2022-2023学年高一下数学：外接球和内切球问题（附答案解析）

2022-2023学年高一下数学：外接球和内切球问题

一.选择题（共12小题）

1.（2021秋•四川期中）两个球的表面积之差为48n,它们的大圆周长之和为12n,这两个

球的半径之差为（）

A.4B.3C.2D.1

2.（2021秋•西青区期末）已知三棱柱/8C-/181。的6个顶点都在球O的球面上，若AB

=3,AC=4,ABLAC,AA↑=∖2,则球。的表面积为（）

A.153πB.160πC.169πD.360π

3.（2021秋•海南州期中）长方体的三个相邻面的面积分别是2,3,6,这个长方体的顶点

都在同一个球面上，则这个球的表面积为（）

A..l'1.π..B.56πC.14πD.16π

2

4.（2021秋•海南州期中）已知棱长为1的正四面体的四个顶点都在一个球面上，则这个球

的体积为（）

A.逅兀B.逅兀C.返兀D.返兀

8484

5.（2021秋•丹阳市期中）已知在三棱锥尸-4BC中，PA=PB=PC=AB=AC=BC

=百，则三棱锥尸-48C的外接球的表面积为（）

A.25n.B.1°0∣71LC.10πD.ɪɔ）ɔ..71-

297

6.（2021秋•江西期中）已知圆台的上、下底面的半径分别为3,4,母线长为5√],若该

圆台的上、下底面圆周均在球。的球面上，则球。的表面积为（）

A.50πB.100πC.150πD.200π

7.（2021秋•顺庆区校级期中）在三棱锥尸-/8C中，PA,PB,尸C两两垂直，PA=∖,PB

=2,PC=3,则该三棱锥的外接球的表面积为（）

A.■兀B.56πC.刍殳Zll.兀D.14π

43

8.（2021秋•河南期中）已知三棱锥N-8C。的四个顶点都在球。的球面上，底面88是

边长为2√5的正三角形,若三棱锥A-BCD体积的最大值为6,则球。的表面积为（）

A.16πB.18πC.D..θ⅛2∑.

33

9.（2021秋•河南期中）在三棱锥S-NBC中，∕SBA=NSCA=2L,底面48C是边长为2

2

第1页（共20页）

的等边三角形，若二面角S-BC-4的大小为"，则三棱锥S-48。的外接球表面积

3

大小为（）

171920

A167rB-TTC-TTD-TT

3333

10.（2021春•福建期中）已知在菱形/8CD中，AB=BD=2√3.将菱形/8Cr）沿对角线8。

折起，得到三棱锥z-BCD,且使得棱AC=3√a,则三棱锥Z-BCD的外接球的表面积

为（）

A.7πB.14πC.28πD.35π

11.（2021春•宜春期末）粽子古称“角黍”，是中国传统的节庆食品之一，由粽叶包裹糯米

等食材蒸制而成.因各地风俗不同，粽子的形状和味道也不同，某地流行的“五角粽子”,

其形状可以看作所有棱长均为4cm的正四棱锥.现在需要在粽子内部放入一颗咸蛋黄，

蛋黄的形状近似地看成球，则当这个蛋黄的体积最大时，蛋黄的半径为（）

A.ʌ/θ+√2B∙Λ∕6-V2C.Λ∕3+1D.V3^l

12.（2021•新疆模拟）如图，边长为2的正方形月Bs中，点E、F分别是48、BC的中点，

将AEBF,AFCD分别沿DE,EF,尸。折起，使得/、B、C三点重合于点,

若四面体，EFo的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（）

A.8πB.6πC.1lπD.5π

二.填空题（共6小题）

13.（2021春•西湖区校级期中）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4,底面

边长为2,则该球的体积为.

14.（2021秋•北林区校级期中）已知三棱锥S-NBC中，S/_L平面/8C,且S∕=4,AB=

AC=2,∕B∕C=120°,则三棱锥S-/8C的外接球的表面积为.

15.（2021秋•扬州期中）在三棱锥OFBC中，/8=2,AC=2√3-BC=4,且侧棱长均为

2√m则该三棱锥外接球的表面积为.

