2024届黑龙江省哈尔滨市阿城区第二中学数学高二年级上册期末联考试题含解析

2024届黑龙江省哈尔滨市阿城区第二中学数学高二上期末联考试题

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若函数/(x)=lnx-@在[2,4]上为增函数，则。的取值范围为()

A.(-oo,-2]B.[-4,+OO)

C.[-2,+co)D.(-oo,T]

2.已知O为坐标原点，OA=(1.2,3),OB=(2,1,2),OP=(1,1,2),点0在直线。尸上运动，则当QAQB取得

最小值时，点。的坐标为()

A'f[21,43,31A)B\2「1,32,43I、

7

(

,{(4m48J、0\34,34,37A1

?

3.下列命题正确的是()

A.经过三点确定一个平面

B.经过一条直线和一个点确定一个平面

C.四边形确定一个平面

D.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面

4.从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为()

A.24B.18

C.12D.6

5.如图，是对某位同学一学期8次体育测试成绩(单位：分)进行统计得到的散点图，关于这位同学的成绩分析，下

列结论错误的是()

A.该同学的体育测试成绩总的趋势是在逐步提高，且8次测试成绩的极差超过15分

B.该同学8次测试成绩的众数是48分

C.该同学8次测试成绩的中位数是49分

D.该同学8次测试成绩与测试次数具有相关性，且呈正相关

6.命题P："Vxe[O,”)，]>d”的否定形式9为()

x2

A.V%e[0,+co),e<xB.3%0e(^o,0],e*〉xj

v

C.3x0e[0,+w),D.3x0e[0,+oo),e°<Xg

7.某班进行了一次数学测试，全班学生的成绩都落在区间[50,100]内，其成绩的频率分布直方图如图所示，若该班

学生这次数学测试成绩的中位数的估计值为81.25,则。的值为()

C.0.008D.0.006

8.已知过点。(2,2)的直线与圆(x—ly+V=5相切，且与直线or—y+l=O平行，则。=()

A.2B.1

11

C.一一D.—

22

9.已知抛物线y2=2x的焦点为E点P为该抛物线上的动点，若!，o],则当给最大时，|PF|=()

k27IrbI

B.l

2

D.2

10.中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),实轴长为2,则双曲线C的方程为()

AX-/=IB.x2=1

3-

=1

-3

11.设点尸是函数y=-)一/+2尤+3图象上任意一点,点°的坐标(2a,a—3)(awR),当|尸。|取得最小值时圆G

(x+a)2+(y—2)2=/(厂＞0)上恰有2个点到直线4x-3y-10=0的距离为1,则实数r的取值范围为()

223222，

B.—,6

C.（3,5）D.（4,6）

12.执行下图所示的程序框图，则输出"的值为()

A.5B.6

C.7D.8

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

3—x

13.已知函数/(x)=log2T—+2cos%/(Xo)=3,/(—/)=1,贝!].%=

3+x

14.已知平面。，尸，过空间一定点P作一直线I,使得直线/与平面a,0所成的角都是30。,则这样的直线/有

条

15.已知某圆锥的高为4,体积为12万，则其侧面积为

27r

16.若直线依+2y+l=0与直线%cos^+y—1=0互相垂直,则。=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知双曲线E:土—工=1

(1)若机=4,求双曲线E的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程;

(2)若双曲线E的离心率为ee,3,求实数，"的取值范围

18.(12分)已知/(%)=%3+3依2+陵+。2(。>］)在x=_］时有极值0.

(1)求常数。，b的值；

(2)求了(%)在区间［T,0］上的最值.

19.(12分)如图，在四棱锥P—ABCD中，平面ABCD,底面ABC。为矩形，AB=3,PA=4,E为PD

的中点，PC.请用空间向量知识解答下列问题：

(1)求线段A。的长;

(2)若M为线段上一点，且8M=1，求平面与平面PD4夹角的余弦值.

20.（12分）设函数y（x）=lnx+』（aeH）

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)若有两个零点看,4,求。的取值范围，并证明：+x2<1

22

21.(12分)已知椭圆E:5+9=1(。〉6〉0)的长轴长与短轴长之比为2,6、工分别为其左、右焦点.请从下列

两个条件中选择一个作为已知条件,完成下面的问题：

①过点P(0,亚)且斜率为1的直线与椭圆E相切；

②过F?且垂直于x轴的直线与椭圆在第一象限交于点P,且一PFQ的面积为是.(兄能从①②中选择一个作为已知)

(1)求椭圆E的方程；

(2)过点T(LO)的直线/与椭圆E交于4,3两点,与直线x=6交于〃点，若HA=4AT，=证明：4+4

为定值

22.(10分)已知椭圆石：工+丁=1的左，右顶点分别是A,B,且N是椭圆E上异于A,B的不同的两点

4

(1)若3M•£«=—；，证明：直线肱V必过坐标原点。；

(2)设点P是以A"为直径的圆2和以AN为直径的圆仪的另一个交点，记线段AP的中点为Q,若

心“•£W=T，求动点。的轨迹方程

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解题分析】求出函数的导数，要使函数/(力=111%-处在［2,4］上为增函数，要保证导数在该区间上恒正即可，由

此得到不等式,解得答案.

