三角形外接圆与外心九年级数学上学期期末考试真题汇编（苏科版）

专题07三角形外接圆与外心

选择题(共4小题)

1.(2021秋•泗阳县期末)下列说法正确的是()

A.一个三角形只有一个外接圆

B.三点确定一个圆

C.长度相等的弧是等弧

D.三角形的外心到三角形三条边的距离相等

【分析】根据三角形的外接圆、等弧的定义、三角形外心的性质判断即可.

【解答】解：A、任意三角形都有且只有一个外接圆，正确，本选项符合题意；

B、不共线的三点确定一个圆，原说法错误，本选项不符合题意；

C、长度相等的弧不一定是等弧，原说法错误，本选项不符合题意；

D、三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，原说法错误，本选项不符合题意.

故选：A.

【点评】本题考查了三角形的外接圆、等弧的定义，熟练掌握圆的有关概念是解题的关

键.

2.(2021秋•无锡期末)如图，在平面直角坐标系中，A(0,-3),B(2,-1),C(2,3).则

∆ABC的外心坐标为()

A.(0,0)B.(-1,I)C.(-2,-1)D.(-2,1)

【分析】首先由AABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标

系中作AB与BC的垂线，两垂线的交点即为AABC的外心.

【解答】解：如图，根据网格点0'即为所求.

∙.∙AABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，

/.EF与MN的交点0'即为所求的AABC的外心，

ΛAABC的外心坐标是（-2,1）.

故选：D.

【点评】此题考查了三角形的外接圆与外心，坐标与图形性质.注意三角形的外心即是

三角形三边垂直平分线的交点.解此题的关键是数形结合思想的应用.

3.（2020秋•泗阳县期末）如图，AABC内接于。O,连接OA、OB,若NABo=35°,则

NC的度数为（）

A.70oB.65°C.55oD.45°

【分析】根据三角形的内角和定理求得/0的度数，再进一步根据圆周角定理求解.

【解答】解：VOA=OB,NABO=35°,

二NAOB=180°-35°×2=110o,

ΛZC=∣ZAOB=55o.

故选：C.

【点评】此题综合运用了三角形的内角和定理以及圆周角定理.一条弧所对的圆周角等

于它所对•的圆心角的一半.

4.（2021秋•通州区期末）如图，。。是等边三角形ABC的外接圆，若。O的半径为2,则

∆ABC的面积为（）

B.√3C.2√3D.3√3

【分析】首先连接OB,OC,过点O作ODLBC于D,山。0是等边AABC的外接圆，

即可求得NoBC的度数，然后由三角函数的性质即可求得OD的长，又由垂径定理即可

求得等边AABC的边长，由三角形面积公式可得出答案.

【解答】解：连接OB,OC,过点O作ODLBC于D,

BC=2BD,

,.∙OO是等边AABC的外接圆，

1

ΛZBOC=ɪ×360o=120°,

VOB=OC,

180o-zB0C180o-120o

ΛZOBC=ZOCB=

∙.∙G)O的半径为2,

/.OB=2,

ΛBD=OB∙cosZOBD=2×cos300=2×ɪ=√3,OD=WOB=1,

ΛBC=2√3.

等边AABC的面积为3SΔBCO=3×iβC∙0D=3×∣×2√3×1=3√3.

故选：D.

【点评】本题考查了三角形的外接圆，等边三角形的性质，垂径定理，宜角三角形的性

质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键.

二.填空题（共4小题）

5.（2021秋•无锡期末）一个直角三角形的斜边长2√5C∕M,两条直角边长的和是6c∕n,则这

个直角三角形外接圆的半径为_V5_cvn,直角三角形的面积是4cm2.

【分析】由直角三角形的外接圆的半径是其斜边的一半可求出外接圆的半径，求出两条

直角边的乘积可求出直角三角形的面积.

【解答】解：∙；直角三角形的斜边长2√^cm,

,这个直角三角形外接圆的半径为］

X2√5=√5（cw）,

•••两条直角边长的和是6cm,

36-20

∙∙.两条直角边的乘积为一^―=8(CVn),

2

.∙.直角三角形的面积是4c,M2.

故答案为：√5,4.

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，直角三角形的性质，注意：直角三角形的

外接圆的半径是其斜边的一半.

6.（2020秋•泰兴市期末）如图，AABC是。。的内接三角形，AD是aABC的高，AE是

8√2

。。的直径，且AE=4,若CD=I,AC=3,则AB的长为毛.

4BAE

【分析】利用勾股定理求出AD,证明AABESZXADC,推出而=/由此即可解决

问题.