16.（2021秋•金安区校级期中）如图，一个酒杯的内壁的轴截面是抛物线的一部分，杯口

宽4c〃z,杯深8c加，称为抛物线酒杯.

第2页（共20页）

①在杯□放一个半径为451的玻璃球，则球面上的点到杯底的最小距离为cm；

②在杯内放入•个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径的取值范围为

（单位：cm）.

17.（2021•玉林模拟）如图，正四棱锥尸的每个顶点都在球"的球面上，侧面Λ48

是等边三角形.若半球。的球心为四棱锥的底面中心，且半球与四个侧面均相切，则半

18.（2021春•市中区校级期中）球面几何是几何学的一个重要分支，在刚海、航空、卫星

定位等方面都有广泛的应用.如图，A,B,C是球面上不在同一大圆（大圆是过球心的

平面与球面的交线）上的三点，经过这三点中任意两点的大圆的劣弧分别为源,BC，CA，

由这三条劣弧组成的图形称为球面a∕8C.已知地球半径为R,北极为点N,尸、。是地

球表面上的两点.

①若P,。在赤道上，且经度分别为东经40°和东经100°,则球面的面积

为;

②若NP=NQ=PQ=织且R,则球面△%产0的面积为•

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第4页（共20页）

2022-2023学年高一下数学：外接球和内切球问题

参考答案与试题解析

一.选择题（共12小题）

I.（2021秋•四川期中）两个球的表面积之差为48m它们的大圆周长之和为12π,这两个

球的半径之差为（）

A.4B.3C.2D.1

【考点】球的体积和表面积.

【专题】空间位置关系与距离.

【分析】根据球的表面积公式及大圆的面积公式，求出两球的半径即可.

【解答】解：V4πΛ2-4πr2=48π^Λ2-r2=12,①

：2nR+2τrr=12ττnr+R=6,（2）

由①②得R-r=2③，联立②③解得R=4,厂=2

ΛR-r=2.

故选：C.

【点评】本题考查球的表面积公式.S球=4π^∙

2.（2021秋•西青区期末）已知三棱柱NBC-48∣Cj的6个顶点都在球。的球面上，若4B

=3,4C=4,ABA.AC,/出=12,则球。的表面积为（）

A.153πB.160πC.169πD.360π

【考点】球的体积和表面积.

【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离.

【分析】由于直三棱柱∕8C-∕ι8∣Cl的底面/8C为直角三角形，我们可以把直三棱柱

∕8C-∕∣8∣C∣补成四棱柱，则四棱柱的体对角线是其外接球的直径，求出外接球的直径

后，代入外接球的表面积公式，即可求出该三棱柱的外接球的表面积.

【解答】解：由题意，三棱柱NBC-NIBICI为直三棱柱NBC-∕ι8ιC∣,底面NBC为直

角三角形，把直三棱柱∕8C-∕∣8ιC∣补成四棱柱，

则四棱柱的体对角线是其外接球的直径，

所以外接球半径为∙∣√∕7否?ɪ=号，

则三棱柱ABC-小8ιCI外接球的表面积是4πΛ2=169π.

第5页（共20页）

故选：C.

【点评】本题考查球的体积和表面积，球的内接体问题，考查学生空间想象能力，是基

础题.

3.（2021秋•海南州期中）长方体的三个相邻面的面积分别是2,3,6,这个长方体的顶点

都在同一个球面上，则这个球的表面积为（）

A.12LB.56πC.14πD.16π

2

【考点】球的体积和表面积.

【专题】转化思想；综合法；球；数学运算.

【分析】由题意长方体的外接球的直径就是长方体的体对角线，求出长方体的体对角线

长，就是求出球的直径，然后求出球的表面积.

【解答】解：因为一个长方体相邻的三个面的面积分别是2,3,6,

长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3,2,1,且它的8个顶点都在同一个球面上,

所以长方体的体对角线就是球的直径，

长方体的体对角线的长是：√12+22+32=√14.

球的半径是：叵，

2

这个球的表面积：4π∙（Vjl）2=14π.

故选：C.

【点评】本题是基础题，考查球的表面积，注意球的直径与长方体的体对角线之间的转

化是本题的解答的关键，考查计算能力，空间想象能力.

