2014-2023年天津高考真题和模拟题：立体几何与空间向量（选择填空题）（解析版）

大数据之十年高考真题（2014-2023）与优质模拟题（天津卷）

专题09立体几何与空间向量（选择填空题）

真题汇总口

1.【2023年天津卷08】在三棱锥P-4BC中，线段PC上的点M满足PM=[PC,线段PB上的点N满足PN=

\PB,则三棱锥P—4MN和三棱锥P—48c的体积之比为（）

1214

A.-B.-C.-D.-

9939

【答案】B

【详解】如图，分别过MC作MMUPACC'1P4,垂足分别为M'C.过B作BBT平面PAC,垂足为B',连

接PB',过N作NN'_LPB',垂足为N'.

因为BB'l平面P4C,88'<=平面「8夕，所以平面PBB'1平面P4C.

又因为平面PBB'CI平面P4C=PB',NN'1PB',NN'u平面PBBI所以NN'1平面24C,S.BB'//NN'.

在APCC'中，因为MM'_L24,CC'，P4，所以所以等=器=5

在△PB8'中，因为BB7/NN',所以"="=三，

PBBB3

所以生"型="P4M=*APAM.NN'=需=2

Vp-ABCVB-PAC―-9,

故选：B

2.【2022年天津卷08]如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三

棱柱的底面是顶角为120。，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（）

A.23B.24C.26D.27

【答案】D

【详解】该几何体由直三棱柱4FD-BHC及直三棱柱。GC-4EB组成，作HM1CB于M,如图,

因为CH=BH=3.Z.CHB=120",所以CM=BM=述,HM=

22

因为重叠后的底面为正方形，所以48=BC=3b，

在直棱柱”。-BHC中，ABJ■平面BHC,则4B±HM,

由4BnBC=B可得HMJ_平面4CCB,

设重叠后的EG与FH交点为/,

则*血=1x3V3x3V3x|=日■MFD-BHC=：x3遍x|x3b=?

则该几何体的体积为V=2VAFD_BHC-VI-BCDA=2x号一§=27.

故选：D.

3.【2021年天津06】两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为等,两个圆锥

的高之比为1:3,则这两个圆锥的体积之和为（）

A.37TB.47rC.9TTD.127r

【答案】B

【解析】

如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点D,

设圆锥4D和圆锥8。的高之比为3:1,即4。=3BD,

设球的半径为R，则皿=也，可得R=2,所以，AB=AD+BD=4BD=4,

33

所以，BD=1,AD=3,

•••CDLAB,RUC/ID+^ACD=ABCD+AACD=90",所以，4CAD=4BCD,

又因为N4CC=NBDC,所以，4ACDfCBD,

所以，CL）DUCD=7AD-BD=V3,

因此，这两个圆锥的体积之和为:兀x.（4。+8。）=17rx3x4=47r.

故选：B.

4.【2020年天津卷05］若棱长为2国的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）

A.127rB.247rC.367rD.1447r

【答案】c

【解析】

这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，

即”本可+（2；），（2时一,

2

所以，这个球的表面积为S=4兀/?2=4TTx3=367r.

故选：C.

5.【2016年天津文科03】将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯

视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（)

正视图

俯视图

【答案】解：由主视图和俯视图可知切去的棱锥为。-AUC,

棱CD\在左侧面的投影为BA\,

故选：B.

6.[2019年天津文科12]已知四棱锥的底面是边长为企的正方形，侧棱长均为近.若圆柱的一个底面的

圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为一.

【答案】解：由题作图可知，四棱锥底面正方形的对角线长为2,且垂直相交平分，

由勾股定理得：正四棱锥的高为2,

由于圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，

有圆柱的上底面直径为底面正方形对角线的一半等于1,即半径等于今

由相似比可得圆柱的高为正四棱锥高的一半1,

则该圆柱的体积为：v=sh=n（1）2xl=*

n

故答案为：一

4

7.【2019年天津理科11】已知四棱锥的底面是边长为近的正方形，侧棱长均为遥.若圆柱的一个底面的圆

周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为一.