【解答】解：连接BE,

VAD是AABC的高，

ΛZADC=90°,

ΛAD=>JAC2-CD2=√32-I2=2√2,

VAE是。O的直径，

ΛZABE=90°,

ΛZABE=ZADC,

VZE=ZC,

Λ∆ABE^∆ADC,

.ABAE

•.=,

ADAC

.AB4

Λ2√Σ=3,

.∙.AB=警，

8√2

故答案为:

3

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，相似三角形的判定和性质，勾股定理、圆

周角定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型.

7.（2021秋•涟水县期末）如图，AABC内接于。O,ODj_BC于D,ZA=40o,则/COD

【分析】如图，作辅助线；首先证明NCOD=*NBOC;其次证明NA=//BoC,得到

ZCOD=ZA,即可解决问题.

【解答】解：如图，连接OB,

1

・♦・ZCOD=ZBOD=iZBOC:

VZA=40",且NA=BNBOC,

/.ZCOD=40",

故答案为:40°.

【点评】该题主要考查了垂径定理、圆周角定理等几何知识点及其应用问题；解题的方

法是作辅助线，构造圆心角；解题的关键是灵活运用垂径定理、圆周角定理等几何知识

点来分析、解答.

8.（2021秋•沐阳县校级期末）如图，线段AB=2,点C为平面上一动点，且NACB=90°,

将线段AC的中点P绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ,连接BQ,则线段BQ的最大

值为7

【分析】证明aADCsaAEQ,求出QE=最在R∕∆ABE中求出BE=孚，进而求出

答案.

【解答】解：如图，取AB的中点D,连接CD,过点A作AELAB,使AE=^AD=1

连接QE、BE.

VZACB=90o,D为AB的中点，

：.CD=^AB=1,

VZQAC=90°,ZEAB=90o,

ZQAE=ZCAD,

..4Q1AE1

"AC~2AD~2

Λ∆ADC<×>∆AEQ,

.笠=丝J

``CD~AC~2

11

：.QE=^CD

YNEAB=90°,

：.EB=>JAE2+AB2=ɪ,

当点Q、E、B三点共线时，BQ最大为T+?=上/.

【点评】本题考查旋转变换，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加

常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题.

Ξ.解答题（共4小题）

9.（2021春•射阳县校级期末）如图，Z∖ABC是。O的内接三角形，BC=4,ZA=30o,

求。O的直径.

【分析】连接OB,0C,根据圆周角定理得到NBoC=60°,根据等边三角形的性质即

可得到结论.

【解答】解：连接OB,0C,

VZA=30o,

AZBOC=60°,

VOB=OC,

.,∙∆OBC是等边三角形,

.∙.0C=BC=4,

ΛΘO的直径=8.

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅

助线是解题的关键.

10.（2021秋•无锡期末）如图，正三角形ABC内接于。0,。。的半径为r,求这个正三

角形的周长和面积.

【分析】连接OB、OC,作OD_LBC于D,则NoDB=90°,BD=CD,ZOBC=30o,

由含30°角的直角三角形的性质得出OD,由勾股定理求出BD,得出BC,AABC的面

积=3SAOBC,即可得出结果.

【解答】解：如图所示：

连接OB、OC,作OD_LBC于D,

A

则∕ODB=90°,BD=CD,ZOBC=30o,

11

ΛOD=^OB=ʌr,

/.BD=√0B2-OD2=看，

ΛBC=2BD=√3∕∙,

即正三角形ABC边长为百人

正三角形ABC周长为3√5r.

/.∆ABC的面积=3SA0BC=3XɪXBCXOD=3XɪX√3r×ɪr=孥

正三角形ABC面积为r2.

4

【点评】本题考查了等边三角形的性质、垂径定理、勾股定理、三角形面积的计算；熟

练掌握正三角形和圆的关系，并能进行推理计算是解决问题的关键.

11.（2020秋•海陵区期末）如图，在aABC中，AB=AC,OO是AABC的外接圆，点D

在BC上，AD的延长线交。O于点E,连接CE.

（1）求证：NADC=/ACE；

（2）若。O的半径为2百，布的度数为90°,DE=2,求AD的长.

【分析】（1）先证明4ACDSZ∖AEC,再根据相似三角形的性质得到/ADC=NACE;

（2）根据等腰直角三角形的性质求出AC,根据相似三角形的性质列出比例式，计算即

可.

