分数阶脉冲和四元数值神经网络的稳定性和同步性

分数阶脉冲和四元数值神经网络的稳定性和同步性近年来,分数阶微积分作为整数阶微积分在阶次上的任意推广,在科学和工程领域的诸多分支的理论研究和应用实践中都获得了广泛地关注。这主要得益于和整数阶微积分相比,分数阶微积分具有非局部性和弱奇异性。分数阶微积分最大的优势在于它能够很好地描述具有记忆和遗传特性的各种材料和过程。众所周知,为了提高神经网络处理二维数据的能力,人们提出了复数神经网络,原因是复数神经网络可以在二维空间里将一个点看成一个整体来描述,而不是像实值神经网络一样将这个点看作一个含有两个数据的集合来处理。然而,在实际生活中,我们不可避免地会遇到处理三维数据,像身体图像,颜色图像等。这个时候,复数神经网络就失去了它的优势了,尽管我们仍然可以通过使用多个复数神经元来实现三维数据的处理。于是,为了能够直接处理三维数据,人们提出了四元数值神经网络。由于四元数值神经网络能够高效、紧凑地直接对三维数据编码处理。因此,四元数值神经网络迅速成为研究热点,并广泛应用于图像压缩,卫星姿态控制,计算机制图等领域。另外,很多实际应用的系统模型,诸如调频信号处理系统,病理学中的节奏破裂模型,人口交互模型以及飞行物运动模型等,它们的状态总是会不可避免地遭受瞬时的扰动,或者在某些特定的时刻突然产生了跳变。这些情况的发生主要来源于频率的变化,切换现象或者一些突然噪声干扰等,我们称之为脉冲影响。本文主要结合上述涉及的内容,研究非线性动力系统的稳定性和同步性问题。具体有以下几方面内容:首先,分别研究了一类分数阶脉冲非线性系统的稳定性问题,和一类带有不确定参数的分数阶脉冲非线性系统的稳定性问题。基于分数阶微积分理论,脉冲微分方程理论,S-过程,Lyapunov直接方法和一些矩阵不等式,并通过设计合适的脉冲控制器,建立了一些判定研究模型的Mittag-Leffler稳定性的充分性判据。第二,研究了一类状态相关脉冲分数阶非线性系统的稳定性问题,和一类状态相关脉冲分数阶神经网络的稳定性问题。通过运用B-等价方法和分数阶微积分理论,所讨论的状态相关脉冲分数阶非线性系统(或神经网络)可以弱化为固定时刻脉冲非线性系统(或神经网络),并且后者可以看作是前者的比较系统。同时,给出了一系列说明状态相关脉冲非线性系统(或神经网络)和与之对应的固定时刻脉冲系统(或神经网络)具有相同的稳定特性的充分性判据。此外,建立了一些判定研究模型的稳定性的充分性条件。第三,研究了一类具有不确定参数的时滞分数阶忆阻复数神经网络的全局渐近同步性问题。在Filippov解和微分包含的理论支撑下,采取线性反馈控制理论并基于Lyapunov直接方法和比较定理的方法,建立了几个用于判定所研究的驱动—响应模型能够实现全局渐近同步的充分性判据。第四,研究了一类带有线性阈值函数的分数阶四元数值神经网络的全局Mittag-Leffler稳定性和同步性问题。基于四元数乘法的Hamilton法则,将研究模型分离成四个实值神经网络模型。于是,通过研究分离的实值模型的动力学特征可以间接得到原模型的动力学特征。然后,基于M-矩阵方法,给出了分数阶四元数值神经网络的平衡点的存在唯一性条件。此外,通过运用Lyapunov直接方法,分数阶微分方程理论,矩阵特征值理论和一些不等式技巧,建立了几个判定研究模型的唯一平衡点的全局Mittag-Leffler稳定性判据以及相关驱动—响应模型的全局Mittag-Leffler同步性判据。第五,研究了脉冲对带有不确定参数的四元数值神经网络的稳定性的影响问题。讨论了两种情况:(i)脉冲四元数值神经网络带有稳定的连续子系统和镇定的脉冲的鲁棒Mittag-Leffler稳定性分析;(ii)脉冲四元数值神经网络带有不稳定的连续子系统和镇定的脉冲的鲁棒指数稳定性分析。对于情形(i),通过运用Lyapunov直接方法,脉冲微分方程理论和Laplace变换的方法,建立了几个判定研究模型的零解是鲁棒Mittag-Leffler稳定性的判定条件。对于情形(ii),通过运用Lyapunov直接方法,脉冲微分方程理论和数学归纳法,建立了几个判定研究模型的零解是鲁棒指数稳定的判据。最后,研究了状态相关脉冲对带有不确定参数的四元数值神经网络的鲁棒指数稳定性的影响问题。由于四元数乘法的不可交换性,研究模型被分离成了四个实值网络模型。然后,建立了几个确保分离的实值状态相关脉冲网络模型的每一个解能够且仅能够和不连续平面碰撞一次的假设条件。同时,通过运用B-等价方法,所研究的状态相关脉冲模型可以弱化为固定时刻脉冲模型,且后者可以看作是前者的比较系统。为了后续的分析,提出了一个新颖的分块矩阵的范数不等式,该不等式在分析状态相关脉冲模型和其弱化的固定时刻脉冲模型具