【答案】解：山题作图可知，四棱锥底面正方形的对角线长为2,且垂直相交平分，

由勾股定理得：正四棱锥的高为2,

由于圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，

有圆柱的上底面直径为底面正方形对角线的一半等于1,即半径等于点

由相似比可得圆柱的高为正四棱锥高的一半1,

则该圆柱的体积为：产“7=兀（7）2xl=

24

71

故答案为：一

4

8.【2018年天津理科11】已知正方体ABC。-481Goi的棱长为1,除面ABC。外，该正方体其余各面的

中心分别为点E,F,G,H,M（如图），则四棱锥M-E尸GH的体积为.

【答案】解：正方体的棱长为1，M-EFG”的底面是正方形的边长为：y,

四棱锥是正四棱锥，棱锥的高为:

2

四棱锥M-EFG”的体积：（三）x-=—.

1

故答案为f：—

9.【2018年天津文科11]如图，已知正方体ABCC-481C1Q的棱长为1,则四棱锥4-8助。1£＞的体积

为.

【答案】解：由题意可知四棱锥4-881。。的底面是矩形，边长：1和VL

四棱锥的高：|A,C]=^.

1/—\[2.1

则四棱锥4-38i£)]£)的体积为：-xlxv2x—=-.

故答案为：

10.【2017年天津理科10】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18,则这

个球的体积为.

【答案】解：设正方体的棱长为〃，

・・•这个正方体的表面积为18,

***6〃~=18,

则/=3,即a=>/3,

；一个正方体的所有顶点在一个球面上，

正方体的体对角线等于球的直径，

即岳=2/?,

即R=

则球的体积丫=3•（|）J岑；

97r

故答案为：y.

11.【2017年天津文科11】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18,则这

个球的体积为.

【答案】解：设正方体的棱长为。，

•.•这个正方体的表面积为18,

,6。2=18,

则<r=3,即a=V3,

•••一个正方体的所有顶点在一个球面上，

,正方体的体对角线等于球的直径，

即偏=2R,

即R=|,

则球的体积丫=，:•（|）3=

97r

故答案为：

12.【2016年天津理科11】己知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：山），

则该四棱锥的体积为，帝

【答案】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，

棱锥的底面是底为2,高为1的平行四边形，故底面面积S=2xl=2,〃2,

棱锥的高/?=3m,

故体积V=gsh=2m3,

故答案为：2

13.【2015年天津理科10】一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为/»3.

视图

俯视图

【答案】解：根据几何体的三视图，得；

该几何体是底面相同的圆柱与两个圆锥的组合体，

且圆柱底面圆的半径为1,高为2,圆锥底面圆的半径为1,高为1：

该几何体的体积为

V）lf»JW=2X17t«l2xl+；fl2«2

=?兀.

8

故答案为：-JT.

14.【2015年天津文科10】一个几何体的三视图如图所示（单位：机），则该几何体的体积为.m.

恻视图

俯视图

【答案】解：根据几何体的三视图，得；

该几何体是底面相同的圆柱与两个圆锥的组合体，

且圆柱底面圆的半径为1,高为2,圆锥底面圆的半径为1,高为1：

，该几何体的体积为

V几何体=2x1~xI+n«12«2

=弓兀.

8

故答案为：-7t.

15.【2014年天津理科10】一个几何体的三视图如图所示（单位：机），则该几何体的体积为m3.

俯视图

【答案】解：由三视图知：儿何体是圆锥与圆柱的组合体,

其中圆柱的高为4,底面直径为2,圆锥的高为2,底面直径为4,

几何体的体积V=?tx1~x4+jX7tx2-x2=4?t+耳兀=-y-n.

故答案为：丁.

16.【2014年天津文科10】一个几何体的三视图如图所示（单位："），则该几何体的体积为m3.

*=*I.2al

【答案】解：由三视图知：几何体是圆锥与圆柱的组合体，

其中圆柱的高为4,底面直径为2,圆锥的高为2,底面直径为4,

几何体的体积V=7txl2x4+1X7tx22x2=47r+17r=至兀.

~20

故答案为：—7T.