【解答】（1）证明：：AB=AC,

.".AB=AC,

二NAEC=/ACB,

VZEAC=ZCAD,

ΛΔACD^ΔAEC,

・・・NADC=NACE；

(2)解：•・•丽=尼，丽的度数为90°,

.∙.ZABC=ZACB=45o,

ΛZBAC=90σ,

/2

,AC=竽BC=2√^,

V∆ACD<×>∆AEC,

.ACAD

••—,

AEAC

.2√6AD

"AD+2~2√6,

整理得，AD2+2AD-24=0,

解得，ADι=4,AD2=-6(舍去)，

ΛAD的长为4.

【点评】本题考查的是圆周角定理、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质,

掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.

12.(2019秋•丹阳市期末)尺规作图：已知AABC,如图.

(1)求作：AABC的外接圆。0；

(2)若AC=4,NB=30°,则AABC的外接圆00的半径为4.

【分析】(1)确定三角形的外接圆的圆心，根据其是三角形边的垂直平分线的交点进行

确定即可；

(2)连接OA,OC,先证明AAOC是等边三角形，从而得到圆的半径.

【解答】解：⑴作法如下:

①作线段AB的垂直平分线，

②作线段BC的垂直平分线，

③以两条垂直平分线的交点O为圆心，OA长为半径画圆，则圆。即为所求作的圆；

(2)连接OA,OC,

VZB=30o,

ΛZAOC=60o，

VOA=OC,

.•.△AOC是等边三角形，

VAC=4,

ΛOA=OC=4,即圆的半径是4,

【点评】本题主要考查了复杂作图以及三角形的外接圆与外心、圆周角与圆心角的关系、

等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握三角形的外接圆的作法，得出圆心位置是解

题关键.

Q

一.选择题（共4小题）

1.（2020秋•赣榆区期末）R∕ZiABC中，ZC=90o,AB=5,内切圆半径为1,则三角形

的周长为（）

A.12B.13C.14D.15

【分析】作出图形，设内切圆OO与aABC三边的切点分别为D、E、F,连接OE、OF

可得四边形OECF是正方形，根据正方形的四条边都相等求出CE、CF,根据切线长定

理可得AD=AF,BD=BE,从而得到AF+BE=AB,再根据三角形的周长的定义解答即

可.

【解答】解：如图，设内切圆。。与AABC三边的切点分别为D、E、F,连接OE、OF,

VZC≈90°,

.∙.四边形OECF是正方形，

...CE=CF=I,

由切线长定理得，AD=AF,BD=BE,

JAF+BE=AD+BD=AB=5,

.∙.三角形的周长=5+5+1+1=12.

故选：A.

【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，作辅助线构造出正方形是解

题的关键，难点在于将三角形的三边分成若干条小的线段，作出图形更形象直观.

2.（2020秋•鼓楼区期末）如图所示，在4X4的网格中，A,B,C,D,O均在格点上，则

点。是（）

A.ZXACD的外心B.Z∖ACD的内心c.4ABC的内心D.A>ABC的外心

【分析】根据网格利用勾股定理得出OA=OD=OC,进而判断即可.

【解答】解：由勾股定理可知：

OA=OD=OC=√12+22=√5,

所以点0是AACD的外心，

故选：A.

【点评】此题考查三角形的外接圆与外心问题，关键是根据勾股定理得出OA=OD=OC.

3.（2021秋•镇江期末）如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=6,点E、F分别是AD、

Be的中点，点P在线段EF上，ZM5AB内切圆半径的最大值是（）

【分析】由三角形APB的面积为12,可知AP+BP最小时，r有最大值，连接CA与EF

交于点P',求出AC=I0,由三角形面积公式可得出答案.

【解答】解：•••点E、F分别是AD、BC的中点，四边形ABCD是矩形,

ΛEF/7AB,

在EF上，AB=8,BC=6,

1

..SΔPAB=ɪ×8×3=12,

设APAB内切圆半径是“

1

VS∆PAB=2（AP+PB+AB）∙r=12,

・・・AP+BP最小时，尸有最大值，

如图，F是BC的中点，所以点B关于EF的对称点是C点，连接CA与EF交于点P',

∙.'AP+BP=AP+CP2CA,

，此时CA即为AP+BP最小值，

VAB=8,AD=6,

ΛAC=√62+82=10,

ΛAP+BP最小值为10,

ΛPA=PB=5,

Ill

Λ-×5×r+-×5Xr÷-×8×r=12,

222

解得，=5.

故选：D.

【点评】本题考查矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，轴对称求最短距离；能

够将AP+BP最小值转化为CA的长是解题的关键.