4.（2021秋•海南州期中）已知棱长为1的正四面体的四个顶点都在一个球面上，则这个球

的体积为（）

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A.VlπB.⅛πC.返兀D.返兀

8484

【考点】球的体积和表面积.

【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离：逻辑推理；数学运算.

【分析】把四面体补成正方体，两者的外接球是同一个，求出正方体的棱长，然后求出

正方体的对角线长，就是球的直径，即可求出体积；

【解答】解：将四面体补成正方体，则正方体的棱长是返，正方体的对角线长为：后,

22

则此球的表面积为：lπ×（£）3=逅兀.

348

故选：A.

【点评】本题是基础题，考查空间想象能力，正四面体的外接球转化为正方体外接球，

使得问题的难度得到降低，问题得到解决，注意正方体的对角线就是球的直径，也是比

较重要的.

5.（2021秋•丹阳市期中）已知在三棱锥P-NBC中，PA=PB=PC={GAB=AC=BC

=√3.则三棱锥P-"8C的外接球的表面积为（）

A..25∙.B.ɪθɔɪ.C.10πD.100π

297

【考点】球的体积和表面积.

【专题】转化思想；数形结合法；空间位置关系与距离；数学运算.

【分析】由外接球的球心在正棱锥的高上，求出外接球的半径，由球的表面积公式求解

即可.

【解答】解：：PA=PB=PC=^AB=AC=BC=弧,

故三棱锥P-/8C是正三棱锥，

设PH为三棱锥P-ABC的高，

则其外接球的球心在PH上,

设外接球的半径为R,

C"=返X√3=1，则PH=√2,2=3，

3PCCH

.∖OC2=OH2+CH2,即夫2=（3-A）2+P,解得H="，

3

故三棱锥P-ABC外接球的表面积是S=4πW=4π∙e）2=小匚

9

故选：B.

第7页（共20页）

【点评】本题考查了几何体的外接球问题，解题的关键是确定外接球球心的位置，三棱

锥的外接球的球心在过各面外心且与此面垂直的直线上，由此结论可以找到外接球的球

心，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于中档题.

6.（2021秋•江西期中）已知圆台的上、下底面的半径分别为3,4,母线长为5&,若该

圆台的上、下底面圆周均在球。的球面上，则球。的表面积为（）

A.50πB.100πC.150πD.200π

【考点】球的体积和表面积.

【专题】计算题；整体思想；演绎法；空间位置关系与距离；逻辑推理：直观想象；数

学运算.

【分析】由题中条件得到圆台的高，再分圆台的两个底面在球心。异侧与同侧两种情况

讨论即可得到答案.

【解答】解：由题得圆台的高为h=q2_（4.3）2=7,

设圆台的上下底面圆心为。1，。2，OO1=X,球。的半径为R,

当圆台的两个底面在球心。异侧时，OO2=7-X,

222

所以R2=X+32=（I-X）+4,

解得x=4,R=5；

当圆台的两个底面在球心。同侧时，OO2=X-7,

R2-^-+32-（X-7）2+42,

解得x=4,R—5,

此时4-7V0,不合题意，舍去，

故球O的表面积S=4πA2=100π,

故选：B.

【点评】本题考查了几何体的外接球的表面积问题，属于中档题.

7.（2021秋•顺庆区校级期中）在三棱锥P-48C中，PA,PB,PC两两垂直，PA=∖,PB

第8页（共20页）

=2,PC=3,则该三棱锥的外接球的表面积为（）

A.■^冗B.56πC.冗D.14π

43

【考点】球的体积和表面积.

【专题】转化思想；分割补形法；空间位置关系与距离；数学运算.

【分析】把三棱锥P-48C放置在一个长方体中，求出长方体的外接球的表面积，即为

三棱锥P-ABC的外接球的表面积.

【解答】解：如图，把三棱锥P-NBC放置在一个长方体中，

则三棱锥的外接球即长方体的外接球，半径为灯否齐^二φ∙,

.∙.该三棱锥的外接球的表面积为4πX9鲁）2=]4兀.

故选：D.

B

【点评】本题考查多面体外接球表面积的求法，训练了分割补形法，是基础题.