模拟好题

1.【天津市耀华中学2023届高三二模】粽子，古称“角黍”，早在春秋时期就已出现，到晋代成为了端午节

的节庆食物.现将两个正四面体进行拼接，得到如图所示的粽子形状的六面体，其中点G在线段C。（含端

点）上运动，若此六面体的体积为日，则下列说法正确的是（）

A.EF=2B.EF=4

C.EG+FG的最小值为3及D.EG+FG的最小值为2遍

【答案】D

【详解】设EF=a,则正四面体的高为Ja2_（与j=华①

因为六面体的体积崎所以2、"加x等若，解得a=2四，

EG+FG的最小值为等边三角形EC。高的2倍，即2xV6=2限,

故选：D

2.【天津市九校联考2023届高三模拟】中国雕刻技艺举世闻名，雕刻技艺的代表作“鬼工球”，取鬼斧神工

的意思，制作相当繁复，成品美轮美奂.1966年，玉石雕刻大师吴公炎将这一雕刻技艺应用到玉雕之中，

他把玉石镂成多层圆球，层次重叠，每层都可灵活自如的转动，是中国玉雕工艺的一个重大突破.今一雕刻

大师在棱长为12的整块正方体玉石内部套雕出一个可以任意转动的球，在球内部又套雕出一个正四面体（所

有棱长均相等的三棱锥），若不计各层厚度和损失，则最内层正四面体的棱长最长为（）

A.4V6B.473C.2A/6D.6

【答案】A

【详解】由题意，球是正方体的内切球，且该球为正四面体的外接球时，四面体的棱长最大,

则该球半径r=6,如图：

P

可知E为外接球球心，EP=EB=r,PD_L平面4BC,。为底面等边△4BC的中心,

设正四面体的棱长为d,则B0=|x4d=gd,PD=Jd2—《d）2=^d，

在RSEDB中，则EB2=E"+DB2,即产=（为）2+（当d-r）2,

解得d=~~r'即d=4网,

故选：A

3.【天津外国语大学附属外国语学校2022-2023学年高三下学期统练22】战国时期的铜镶是一种兵器，其

由两部分组成，前段是高为3cm、底面边长为2cm的正三棱锥，后段是高为1cm的圆柱，圆柱底面圆与正

三棱锥底面的正三角形内切，则此铜银的体积为（）

A.V3+^cm3B.3+巴cn?

333

C.遮+巨cm3D.3+&cm3

434

【答案】A

【详解】由题意，铜镶的直观图如图所示，

三棱锥的体积％=^x3x工x2x2x3=V3cm3,

1322

因为圆柱的底面圆与正三棱锥底面的正三角形内切，

所以圆柱的底面圆的半径丁=专cm,所以圆柱的体积彩=1xyrx（卷）=^cm3

所以此铜镶的体积为遮+^cm3

故选：A.

4.【天津市市区重点中学2023届高三下学期一模】我国有着丰富悠久的“印章文化”，古时候的印章一般用

贵重的金属或玉石制成，本是官员或私人签署文件时代表身份的信物，后因其独特的文化内涵，也被作为

装饰物来使用.图1是明清时期的一个金属印章摆件，除去顶部的环以后可以看作是一个正四棱柱和一个正

四棱锥组成的几何体，如图2.己知正四棱柱和正四棱锥的高相等，且底面边长均为4,若该几何体的所有顶

点都在同一个球面上，则这个球的表面积是（）

D.48n

【答案】C

【详解】底面边长为4,底面的对角线长为4位.

设正四棱柱和正四棱锥的高为儿外接球的半径为R,

则固+（竽）=R\

R=h+-

v2

解得h=2,R=3,

所以外接球的表面积为4nx32=36n.

故选：C

5.【天津市河西区2023届高三一模】截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角而得到.如

图，将棱长为6的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面截角得到所有棱长均为2的截角四面体,

四

C46D.16企

,3

【答案】c

【详解】截角四面体的体积为大正四面体的体积减去四个相等的小正四面体体积,

因为棱长为1的正四面体的高h=Ji-gx^)2=/

则棱长为1的正四面体的体积匕=^X立X12x^=立，

134312

所以该截角四面体的体积为V=^X63-4X^X23=^.

12123

故选：C.

