人教版八年级数学下册基础知识专项讲练 专题17.23 勾股定理解决含30度和45度的直角三角形（基础篇）（专项练习）

专题17.23勾股定理解决含30度和45度的直角三角形（基础篇）（专项练习）;学生熟悉掌握含30度和45度的直角三角形三边之比求边和角，给我们解题带来很多方便，本专题汇集了部分30度和45度的三角形的题型，供师生选择使用。一、单选题1．中，，，则的值为（

）A． B． C． D．2．在中，，，，则的长是（

）A． B． C． D．3．如图，中，，是高，，，则的值为（

）A．1 B．1.5 C．2 D．4.54．如图，在中，，，是的中线，是的平分线，交的延长线于点，则的长为（

）.A．5.5 B．6.5 C．7.5 D．65．如图，在中，，，，垂足为，的平分线交于点，若，则的长为（

）A． B． C． D．6．如图，平分，于点D．，则的长度是（）A．2.5 B．4 C．6 D．57．如图，在于D，是的平分线，且交于P，如果，则的长为（

）A．9 B．8 C．7 D．68．如图，每个小正方形的边长为1，若A、B、C是小正方形的顶点，则度数为（

）A． B． C． D．9．如图，在中，，，，点是斜边上的一个动点，把沿直线翻折，使点A落在点处，当平行于的一条直角边时，的长为（

）．A．或2 B．或3 C．或2 D．或310．如图，在中，点在边上且，于点，，，，则的长等于（

）A． B． C． D．11．如图，在中，，，交于D，，则的长为（

）A．6 B．8 C．9 D．1012．如图，在中，，于点D，平分，且于点E，与交于点F，H是的中点，连接，与交于点G．有下列结论：①是等腰三角形；②；③；④，其中，正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题13．如图，把含，角的两块直角三角形放置在同一平面内，若，则_____．14．如果，AD是△ABC的中线．∠ADC＝45°，BC＝4cm，把△ACD沿AD翻折，使点C落在E的位置．则BE为______．15．如图，在中，分别以B，C为圆心，大于的长为半径，在BC两侧画弧，分别交于E、F两点，连接EF，并延长EF，交AB于点D．若，，且，则AC的长为______16．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠BAD＝30°，∠C＝45°，BD＝2，则AC＝_____．17．如图所示，在中，，是斜边的中线，于点E，若，，则的面积为________．18．如图，在中，，，，点D在边上，将沿直线翻折后，点A落在点E处．如果，那么线段的长为__．19．如图，在中，，，，点P是线段上一动点，点M在线段上，当时，的最小值为______．20．在中，，则_________．三、解答题21．如图，在中，已知，，，求的长．22．如图，以一边为直角边构造，且，，，．(1)求证：为直角三角形．(2)若点P为上一动点，连接，，求最小值．23．如图，是的高，，，，求的长．24．如图，是的中线，，把沿着直线翻折，点C落在点E的位置，如果，那么线段的长度为_____．25．如图，在△ABC中，∠B＝60°，点D，E分别在边BC，AC上，，EF⊥DE交BC的延长线于点F．(1)求∠F的度数．(2)若∠CEF＝30°，CE＝1，求△CEF的周长．26．如图，某海岸线的方向为北偏东，从港口A处测得海岛C在北偏东方向，从港口B处测得海岛C在北偏东方向，已知港口A与海岛C的距离为36海里，求港口B与海岛C的距离．参考答案1．C【分析】根据已知条件可知为等腰直角三角形，得到，再利用勾股定理求出长即可得到答案．解：如图：，，，设，由勾股定理得：，，故选C．【点拨】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练运用勾股定理是解题关键．2．D【分析】先利用直角三角形的性质证明，再利用勾股定理即可解答．解：如图，∵，，，∴，，∴，∴，，故选D．【点拨】本题考查的是含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，熟练的利用勾股定理解题是关键．3．D【分析】先根据含30度的直角三角形的性质求得，再根据余角的性质求得，则可由含30度的直角三角形的性质求得，即可由求解．解：∵，，∴，∵，∴，∵是的高，∴，∴，∴，∴，∴．故选：D．【点拨】本题考查直角三角形性质，余角性质，熟练掌握含30度所对的直角边等于余边的一半是解题的关键．4．B【分析】根据等腰三角形的性质可得，从而可得到，再根据角平分线的性质即可得到，从而可推出，根据含30°角的直角三角形性质即可求得AD的长，即可求得的长．解：∵中，，是的中线，∴，∵，∴，∴，∵是的平分线，∴，∵，∴，∴，∴．∵，∴，故选B．【点拨】本题考查了含30°角的直角三角形性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质等知识点，能求出是解此题的关键．5．C【分析】根据已知条件得出，根据含度角的直角三角形的性质得出，根据等腰直角三角形的性质，勾股定理即可求解．解：∵，，∴，∵是的平分线，∴，∴，，∴∴∴,∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴，故选：C．