8.（2021秋•河南期中）已知三棱锥力-BC。的四个顶点都在球。的球面上，底面8CZ）是

边长为2√S的正三角形,若三棱锥A-BCD体积的最大值为6,则球。的表面积为（）

A.16πB.18πC.ʒlɪD..θ12L

33

【考点】球的体积和表面积.

【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；数学运算.

【分析】设球的半径为R,球心。到底面BC。的距离为d,ABS外接圆的半径为r,

由已知求得广，再由三棱锥Z-88体积的最大值为6可得R与d的关系式，结合勾股

定理求解R值，则球。的表面积可求.

【解答】解：设球的半径为R,球心O到底面BCD的距离为d,

△8C。外接圆的半径为八

•.•△88是边长为2a的正三角形，.∙.2r=2^=4,则厂=2,

SinoO√3

第9页（共20页）

2

SΔBCD=ɪ×2√3×2√3×y-=3√3∙

∙.∙∕+Γ2=R2,即/+4=欣①

三棱锥A-BCD体积的最大值为上X3√^×（R+d）=&即R+^=2√3>②

3

联立①②，解得R=球。的表面积为S=4nR2=旦HL.

33

故选：D.

【点评】本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运

算求解能力，是中档题.

9.（2021秋•河南期中）在三棱锥S-NBC中，NSB/=NSd=生，底面/8C是边长为2

2

的等边三角形，若二面角S-BC-N的大小为竺，则三棱锥S-NBC的外接球表面积

3

大小为（）

A164b17_c19_d20_

3333

【考点】球的体积和表面积.

【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；球；逻辑推理；数学运算.

【分析】首先利用三角形的全等和余弦定理的应用求出三棱锥体的外接球的直径，进一

步利用球的表面积公式的应用求出球的表面积.

【解答】解：如图所示:

取8。的中点。，连接SO和Z。，

由于NSB/=NScZ=JL,BA=AC,"为公共边,

2

所以as∕8丝Z∖S4C,

贝IjS8=SC,

第10页（共20页）

所以S0_L8C,OALBC,

所以NSO，为二面角S-BC-/的平面角.故//OS=%：,

3

设SO=X,则58=4+],

由于NSBA=卷，

所以"=dχ2+5,

在aSQI中，由余弦定理：SA2=SO2+0A2-2∙sθ'θʌ"eosɪ'

即J+3W^X=X2+5，

解得X=,,

√3—

所以三棱锥S-ABC的外接球的直径2R=S4={χ2+5=腭,

所以S球=4•兀•竽•=丹三

故选：C.

【点评】本题考查的知识要点：三角形的全等，二面角的定义，余弦定理，球的表面积

公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题.

10.（2021春•福建期中）已知在菱形NBC。中，AB=BD=2√3.将菱形/8CZ）沿对角线8。

折起，得到三棱锥/-88,且使得棱AC=3√W则三棱锥力-BC。的外接球的表面积

为（）

A.7πB.I4πC.28πD.35π

【考点】球的体积和表面积.

【专题】转化思想；综合法；解三角形；空间位置关系与距离；球；逻辑推理；数学运

算.

【分析】直接利用折叠问题的应用求出相关的线段的长，进一步利用勾股定理和余弦定

理的应用求出球的半径，最后利用球的表面积公式的应用求出结果.

【解答】解：在菱形“88中，AB=BD=2√3.将菱形/88沿对角线8。折起，得到三

棱锥/-BCD,

如图所示：

第11页（共20页）

等边三角形的中心为O',球心为。，

利用AC—AB=2f∖[^,

所以4/=CF=3,

利用余弦定理」CoSNAFC='''K等'等

故NAFC=等，

故NAFE=等，

ð

o

AE=AF9^∖n-=ɜ'ʃɜ,0，F=⅛R=I,EF=AFsMQ=3,

sιn322^2

设外接球的半径为七

,,2,22

OO=x,OO+OB=OB9

所以/+22=火2,

利用（竽-X）2+（∣∙+1）2=R2,

解得X=E，

所以R=∖∣^j,

故：S^=4-π∙（√7）2=28K∙

故选：C.

【点评】本题考查的知识要点：折叠问题，勾股定理，余弦定理，球的半径的求法，球

的表面积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题.