6.【天津市五所重点校2023届高三一模】在中国古代数学经典著作仇章算术》中，称图中的多面体

4BCDEF为“刍薨”.书中描述了刍蔑的体积计算方法：求积术曰，倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘

之，六而一，即U=X2AB+EF)xADx/i,其中九是刍薨的高，即点尸到平面力BCD的距离.若底面4BCD是

O

边长为4的正方形，EF=2,且"7/4B,ZMOE和ABC尸是等腰三角形，^AED=^BFC=90°,则该刍薨

的体积为()

AB

A.2B.竺更C.10V3D.史

333

【答案】B

【详解】如图所示，

设点F在底面的射影为G,H,M分别为BC,力。的中点，

连接EM,

则FG即为刍费的高，

\i]EF//AB,4Bu平面ABCD,EFC平面力BCD,

所以E/:7/平面ABCD,

又EFu平面EFHM,且平面ABCDn平面EFHM=MH,

所以EF〃MH,

在“刍薨，，中，a/IDE和尸是等腰三角形，

所以G一定在MH上，

由题意底面4BCD是边长为4的正方形，EF=2,

可知GH=1,

在ABCF是等腰直角三角形，且4BFC=90°,

所以FH=：BC=2,

所以FG=7FH2-GH2=V22-I2=百，

所以V=2x(2x4+2)x4xU=—.

故选：B.

7.【天津市2023届高三高考前最后一卷】木升在古代多用来盛装粮食作物，是农家必备的用具，如图为一

升制木升，某同学制作了一个高为40cm的正四棱台木升模型，已知该正四棱台的所有顶点都在一个半径为

50cm的球O的球面上，且一个底面的中心与球。的球心重合，则该正四棱台的侧面与底面所成二面角的正

弦值为()

【答案】A

【详解】如图：正四棱台，由题意可知：。是底面正方形的中心也是球。的球心，

且R=50=\OB\,\OO'\=40,所以|BC|=5072,\O'B'\=y/R2-\OO,\2=x/502-402=30,进而可得

\B'C'\=30V2,

取BC的中点为N,过B'C’的中点P作PM1ON,连接PN,

所以|OM|=\O'P\=\\B'A'\=15V2,|O/V|=25或,故=\ON\-\OM\=10位,

在直角三角形PMN中，takPNM=霁=磊=2四，故siMPNM=

由于PN1BC,ON1BC,所以“NM即为正四棱台的侧面与底面所成二面角,故正弦值为学,

8.【天津市十二区重点学校2023届高三下学期毕业班联考（二”“阿基米德多面体”被称为半正多面体

（semi-regularsolid）,是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示,

将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、

六个面为正方形的一种半正多面体.己知正方体边长为6,则该半正多面体外接球的表面积为（）

A.48nB.56TIC.64KD.72Tl

【答案】D

如图，由半正多面体的对称性可知，其对称中心与相应的正方体的对称中心是同一点，

其对称中心为正方体的体对角线的中点0,点。在平面A8C的投影点为。1，

则有。。1=3,4。1=3,所以40=+40/=3近，

故该半正多面体的外接球的半径为3夜，外接球的表面积为4nx（3V2）2=727r.

故选：D

9.【天津市咸水沽第一中学2023届高三押题卷（五）】中国古代数学家很早就对空间几何体进行了系统的

研究，中国传世数学著作《九章算术》卷五“商功”主要讲述了以立体问题为主的各种形体体积的计算公式.

例如在推导正四棱台（古人称方台）体积公式时，将正四棱台切割成九部分进行求解.下图（1）为俯视图,

图（2）为立体切面图.E对应的是正四棱台中间位置的长方体：比F对应四个三棱柱，4C/.G对应四

个四棱锥.若这四个三棱柱的体积之和为12,四个四棱锥的体积之和为4,则该正四棱台的体积为（）

图⑴图（2）

A.24B.28C.32D.36

【答案】B

【详解】如图，令四棱锥的底面边长为“，高为九三棱柱的高为乩

依题意，四棱锥的体积1a2h=1,即。2八=3,三棱柱的体积1a/ib=3,即有aM=6,

因此b=2a,于是长方体的体积U=b2h=4a2h=12.

所以该正四棱台的体积为12+4+12=28.

故选：B

10.【天津市武清区杨村第一中学2023届高三下学期第一次热身练】某同学在参加《通用技术》实践课时，

制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4遮的正方体的六个面所截后剩余

的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为4m则该球的表面积为（）

【答案】A

【详解】由题意可得，球心到截面圆所在平面的距离4=越=2K，

2

设截面圆的半径为r,球的半径为R,则2nr=4n,解得r=2,所以R=V7盯苕=4，

所以该球的表面积为4TT/?2=64n.