4.（2019秋•海陵区校级期末）下列说法正确的是（）

A.三角形的外心一定在三角形的外部

B.三角形的内心到三个顶点的距离相等

C.外心和内心重合的三角形一定是等边三角形

D.直角三角形内心到两锐角顶点连线的夹角为125°

【分析】利用三角形内心以及三角形外心的性质判断得出即可.

【解答】解：A、三角形的外心不一定在三角形的外部，错误；

B、三角形的内心到三个边的距离相等，错误；

C、外心和内心重合的三角形一定是等边二角形，正确；

D、直角三角形内心到两锐角顶点连线的夹角为135°,错误；

故选：C.

【点评】此题主要考查了三角形内外心的区别，正确把握相关性质是解题关键.

二.填空题（共4小题）

5.（2021秋•祁江区期末）如图所示，点。是aABC的内切圆的圆心，若NBAC=76°,

则/BOC的度数为128°.

【分析】由点O是4ABC的内切圆的圆心，可得NoBC=q/ABC,ZOCB=∣ZACB,

又由∕BAC=76°,可求得/ABC+NACB的度数，再利用三角形内角和定理即可求得

答案.

【解答】解：：点0是AABC的内切圆的圆心，

.♦.BO、Co分别平分NABC、ZACB,

11

・•・NOBC=RABC,NoCB=*ACB,

VZBAC=76o,

ΛZABC+ZACB=180o-ZBAC=104°,

ΛZBOC=180o-（ZOBC+ZOCB）=180o-ɪ（ZABC+ZACB）=180o-∣×104°

=128°.

故答案为：128°.

【点评】本题考查了三角形的内切圆的性质与三角形内角和定理.注意掌握数形结合思

想与整体思想的应用.

6.（2020秋•滨湖区期末）设两直角边分别为3、4的直角三角形的外接圆和内切圆的半径

长分别为R和r,则R-r=1.5.

【分析】利用三角形的外心与内心的性质即可进行计算.

【解答】解：因为直角三角形的外接圆半径等于斜边长的一半，

所以R=∕√32+42=2.5；

如图，

根据勾股定理，得AB=√AC2+Bc2=5,

其内切圆。O分别切AB、BC,ACT∙D.E、F.

设OE=OF=C)D=r,

+

∙'∙SΔABC=SΔAOB+SΔBOCSΔAOC»

Iiii

BP-AC∙BC=⅛AB∙OD+⅛BC∙OE+⅛AC∙OF,

2ZZ2

Illl

-×3×4=⅛×5×r+⅛×4×r+⅞×3Xr,

2222

6=ɪr(5+4+3),

6=6厂，

：.r=\,

则R-r=2.5-1=1.5.

故答案为：1.5.

【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心关系，牢记这些定

义和计算方法是解答本题的关键.

7.(2019秋•鼓楼区期末)已知三点A(0,0),B(5,12),C(14,0),则aABC内心的

坐标为(6,4).

【分析】作BQLOC,由题意可得BQ=I2,根据勾股定理分别求出OB的长，利用面积

法可得aABC内切圆半径，设AD=AE=X,则CD=CF=I4-χ,BE=BF=13-χ,由

BC=BF+CF列方程，解之求出X的值，从而得出点P的坐标，即可得出答案.

【解答】解：如图，过点B作BQLOA于点Q,连接PA,PB,PC,

ΛOB=√0Q2+BQ2=√52+122=13,CQ=AC-AQ=14-5=9,

BC=√CQ2+BQ2=√92+122=15,

设ΘP的半径为厂，

过点P作PD±ACTD,PF_LBC于F,PEXOB于E,

1Ill

SAABC=2θɑ∙θQ=2*r^*^2ʌɑr2r

.∣14×12

则m'=14+13+15=4ZI,

设AD=AE=X,则CD=CF=I4-X,BE=BF=I3-x,

∙.*BC=BF+CF,

Λ13-χ+14-χ=15,

解得：X=6,

二点P的坐标为（6,4）.

故答案为：（6,4）.

【点评】本题主要考查勾股定理、三角形的内切圆的性质及切线长定理，根据面积法及

切线长定理求出点P的坐标是解题的关键.

8.（2021秋•鼓楼区期末）AABC中，AB=AC=13,BC=24,点I是AABC的内心，点

O是aABC的外心，则Ol=14.3.

【分析】设BC边的中点为D,连接AD,根据等腰三角形的性质得到AD_LBC,ZDAB

=ZCAD,得到内心I和外心O都在直线AD上，根据勾股定理得到AD=5,设AABC

的内切圆半径为厂,外接圆半径为R,则Io=Dl+OD,根据勾股定理列方程得到R=16.9,

求得OD=II.9,根据三角形的面积公式得到r=2.4,于是得到结论.

