填①

三、解答题(本大题共6小题,共70分)

17.(10分)设函数F(x)与犬+3(@+2)/+2a尤

⑴若f(x)的两个极值点为为吗且为“=1,求实数a的值；

⑵是否存在实数a,使得f(x)是(-用于8)内的单调函数?若存在，求出4的值;若不存在，说明理由.

阿(1)由题意知f'(x)=18V意知+2)x+2a

因为由,超是Ax)的两个极值点，所以(公才’(冬)川・

所以为苞之可，所以己对

lo

(2)因为4=36(a*2)MX18X2a=36(aM)X),

所以f'(x)R有两个不相等的实数根.

所以不存在实数a,使得f(x)是(-平+8)内的单调函数.

18.(12分)已知f(x)-/

(1)求f(x)的单调区间；

⑵过点(0,a)可作y=f(x)的三条切线,求a的取值范围.

阚⑴f'(x)W*_『2=(3x+2)(xT),

故f(x)在(-8,-勺，(1,功内单调递增，在仁，1)内单调递减.

(2)设切点为(无,代为))，则切线的方程为尸■局)=f'(蜀)(*-无)，

即厂(片-：考-2即⑸=(3¥-4-2)(X-%).

又点(0,a)在切线上，

故a(*-g,-2x()+5)=(3年-4-2)(0-及)，

即a=-2,彳学巧.

令g(x)=-2f打，

由已知得y=a的图象与g(x)=-2x1V巧的图象有三个交点,g'(x)=-^x+x,

令g'(x)R,得为或M3,g(x)与,g(%)无9，

故a的取值范围为仅,5/).

19.(12分)已知函数F(x)=e*-ax(a为常数)的图象与y轴交于点4曲线片/U)在点4处的切线斜

率为T.

⑴求a的值及函数的极值;

⑵证明：当心0时，/<eA.

(1)阚由/"(X)内-ax,得f'(%)=e'-a.

因为/1'(0)=1-a=T，所以a=2.

所以f(x)气*-2x,ff(x)=ex-2.

令f'(x)=O,得x=ln2.

当x<ln2时,f(x)<0,f[x)单调递减；当x>ln2时，F(x)>0,f{x}单调递增,

所以当x=ln2时，f(x)取得极小值,极小值为f(ln2)之-21n2=2Tn4,f(x)无极大值.

⑵证明令g(x)=e'-V,则g'(x)=e,-2x

由(1),得g'(x)=『(*)eF(ln2)=2-ln4^),

故g(x)在R上单调递增.

因为g(0)=1>0,

所以当xH,g(x))g(0)所即?<e'.

20.(12分)已知函数F(x)-Inx—x.

(1)判断函数/'(x)的单调性;

⑵函数g(x)=F(x)打£-勿有两个零点x”x?,且x{<x2.求证：型物>1.

⑴阚函数f(x)的定义域为(0,

令r(x)X),解得0々<1;令f'(x)e,解得xA.

故函数/Xx)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+8).

(2)画根据题意得g(x)=lnx+-0(x>O).

因为x”苞是函数4(入)=11189-应的两个零点,

所以In%1*7—^=0,lnx2-^—/n=O.

两式相减，可得1噜十/，

即ln&=产，故司莅会,

X22为2修2In1

因此凡或再为石生

x2

令?其中。31,

则X产题系+另=热

构造函数/?(t)则力'(。一,？.

因为0«<1,所以h'3纯恒成立,故A(t)<7?(1),

即£—-21n£<0,可知故由+彳2>1.

i21nt

21.(12分)已知函数f(x)=ex-x+a,%eR的图象在x=0处的切线方程为y=bx.(e«=2.71828)

(1)求函数f(x)的解析式；

⑵当xWR时，求证：f(x)》T+x;

⑶若f(x)Mx对任意的%e(0,+8)恒成立,求实数4的取值范围.

⑴廨|:"f(x)^e"-x+a,；.f'(x)=e'-2x.

由已知，得£么=丁：。，解得{厂;1，

・：函数f(x)的解析式为F(x)m'7-1.

(2)|证明|令。(x)=f(x)+^-X=QX-X-\,则。'(x)=e*T.

由。'(x)=0,得x=0.

当xW(-8,o)时,0，(x)<O,O(x)单调递减;

当x£(0,+2时，/(x)X),»(x)单调递增.

故0(x)ain=0(O)4从而F(x)2-V+x.

⑶艇|f(x)对任意的(0,+8)恒成立0—1)4对任意的(0,+8)恒成立.

令g(x)/合，万人，

xx

tTt.it/\xf(x)-f(x)x{e-2x)-{e-^~1)

则g(X)——二-------------

(尸1)(e*-『1)

由(2)可知当—(0,+8)时,e'-xTX)恒成立，

由g"(x)X),得;由g'(x)。得0<x<\.

故g(故的递增区间为(1,+8),递减区间为(0,1),即双力111H超⑴气-2.

故《念⑸小招⑴=e-2,

即实数k的取值范围为(-、e-2).

22.(12分)(2018江西南昌模拟)已知函数f{x)=(ejr-e)e+ax,a£R.

(D讨论的单调性；

(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.

网⑴由题意得f'(x)=x(e*"*2a),

包当a20时,e，”+2a>0,若(-°°,0),贝!|f'(x)=x(e*"+2a)<0,函数f(x)单调递减,若x6

(0,s),则f(x)="(e**+2a)X,函数f[x)单调递增;

②当时,若xW(y,卜(-2a)T),则f'(x)=x(e""+2a)X),函数/Xx)单调递增,若%