故选：A.

11.【天津市滨海新区塘沽第一中学2023届高三下学期十二校联考（二）】如图是某机械零件的几何结构，

该几何体是由两个相同的直四棱柱组合而成的，且前后、左右、上下均对称，每个四棱柱的底面都是边长为2

的正方形，高为4,且两个四棱柱的侧棱互相垂直，则这个几何体的体积为（）

C

32-8V2-32TD.32—竺在

3

【答案】D

【详解】两个四棱柱的体积和=2x2x2x4=32,交叉部分的体积为四棱柱S-ABCQ的体积的2倍.

在等腰三角形A8S中，SB=2V2,边S3上的高为2,则乱4=遍.

所以，由该几何体前后、左右、上下均对称，知：四边形A8C。为边长为灰的菱形.

设AC的中点为“，连接由题意，得SH为四棱锥&ABC。的高.

AC=SB=2V2，所以AH=&.，在Rt^ABH+,BH=>JAB2-AH2=V6^2=2.

所以SABCO=2xIx2V2x2=4A/2.

因为BH=SH，所以%YBCD=(xSABCDx2=1x4V2x2=^.

所以这个几何体的体积V=32-晅x2=32—竺它.

33

故选：D.

12.【天津市部分区2023届高三下学期一模】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为

一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥侧面积的一半，那么其侧面三角形底边

上的高与底面正方形的边长的比值为（）

A旦B.@C.四D.四

4242

【答案】D

【详解】设正四棱锥的高为力，底面边长为a,侧面三角形底边上的高为"，则

（h2=4x-x-ah'

HK*—rw22

因此有

h2=h'2-g）2=ah'，即㈢2一>：=°，解得£=萼，

因为,>0,

a

所以生=9

a2

所以侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为业

2

故选：D.

13.【天津市十二区重点学校2023届高三下学期毕业班联考（一）】如图,几何体Q为一个圆柱和圆锥的组

合体，圆锥的底面和圆柱的一个底面重合，圆锥的顶点为4,圆柱的上、下底面的圆心分别为B、C,若该

几何体。存在外接球（即圆锥的顶点与底面圆周在球面上,且圆柱的底面圆周也在球面上）.已知8C=2AB=

4,则该组合体的体积等于（）

A

70

A.56nB.C.43TTD.647T

【答案】A

【详解】设该组合体外接球的球心为0,半径为R,易知球心在BC中点，则R=4。=2+2=4.

则圆柱的底面半径为r=J42—（4一2-=2V3,

则该组合体的体积等于U=|n(2V3)2x2+itX(2V3)2X4=56TT.

故选：A

A

14.【天津市滨海新区塘沽第一中学2023届高三三模】蹴鞠（如图所示），又名蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等，

蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球

的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非

物质文化遗产名录，已知某鞠的表面上有四个点A,B,C,D,四面体ABCC的体积为遮，8。经过该鞠的

6

中心，§.AB=BC=1,AB1BC,则该鞠的表面积为（）

A.2兀B.167TC.8nD.4H

【答案】D

【详解】如图，取AC的中点连接与球。交于另一点N,连接OM,DN,

易知AC为圆面ABC的直径，0Ml平面ABC,

因为。，M分别为8/),8N的中点，所以OM〃DN,

所以。N_L平面ABC,

7YD-ABC=|xixlxlxD/V=—--'.DN=V2，

326

即。M=虫，在RtZiABC中，AB=BC=1,

2

BM=辿，BO=/?=1,・,•球O的表面积为S=4nR2=47r.

2

故选：D.

15.【天津市西青区杨柳青第一中学2023届高考全真模拟检测】科技是一个国家强盛之根，创新是一个民

族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号(如图1)是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮

空器.2022年5月，“极目一号”山型浮空艇成功完成10次升空大气科学观测，最高升空至9050米，超过

珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力.“极目一号”H1型浮空

艇长55米，高19米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图2所示，则“极

目一号“HI型浮空艇的体积约为()

(参考数据：9.52«90,9.53«857,315x1005«316600,ir«3.14)

A.9064m3B.9004m3C.8944m3D.8884m3

【答案】A

【详解】由图2得半球、圆柱底面和圆台一个底面的半径为R=y=9.5(m),而圆台一个底面的半径为r=1

(m),

则匕产厚=3x(xnx9.53a(m3),

=TrX9.52x14«1260n(m3),

V圆台=1x(9.521T+\/9.52ITxn+ir)x31.5«(m3),

所以V=V半球+匕魏+%令a詈n+1260n+等口"9064(m3).