【点拨】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，等角对等边，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，求得是解题的关键．6．D【分析】过点P作于E，根据角平分线的定义、平行线的性质可得，再根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半可得的长，最后根据角平分线的性质即可求解．解：如图，过点P作于E，∵平分，∴，∵，∴，∴，∵平分，，，∴．故选：D．【点拨】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，平行线的性质，熟记性质并作辅助线构造出直角三角形以及与相等的线段是解题的关键．7．A【分析】先利用三角形内角和和角平分线定义计算出，则，再利用含30度的直角三角形三边的关系得到，然后计算即可．解：∵，∴，∵，∴，∵是的平分线，∴，∴，在Rt△PBD中，，∴．故选：A【点拨】本题考查直角三角形的性质和角平分线的性质，掌握角直角三角形斜边和直角边的关系为解题关键．8．B【分析】在格点三角形中，根据勾股定理即可得到，，的长度，继而可得出的度数．解：根据勾股定理可得：，，，即，是等腰直角三角形．．故选：B．【点拨】本题考查了勾股定理及其逆定理，判断是等腰直角三角形是解决本题的关键，注意在格点三角形中利用勾股定理．9．A【分析】分两种情况：；；利用折叠的性质及直角三角形的性质即可完成完成．解：当时，如图，则，由折叠的性质得：，，，，，，，，，，，，，，，；当时，如图，则，，，，，，，；综上，的长为或2．故选：A．【点拨】本题考查了折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，掌握折叠的性质，利用分类讨论思想解题是关键．10．D【分析】根据于点，，，，可求出，如图所示（见详解），过点作于，与交于点，在中，在中，分别求出的值，根据特殊角直角三角形边的关系即可求解．解：∵于点，，，，∴在中，，，在中，，∵，∴，是等腰三角形，如图所示，过点作于，与交于点，设，则，∴，在中，，在中，，，∴，∵，，，∴，∴，即，解方程得，，∴，故选：．【点拨】本题主要考查含特殊角的直角三角形的综合知识，掌握特殊角的直角三角形各边的关系，相似三角形对应角相等的性质是解题的关键．11．A【分析】根据三角形内角和定理，等腰三角形的性质得到，根据直角三角形的性质求出，根据等腰三角形的性质求出，计算即可．解：∵，，∴，∵，∴，又∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，故选：A．【点拨】本题主要考查的是等腰三角形的性质，直角三角形的性质，掌握直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．12．B【分析】①根据角平分线的定义可得，然后证明出，可得，从而得证；②根据题意证明出，进而求解即可；③根据等腰直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行解答；④过点G作于M，只要证明即可判断④错误．解：∵平分，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴是等腰三角形，故①正确；∵，，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，故②正确；∵，H为上的中点，∴，，设，则，，∴，故③错误；过点G作于M，∵平分，，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，故④错误，∴正确的有①②，共2个．故选：B．【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，三线合一，勾股定理，平行线的性质，勾股定理，熟练掌握三角形全等的判定方法并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．13．4【分析】由题意是等腰直角三角形，求得，再利用含的直角三角形的性质即可求解．解：∵是含的直角三角形，且，∴，∴，∵是含的直角三角形，且，，∴，故答案为：4．【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，含的直角三角形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．14．##厘米【分析】根据折叠的性质可得∠CDE=90°，DE=CD=2cm，从而得到∠BDE=90°，再由勾股定理，即可求解．解：∵AD是△ABC的中线，BC＝4cm，∴BD=CD=2cm，∵把△ACD沿AD翻折，使点C落在E的位置，∴∠ADE=∠ADC=45°，DE=CD=2cm，∴∠CDE=90°，∴∠BDE=90°，∴．故答案为：【点拨】本题主要考查了图形的折叠，勾股定理，熟练掌握图形的折叠的性质，勾股定理是解题的关键．15．5【分析】连接CD，根据线段垂直平分线的性质得到DC=BD=4，根据三角形的外角性质求出∠ADC=90°，再根据勾股定理计算，得到答案．