【解答】解：设BC边的中点为D,连接AD,

B

VAB=AC=13,

ΛAD±BC,ZDAB=ZCAD,

:点O为AABC的外心，点I为AABC的内心，

.∙.内心I和外心O都在直线AD上，

VAB=AC=13,BC=24,

/.BD=CD=12,

ΛAD=√AB2-BD2=5,

设AABC的内切圆半径为八外接圆半径为R,则Io=DI+OD,

连接OB,在Rf△()DB中，OD=R-5,OB=R,DB=12,

由勾股定理得(R-5)2+122=R2,

ΛR=16.9,

ΛOD=AO-AD=16.9-5=11.9,

VSΔΛBC=∣BC∙AD=I(AB+BC+AC)∙r,

._BCAD_24x5_12_

，，r=AB+BC+AC=13+24+13=^5^%

.∙.r=DI=2.4,

ΛI0=DI+0D=2.4+11.9=14.3.

故答案为：14.3.

【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形面

积的计算，正确作出辅助线是解题的关键.

三.解答题(共4小题)

9.(2018秋•武进区校级期末)如图，在平面直角坐标系中，以A(3,0)为圆心，5为半

径作OA,与y轴的正半轴交于点B.

(1)点B的坐标为(0,4)；

(2)Z∖AOB的内切圆半径为1个单位长度:

(3)将。A在平面直角坐标系内平移，使其与X轴、y轴都相切，记平移后的圆的圆心

为A1,则AAl为闻或屈个单位长度.

【分析】（1）连接AB,利用勾股定理计算出OB即可得到B点坐标；

（2）利用直角三角形内切圆的半径=©罗Qa、b为直角边，C为斜边）进行计算即可；

（3）根据切线的性质可判定Ai的坐标为（5,5）或（-5,5）或（-5,-5）或（5,

-5）,然后利用两点间的距离公式计算AAi的长即可.

【解答】解：（D连接AB,如图，

在RrAOAB中，OB=√AB2-OA2=√52-32=4,

,B点坐标为（0,4）：

（2）△AOB的内切圆半径=主导至=1；

（3）；OAi与X轴、y轴都相切，

而G）Al的半径为5,

ΛAι的坐标为（5,5）或（-5,5）或（-5,-5）或（5,-5）,

若Al的坐标为（5,5）,则AAI=λ∕（5-3,+52=回;

若Al的坐标为（-5,5）,则AAI=√（-5-33+52=厕:

22

若Ai的坐标为（-5,-5）,则AAi=√（-5-3）+5=√89i

若Al的坐标为（5,-5）,则AAI=«5—3尸+52=闻;

综上所述，AAi为旧或刷个单位长度.

【点评】本题考查了三角形内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三

角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角.也考查了切线的性质.

10.（2010秋•灌云县期末）AABC外切于。O,切点分别为点D、E、F,NA=60°,BC

=7,OO的半径为√1求：

（1）求BF+CE的值；

(2)求aABC的周长.

【分析】(1)根据切线长定理得到BF=BD,CE=CD,代入求出即可；

(2)根据切线长定理得到AE=AF,求出NOAE=30°,根据含30度得直角三角形和

勾股定理求出OA、AE,即可求出答案.

【解答】解：(1)∙.∙Z∖ABC外切于。O,切点分别为点D、E、F,

ΛBF=BD,CE=CD,

BF+CE=BD+CD=BC=7,

答：BF+CE的值是7.

(2)连接OE、OF,OA,

••・△ABC外切于。O,切点分别为点D、E、F,

ΛZOEA=90°,ZOAE=^ZBAC=30o,

ΛOA=2OE=2√3,

由勾股定理得：AE=AF=√0A2-OE2=J(2√3)2-(√3)2=3,

Λ∆ABC的周长是AB+BC+AC=AF+AE+CE+BF+BC=7+7+3+3=20,

答：AABC的周长是20.

RDC

【点评】本题主要考查对勾股定理，含30度角的直角三角形，切线长定理，三角形的内

切圆与内心等知识点的理解和掌握，熟练地运用这些性质进行推理是解此题的关键.

11.(2012秋•徐州期末)如图，在RZZkABC中,ZABC=90o,BC=5cm，AC-AB=Icm

(1)求AB、AC的长；

(2)求AABC内切圆的半径.

【分析】(1)设AB=XCVn,则AC=(x+l)cm,根据勾股定理得出方程(x+l)2-χ2≈

52,求出X即可;

(2)设内切圆的半径为y,根据三