11.（2021春•宜春期末）粽子古称“角黍”，是中国传统的节庆食品之一，由粽叶包裹糯米

等食材蒸制而成.因各地风俗不同，粽子的形状和味道也不同，某地流行的“五角粽子”,

其形状可以看作所有棱长均为4cm的正四棱锥.现在需要在粽子内部放入一颗咸蛋黄，

第12页（共20页）

蛋黄的形状近似地看成球，则当这个蛋黄的体积最大时，蛋黄的半径为（）

A.∖fξ）+∖[2B∙V6-V2c.Λ∕3+1D.ʧɜ-l

【考点】球的体积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积.

【专题】数形结合；等体积法；空间位置关系与距离；数学运算.

【分析】由三角形面积公式求出侧面积，再由正方形面积公式求得底面积，则表面积可

求，求出正四棱锥的高，再由等体积法求内切球的半径.

【解答】解：由粽子的形状是所有棱长均为4CM的正四棱锥，

得每个侧面三角形的面积为上X4X4X返=4√5”/.

22

粽子的表面积为4X4√^÷4X4=（16√3÷16）COT2;

球的体积要达到最大，则需要球与四棱锥的五个面都相切，

正四棱锥的高为h-22CW,设球的半径为八

A∕4-（2√2）=2√2

，四棱锥的体积H=工X（16√3M6）r≈Jl×16×2√2,解得，∙=√^-√^cw.

33

故选：B.

【点评】本题考查空间几何体的结构特征及相关计算，考查运算求解能力，是中档题.

12.（2021•新疆模拟）如图，边长为2的正方形Z8C。中，点E、F分别是/B、8C的中点,

将△/£>£∕∖EBF,AFCD分别沿DE,EF,ED折起，使得/、B、C三点重合于点加，

若四面体HEEo的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（）

D.5π

【考点】球的体积和表面积.

第13页（共20页）

【专题】计算题；方程思想；综合法；球.

【分析】把棱锥扩展为正四棱柱，求出正四棱柱的外接球的半径就是三棱锥的外接球的

半径，从而可求球的表面积.

【解答】解：由题意可知△4'Ek是等腰直角三角形，且T。，平面HEF.

三棱锥的底面小EF扩展为边长为I的正方形，

然后扩展为正四棱柱，三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球，

正四棱柱的对角线的长度就是外接球的直径，直径为：ViTw=√6∙

球的半径为返，

2_

球的表面积为4兀・2≈6π.

故选：B.

【点评】本题考查几何体的折叠问题，几何体的外接球的半径的求法，考查球的表面积,

考查空间想象能力.

二.填空题（共6小题）

13.（2021春•西湖区校级期中）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4,底面

边长为2,则该球的体积为—笙■兀

16

【考点】球的体积和表面积.

【专题】综合题；方程思想；演绎法；空间位置关系与距离.

【分析】正四棱锥尸-NBCO的五个顶点在同一球面上，则其外接球的球心在它的高产Oi

上，记为。，如图.求出/01，OO1，解出球的半径，求出球的体积.

【解答】解：正四棱锥尸-ZBC。的外接球的球心在它的高Pol上，

记为0,PO=AO=R,POl=4,OOl=4-R,

在RtZUOiO中，J0ι=√2,由勾股定理#=2+（4-R）2得R=9,

4

...球的体积为理兀.

16

故答案为：243,π.

第14页（共20页）

P

【点评】本题考查球的表面积，球的内接体问题，解答关键是确定出球心的位置，利用

直角三角形列方程式求解球的半径.

14.（2021秋•北林区校级期中）已知三棱锥S-NBC中，SN_L平面Z5C,且％=4,AB=

NC=2,N历IC=120°,则三棱锥S-/8C的外接球的表面积为32τr.

【考点】球的体积和表面积.

【专题】数形结合；分割补形法；空间位置关系与距离：数学运算.

【分析】将三棱锥S-NBC补形为直三棱柱，由已知求出三角形/8C外接圆的半径，再

由勾股定理求解三棱锥S-ABC外接球的半径，代入球的表面积公式得答案.