故选：A.

16.【天津市实验中学2023届高三考前热身训练】距今5000年以上的仰韶遗址表明，我们的先人们居住的

是一种茅屋，如图1所示，该茅屋主体是一个正四棱锥，侧面是正三角形，且在茅屋的一侧建有一个入户

甬道，甬道形似从一个直三棱柱上由茅屋一个侧面截取而得的几何体，一端与茅屋的这个侧面连在一起，

另一端是一个等腰直角三角形.图2是该茅屋主体的直观图，其中正四棱锥的侧棱长为6m,BC||EF,AB=

AC=2V2m，AB14C,点。在正四棱锥的斜高PH上，AD1平面ABCO.AD=3戊m.不考虑建筑材料的

厚度，则这个茅屋(含甬道)的室内容积为()

A.空四n?B.空四C.竺适n?D.44V2m3

333

【答案】B

【详解】设。为正四棱锥底面中心，连接PO,0H,

AP0=VPH2-OH2=3A/2>tan乙PH。=—=V2,

取BC的中点M,连接AM,过。作DG1。"于G,则OG=AM=2.

在直角ADG"56"=惠而=&-

过E作EN〃/18交4。于N,连接NF.

则AN=AD-DN=2VL

所求体积V=V四棱锥+^ABC-NEF+^D-NEF

223

=-。x6x6x3V2+-乙x(2V2)x2V2+-。x-乙x(2V2)xV2=—。V2(m)

故选：B

17.【天津市和平区2023届高三二模】如图甲是一水晶饰品，其对应的儿何体叫星形八面体，也叫八角星

体，是一种二复合四面体，它是由两个有共同中心的正四面体交叉组合而成且所有面都是全等的小正三角

形，如图乙所示.若一星形八面体中两个正四面体的棱长均为2,则该星形八面体体积为()

C11四D,这

・124

【答案】A

【详解】由题意可知星行八面体体积为一个棱长为2的大正四面体与四个棱长为1的小正四面体的体积之和,

故该星形八面体体积为U邛x23+4x*13=匠

故选：A.

18.【天津市部分区2023届高三二模】红薯于1593年被商人陈振龙引入中国，也叫甘薯、番薯等，因其生

食多汁、熟食如蜜，成为人们喜爱的美食甜点.敦敦和融融在步行街买了一根香气扑鼻的烤红薯，准备分着

吃.如图，该红薯可近似看作三个部分：左边部分是半径为R的半球；中间部分是底面半径是为R、高为2R的

圆柱；右边部分是底面半径为R、高为R的圆锥，若敦敦准备从中间部分的4处将红薯切成两块，则两块红

薯体积差的绝对值为（）

A.B.|nR3C."R3D.TT/?3

【答案】A

【详解】由题意可知，两块红薯体积差的绝对值为LxmR3+nR2.R—5R2.R+）2.R）|

=I—R3--/?3|=-R3.

I33I3

故选：A.

19.【天津市新华中学2023届高三下学期统练7】灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们

便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围.如图1,某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下

两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分（除去两个球冠）.如图2,球冠是由球面被一个平面截

得的，垂直于截面的直径被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球的半径为R,球冠的高为七则球冠的

面积S=2nR/i.已知该灯笼的高为40cm,圆柱的高为4cm,圆柱的底面圆直径为24cm,则围成该灯笼所需

布料的面积为（）

图1图2

A.1536ncm2B.1472ncm2

C.1824TTcm2D.1760ncm2

【答案】B

【详解】由题意得圆柱的底面圆直径为24cm,半径为12cm,即球冠底面圆半径为12cm.

已知该灯笼的高为40cm,圆柱的高为4cm,所以该灯笼去掉圆柱部分的高为40-8=32cm,

所以R2-（―y-）2=122,得R=20cm,/i=20-16=4cm,

所以两个球冠的表面积之和为2s=4nR/i=320ncm2,

灯笼中间球面的表面积为4TTR2_320TT=1280ncm2.

