向量的数量积学案 高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

向量的数量积的学案【学习目标】（一）学习目标(1)掌握平面向量的数量积及其几何意义.(2)掌握平面向量数量积的重要性质及运算律.(3)了解用平面向量的数量积处理垂直问题的方法.(4)掌握向量垂直的条件.【学习重难点】（一）学习重难点重点

平面向量的数量积的概念及其应用.

难点

对平面向量的数量积的概念的理解以及平面向量数量积的应用.【预习新知】（一）向量的数量积运算的运算律与向量垂直、夹角有关的问题[探究问题]1．设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？反之成立吗？提示：a⊥b⇔a·b＝0.2．|a·b|与|a||b|的大小关系如何？为什么？对于向量a，b，如何求它们的夹角θ？提示：|a·b|≤|a||b|，设a与b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cosθ.两边取绝对值得：|a·b|＝|a||b||cosθ|≤|a||b|.当且仅当|cosθ|＝1，即cosθ＝±1，θ＝0°或π时，取“＝”，所以|a·b|≤|a||b|，cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|).【例3】(1)已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，若向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，则k的取值范围为________．(2)已知非零向量a，b满足a＋3b与7a－5b互相垂直，a－4b与7a－2b互相垂直，求a与b的夹角．思路点拨：(1)两个向量夹角为锐角等价于这两个向量数量积大于0且方向不相同．(2)由互相垂直的两个向量的数量积为0列方程，推出|a|与|b|的关系，再求a与b的夹角．(1)(0,1)∪(1，＋∞)[∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝keeq\o\al(2,1)＋keeq\o\al(2,2)＋(k2＋1)e1·e2＝2k＞0，∴k＞0.当k＝1时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为0°，不符合题意，舍去．综上，k的取值范围为k＞0且k≠1.](2)[解]由已知条件得②－①得23b2－46a·b＝0，∴2a·b＝b2，代入①得a2＝b2，∴|a|＝|b|，∴cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(\f(1,2)b2,|b|2)＝eq\f(1,2).∵θ∈[0，π]，∴θ＝eq\f(π,3).1．将本例(1)中的条件“锐角”改为“钝角”，其他条件不变，求k的取值范围．[解]∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为钝角，∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝keeq\o\al(2,1)＋keeq\o\al(2,2)＋(k2＋1)e1·e2＝2k＜0，∴k＜0.当k＝－1时，e1＋ke2与ke1＋e2方向相反，它们的夹角为π，不符合题意，舍去．综上，k的取值范围是k＜0且k≠－1.2．将本例(1)中的条件“锐角”改为“eq\f(π,3)”，求k的值．[解]由已知得|e1＋ke2|＝eq\r(e\o\al(2,1)＋2ke1·e2＋k2e\o\al(2,2))＝eq\r(1＋k2)，|ke1＋e2|＝eq\r(k2e\o\al(2,1)＋2ke1·e2＋e\o\al(2,2))＝eq\r(k2＋1)，(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝keeq\o\al(2,1)＋keeq\o\al(2,2)＋(k2＋1)e1·e2＝2k，则coseq\f(π,3)＝eq\f((e1＋ke2)(ke1＋e2),|e1＋ke2||ke1＋e2|)＝eq\f(2k,1＋k2)，即eq\f(2k,1＋k2)＝eq\f(1,2)，整理得k2－4k＋1＝0，解得k＝eq\f(4±\r(12),2)＝2±eq\r(3).研究数量积的意义1.给出向量投影的概念：如图，我们把││cos（││cos）叫做向量在方向上（在方向上）的投影，记做：OB1=︱││︱cos2.提出问题5：数量积的几何意义是什么？数量积·等于的长度︱︱与在的方向上的投影︱︱cos的乘积。3.研究数量积的物理意义请同学们用一句话来概括功的数学本质：功是力与位移的数量积。【巩固训练】（一）巩固训练1.已知点O为所在平面内一点,在中,满足,,则点O为该三角形的()A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心2.已知正方形的边长为2,若,则()A.2 B.-2 C.4 D.-43.已知菱形的边长为1，，O为菱形的中心，E是线段上的动点，则的最小值为()A.1 B. C. D.4.已知，为平面向量，其中，，，则()A.1 B.2 C. D.45.已知向量a，b满足，，则__________.6.若,是夹角为60°的两个单位向量,则向量与的夹角为()A.30° B.60° C.90° D.120°

参考答案1.答案：B解析：根据题意,,即,所以,可得向量在向量上的投影为的一半,可分析出点O在边AB的中垂线上,同理可得,点O在边AC的中垂线上,所以点O为该三角形的外心.故选B.2.答案：B解析：.故选：B.3.答案：C解析：设，其中，由平面向量数