解：连接CD，由尺规作图可知，EF是线段BC的垂直平分线，∴DC=BD=4，∴∠DCB=∠B=45°，∴∠ADC=∠DCB+∠B=90°，∴AC==5，故答案为：5．【点拨】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．16．【分析】根据含30度角的直角三角形的性质得出AD，再由∠C=45°，利用勾股定理得出AC即可．解：在△ABC中，AD⊥BC于D，∠BAD＝30°，BD＝2，∴AB＝2BD＝4，∴AD＝＝＝2．∵∠C＝45°，∴△ADC是等腰直角三角形，∴AD＝CD＝2，∴AC＝2．故答案为：2．【点拨】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，利用含30度角的直角三角形的性质得出AD的长是解题的关键．17．【分析】由,，，求出，再求出，利用勾股定理解三角形，求出各边即可求解．解：,，，,是斜边的中线，,在中，,，,,,,故答案为：.【点拨】本题考查了含的直角三角形的特点、勾股定理和三角形面积公式；灵活运用“角所对的直角边等于斜边的一半”是解题的关键.18．【分析】连接，根据翻折的性质可得，，，由可得是等腰直角三角形，可求出，根据等腰三角形的性质可求出，即可求出，由直角三角形两锐角互余可得，即可求出，可证明是等腰直角三角形，可得，根据含角的直角三角形的性质可得，利用勾股定理可求出的长，根据可求出的长，即可得的长．解：连接，如图∵沿直线翻折后点A落在点E处，∴，，，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，在中，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，，，∴，∴，∴，∴．【点拨】本题考查了翻折的性质，含角的直角三角形的性质及勾股定理，翻折前后的两个图形全等，对应边相等，对应角相等；角所对的直角边等于斜边的一半，正确得出翻折后的对应边及对应角并熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．19．【分析】作点B关于的对称点，连接交于点P，则，可得的最小值为的长，过点作于点H，根据，，可得，从而得到，由勾股定理可得，再由，可得，再由勾股定理，即可求解．解：如图，作点B关于的对称点，连接交于点P，则，∴，∴的最小值为的长，过点作于点H，∵，，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即的最小值为．故答案为：【点拨】本题考查了勾股定理的使用，涉及了轴对称图形的性质，掌握并熟练使用相关知识，同时注意解题中需注意的事项是本题的解题关键．20．或【分析】根据题意分三种情况分析：当为锐角三角形时；当为直角三角形时；当为钝角三角形时；然后作出辅助线，利用勾股定理求解即可．解：如图所示，当为锐角三角形时：过点A作，∵，∴，，∴，∴；当为直角三角形时，当为斜边时，不符合题意舍去；当为直角边时，∵，∴；此时不满足勾股定理，应舍去当为钝角三角形时：过点C作的延长线于点E，∵，∴设，则，∴，，∴，即，解得：，或；∴综上可得：或；故答案为：或．【点拨】题目主要考查含30度角的直角三角形的性质及勾股定理解三角形，理解题意作出相应辅助线进行分类讨论是解题关键．21．【分析】如图所示，过点C作于D，则，利用含30度的直角三角形的性质和勾股定理求出的长即可得到答案．解：如图所示，过点C作于D，则，∵，，∴，∴，∴，∴．【点拨】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．22．(1)见分析 (2)最小值为【分析】（1）根据题意得，，，根据三角形内角和定理得，即可得，则，根据勾股定理的逆定理即可得，即可得；（2）延长至M，使得，连接，，过点B作于点N，则，，根据矩形的性质和勾股定理得，根据，得当B、P、M三点共线时，取最小值为，即可得．解：（1）证明：根据题意得，，，∴，∵，∴，∵，，∴，，∴，∴△ABC为直角三角形；（2）解：如图所示，延长至M，使得，连接，，过点B作于点N，则，，∵，∴四边形是矩形，∴，，，∴，∵，当B、P、M三点共线时，取最小值为，∴最小值为．【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，两点之间线段最短性质，解题的关键是掌握这些知识点，确定的最小是．23．【分析】先利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出的长，再证明，即可利用勾股定理求出的长．解：∵是的高，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴．【点拨】本题主要考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，二次根式的计算，正确求出的长是解题的关键．24．【分析】根据折叠的性质判定是等边三角形，然后再利用求．解：连接，是的中线，且沿着直线翻折，，是等腰三角形，，，为等边三角形，，在中，，．【点拨】本题考查了翻折变换，还考查的知识点有两个：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对