因为上卜两个圆柱的侧面积之和为2x24TTx4=192ncm2,

所以围成该灯笼所需布料的面积为1280TT+192Tt=1472Ticm2.

故选：B.

20.【天津市耀华中学2023届高三一模】在中国古代数学经典著作《九章算术》中，称图中的多面体A88EP

为“刍薨”，书中描述了刍薨的体积计算方法：求积术曰，倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而

一，即U=+其中。是刍薨的高，即点尸到平面ABCO的距离.若底面A8CO是边长为

4的正方形，EF=2且EF〃平面A8CZ）,△4DE和△BCF是等腰三角形，AAED=ABFC=90°,则该刍费

的体积为（）

A*B.C.10V3D.史

333

【答案】B

【详解】取4。,8c中点M,N,连接EM,MN,NF,如图,

由正方形4BC。知，MN//AB,MN1AD,而A4DE为等腰三角形，且/4ED=90。，

即有EM1AD,EMC}MN=M,EM,MNu平面EMN,则4D_L平面EMN,

同理8cl平面MNF,而40〃8C,于是4。1•平面MNF,则点尸在平面EMN内，

而力。u平面XBCD,于是平面EMNFL平面48CD,在平面EMNF内过E作£7/_LMN于H,

而平面EMNF。平面ABCD=MN,因此£77JL平面Z8CD,

因为48FC=90。，ZkBCF是等腰三角形，则EM=FN=；8C=2,

因为EF//平面ABCD,平面EMNFC平面4BCD=MN,EFu平面EMNF,

则EF〃MN,四边形EMNF为等腰梯形，MN=AB=4,

因此EH=JE“2_(笠变产=V2Z-I2=V3,

所以该刍薨的体积为V=-(2AB+EF)・4。•EH=工X(2x4+2)x4X百=—.

663

故选：B

21.【天津市滨海新区2023届高三三模】某同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如

图所示：底面4BCD是边长为2的正方形，AEAB,4FBC,△GCD,△HDA均为正三角形，且它们所在的

平面都与平面4BCD垂直，则该包装盒的容积为()

C.10V3D.20

【答案】A

/

【详解】

将几何体补全为长方体，如图所示，

A2F-泊G-1,

2222

BA2=yjBF-A2F=V2-l=V3,

所以则该包装盒的容积为：

^ABCD-AABXCXDA~4匕一力〔EH，

=2x2xV3-4[ixQxlxl）xV3],

=4V3-|V3,

故选：A.

22.【天津市和平区2023届高三下学期一模】为庆祝国庆，立德中学将举行全校师生游园活动，其中有一

游戏项目是夹弹珠.如图，四个半径都是1cm的玻璃弹珠放在一个半球面形状的容器中，每颗弹珠的顶端

恰好与容器的上沿处于同一水平面，则这个容器的容积是（）

C.2（5+3V3）Ttcm

【答案】B

【详解】分别作出四个小球和容器的正视图和俯视图，如图所示:

正视图中小球球心B,半球球心。与切点A构成直角三角形，则有0弟+482=082,

俯视图中，四个小球球心的连线围成正方形，正方形的中心到球心的距离。遇1与正视图中的。4相等，设

半球半径为R,已知小球半径片1,二0A=V2,AB=1,OB=M，R=0B+r=V5+l.

半球面形状的容器的容积是V=|xin/?3=|xix（V3+l）3TT=妇簪.

故选：B

23.【天津市新华中学2023届高三下学期统练（3）】足球起源于中国古代的蹴鞠游戏.“蹴”有用脚蹴、踢的

含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，已知某“鞠”