【解答】解：如图，

将三棱锥S-/8C补形为直三棱柱，设上、下底面外接圆的圆心分别为02,Oi,

则外接球的球心。为OIo2的中点，由正弦定理得：201A=——十二OM=2,

ɪsin30

oax22,

又001卷SA=2，∙'∙=√001+01A=2√2=R

则三棱锥S-ABC的外接球的表面积为4π×（2√2）2=32π.

故答案为：32ττ.

【点评】本题考查多面体的外接球，考查空间想象能力与思维能力，训练了分割补形法,

考查运算求解能力，是中档题.

15.（2021秋•扬州期中）在三棱锥。-∕BC中，∕B=2,AC=2√9BC=4,且侧棱长均为

第15页（共20页）

2√5,则该三棱锥外接球的表面积为25π.

【考点】球的体积和表面积.

【专题】转化思想；数形结合法；空间位置关系与距离；数学运算.

【分析】由题意画出图形，证明。在底面的射影为8C的中点，再设三棱锥O-48C外

接球的球心为“，MQ=h,外接球的半径为R,由题意列关于2?与人的方程组，求得K

值，代入球的表面积公式得答案.

【解答】解：如图，

由/8=2,AC=2√3-BC=4,得Z82+∕C2=8C2,

则4/8C是以BC为斜边的直角三角形，则的外心。在8C的中点上，

连接OQ,XOA=OB=OC=2√5,可得△。勿g∕∖0Q8丝△（?℃,

则OQJ_平面/8C,且求得00=4,

设三棱锥O-C外接球的球心为M,MQ=h,外接球的半径为R,

fR+h=4R=T

则__，解得＜:

2

U=h÷4∣hJ-

.∙.该三棱锥外接球的表面积为4πX（∙∣）2=25兀.

故答案为：25π.

【点评】本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运

算求解能力，是中档题.

16.（2021秋•金安区校级期中）如图，一个酒杯的内壁的轴截面是抛物线的一部分，杯口

宽4cm,杯深8c小，称为抛物线酒杯.

①在杯□放一个半径为4。”的玻璃球，则球面上的点到杯底的最小距离为」+2«

cm；

②在杯内放入•个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径的取值范围为

（0,/（单位：cm）.

4

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【考点】球的体积和表面积.

【专题】方程思想；数形结合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.

【分析】①以杯子的底部为坐标原点。，建立平面直角坐标系，求得4B的坐标，设

抛物线的方程，把4点代入方程，解得p,可得抛物线的方程，由已知球的半径，结合

图形，利用勾股定理可得所求最小值；

②球C2的横截面的圆的方程为χ2+(y-r)2=户，，>0,联立抛物线的方程，解得N=O

或y=2r-上，由题意可得方程组只有一解y=0,则2,一工W0,即可求得厂的范围.

22

【解答】解：①以杯子的底部为坐标原点O,建立如图所示的直角坐标系，

贝IJZ(-2,8),B(2,8),

设抛物线的方程为/=2々(p>0),

可得22=2∕>X8,解得P=_L,

4

所以抛物线的方程为X2=L,

2'

己知球的半径R=4,

在直角三角形QBCi中，Cι8=4,DB=2,

可得CiD-y∣^2_22=2Λ∕3,

所以球面上的点到杯底的最小距离为8+2√3-4=4+2√3;

②球Q的横截面的圆的方程为X2+(y-r)2=r2,r>0,

(21

联立.2,可得y=0或y=2r-工，

X2+(y-r)2=r22

要使球触及酒杯底部，则只需抛物线与圆相切于顶点(0,0),

联立抛物线和圆的方程只能有I解y=0,另一个解为负数或零，

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所以y=2r-工WO,得OVrW工，

24

所以玻璃球的半径的范围为（0,-ɪ.].

4

故答案为：4+2√3,（0,ɪ].

【点评】本题考查抛物线和圆的方程的求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题.

17.（2021•玉林模拟）如图，正四棱锥尸的每个顶点都在球M的球面上，侧面刃8

是等边三角形.若半球。的球心为四棱锥的底面中心，且半球与四个侧面均相切，则半

球0的体积与球M的体积的比值为—返

【专题】计算题；数形结合；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理；直

观想象；数学运算.

【分析】连接PO,BD,取