的表面上有四个点P,4B,C,满足P4=2,PAIffiABC,ACLBC,若8c="则该“鞠”的体积的最小

值为（）

A.这nB.随nC.-nD.-n

3328

【答案】B

【详解】因为P4=2,PAIffilABC,ACLBC,

故AB为三角形ABC所在小圆的直径，取A8中点。'，过。'作0'0〃4P,交BP于点O,则。即为球心，P8

为球的直径，

要想该“鞠”的体积最小，只需PB最小，由于PB=y/PA2+AB2=山+/,

故只需AB最小，其中4B=y/AC2+BC2^

1119

HLVP-ABC=3^4SCPA=^x^ACBCx2=~,

解得：ACBC=2,

由基本不等式得：AC2+BC2>2AC-BC=4,当且仅当4c=8C=或时，等号成立，

故力B最小值为2,此时直径最小值为PB=V4+22=2近，

所以该“鞠”的体积最小值为轲我『=竽1T

故选：B

24.【天津市2023届高三二模】如图所示，有一个棱长为4的正四面体P—ABC容器，。是PB的中点，E是

CD上的动点，则下列说法正确的是（）

①若E是CD的中点，则直线AE与PB所成角为］

②△ABE的周长最小值为4+V34

③如果在这个容器中放入1个小球（全部进入），则小球半径的最大值为渔

3

④如果在这个容器中放入10个完全相同的小球（全部进入），则小球半径的最大值为乃-2

A.①②B.①③C.②④D.①③④

【答案】D

【详解】对于①：连接4D，

在正四面体P-4BC中，。是P8的中点，所以PBJ.4D,PBJ.CD.

因为ACu平面4CC,CDu平面4CD,ADClCD=D,

所以直线P8_L平面4CD,

因为4Eu平面4CD,

所以PBJ.4E,所以直线4E与PB所成角为今故①正确；

对于②，如图，把△4CC沿着C。展开与面BDC同一个平面内，则周长最小值为4+4B,

由AD=CD=2V3，AC=4,cosZ-ADC==i

"上24”。C"D〃叱3（

所以COSNADB=cosQ+N/WC）=-sin^ADC=-苧

所以482=2?+（2b『-2x2X2^X（-苧）=16+竽力34,所以他力南，所以zMBE的周长最

小值为4+旧不正确，故②错误；

对于③，要使小球半径最大，则小球与四个面相切，是正四面体的内切球，设半径为R.

由等体积法可得4-we=^S-BC•h=GSQR,所以半径R=工=匹X4=渔.故③正确；

对于④，10个小球分三层（1个，3个，6个）放进去，要使小球半径要最大，则外层小球与四个面相切，

设小球半径为r,四个角小球球心连线M-NGF是棱长为4r的正四面体，其高为延人由正四面体内切球的

3

半径是高的;得，

4

如图正四面体P-H〃，

则MP=3r,正四面体P—4BC高为3r+3+r=在X4,得厂=通—2.故④正确.

33

故选：D

25.【天津教研联盟2023届高三一模】数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中

之一.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分.如图，

在勒洛四面体中，正四面体4BCD的棱长为4,则下列结论正确的是（）

A.勒洛四面体最大的截面是正三角形

B.若P、Q是勒洛四面体4BCD表面上的任意两点，则PQ的最大值为4

C.勒洛四面体4BCD的体积是8遍几

D.勒洛四面体48CD内切球的半径是4—遍

【答案】D

【详解】由勒洛四面体的定义可知勒洛四面体最大的截面即经过四面体4BC0表面的截面，如图1所示，故

A不正确；

将正四面体对棱所在的弧中点连接，此时连线长度最大，如下图所示：

连接PQ，交48r中点S,交于中点7,连接AT,易得AT=742一〃=2遍,

则S7=y/AT2-AS2=/（2V3）2-22=2或，

而7P=SQ=V42-22=2V3.

所以PQ=2百一2&+2百=4V3-2V2>4.

故勒洛四面体表面上两点间的距离可能大于4,故B错误，

如图2,由对称性可知勒洛四面体内切球的球心。是正四面体4BCD外接球的球心，

连接8。并延长交勒洛四面体的曲面于点E,则0E就是勒洛四面体内切球的半径.

如图3,在正四面体4BC0中，M为△BCD的中心，。是正四面体4BCD外接球的球心,

连接BM、BO、AM,由正四面体的性质可知。在4M上.

因为48=4,所以BM=|X=竽，则4M=心-（竽?=竽・

因为8。2=BM2+0M2=（AM-0M）2,

即=（竽）+0M2=（等-0M），解得80=6,

则正四面体4BCD外接球的体积是gnR3=（口x（V6）3=8乃n,

而勒洛四面体ABCD的体积小于其外接球的体积，C错误；

因为BE=48=4,所以0E=4-乃，

所以，勒洛四面体ABC。内切球的半径是4一声，则D正确.

图1图2图3

26.【天津市河北区2023届高三一模】截