详解】由题意可知［a)=5+£=手,

若/(尤)在［2,4］递增,则x+aNO在［2,叶恒成立,

即有2+a»0,则2,

故选：C.

2、C

.4

【解题分析】设OQ=4OP,用力表示出QA,QB，求得Q4•QB的表达式,结合二次函数的性质求得当2=1时，QA•

取得最小值，从而求得。点的坐标.

【题目详解】设=则。4=。4-。。=。4-20尸=(1一九2-九3-22),

QB—OB~OQ=OBOP=(2—A,1—2,2—22),

r(4?i-

所以QA・QB=(1—2,2—2,3—22)•(2—2,1—2,2—22)=2(322—87+5)=231—I——.

44一(448、

所以当2=］时，取得最小值，此时0。=可。尸=4，弓，4，

JD\JJJ/

一.一「448、

即点。的坐标为.

故选：C

3、D

【解题分析】由平面的基本性质结合公理即可判断.

【题目详解】对于A,过不在一条直线上三点才能确定一个平面，故A不正确；

对于B,经过一条直线和直线外一个点确定一个平面，故B不正确；

对于C,空间四边形不能确定一个平面，故C不正确；

对于D,两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，故D正确.

故选：D

4、C

【解题分析】根据题意，结合计数原理中的分步计算，以及排列组合公式，即可求解.

【题目详解】根据题意，要使组成无重复数字的三位数为偶数，

则从0,2中选一个数字为个位数，有2种可能，

从1,3,5中选两个数字为十位数和百位数，有•国=3x2=6种可能，

故这个无重复数字的三位数为偶数的个数为2x6=12.

故选：C.

5、C

【解题分析】根据给定的散点图，逐一分析各个选项即可判断作答.

【题目详解】对于A,由散点图知，8次测试成绩总体是依次增大，极差为56-38=18>15,A正确；

对于B,散点图中8个数据的众数是48,B正确；

对于C,散点图中的8个数由小到大排列，最中间两个数都是48,则8次测试成绩的中位数是48分，C不正确；

对于D,散点图中8个点落在某条斜向上的直线附近，则8次测试成绩与测试次数具有相关性，且呈正相关，D正确.

故选：C

6、D

【解题分析】根据含一个量词的命题的否定方法直接得到结果.

【题目详解】因为全称命题的否定是特称命题，

所以命题P：«Vxe[0,4w),erf”的否定形式.为：3xoe[O,4w),涉〈焉，

故选：D.

【题目点拨】本题考查全称命题的否定，难度容易.含一个量词的命题的否定方法：修改量词，否定结论.

7、A

【解题分析】根据已知条件可得出关于。、匕的方程组，解出这两个量的值，即可求得结果.

【题目详解】由题意有10〃+10/7+0.25+0.4+10人=1,得。+2〃=0.035,

又由10Q+10b+0.25+（8L25-80）x0.04=0.5,得a+〃=0.02,

解得a=0.005,万=0.015,b—a=0.015—0.005=0.01

故选：A.

8、C

【解题分析】先根据垂直关系设切线方程，再根据圆心到切线距离等于半径列式解得结果.

【题目详解】因为切线与直线冰一丁+1=。平行，所以切线方程可设为双-丁+根=。

因为切线过点P（2,2）,所以2〃-2+机=0「.加=2-2〃

因为与圆（X_1）-+V=5相切，所以一赤商一=V54cr+4a+l=0:.a=--

故选：C

9、B

【解题分析】根据抛物线的定义，结合换元法、配方法进行求解即可.

【题目详解】因为点尸为该抛物线上的动点，所以点尸的坐标设为（曾■，%），抛物线/=2x的焦点为F，所以F（1,0）,

[221

抛物线的准线方程为：尤=力，因此|尸尸|=半-

---------1-----，

22

\PA\4+2-1~r

一；—=\七一至

hPFI

1IPAI

当-=1时，即当:1时，川有最大值，最大值为1,此时|尸尸口.

t\PF\

故选：B

10、D

【解题分析】根据条件，求出。，c的值，结合双曲线的方程进行求解即可

22

【题目详解】解：设双曲线c的方程为1-3=1（。>03>0）

ab

由已知得：a=lfc=2,

再由〃2+/=02,.../=3,

2

•••双曲线C的方程为：％2_匕=1

3

故选：D

11、C

【解题分析】先求出y=—J-X2+2尤+3代表的是以（1,0）为圆心,2为半径的圆的位于x轴下方部分（包含x轴上的

部分），数形结合得到归。|取得最小值时。的值，得到圆心G利用点到直线距离求出圆心C到直线4x-3y-10=0的

距离，数形结合求出半径r的取值范围.

2

【题目详解】J=-V-X+2X+3<0>两边平方得：（%—1）2+丁=4,即点尸在以（1,0）为圆心，2为半径的圆的位

于x轴下方部分（包含x轴上的部分），如图所示：

因为Q的坐标为（2a,a—3）（。eR）,则。在直线/：y=:尤-3,过点A作AQ】_U于点。］，与半圆交于点Py,此时由Qj

长为卢。|的最小值，则1=-2,所以直线A。：y=-2（x-l）,与丫=恭-3联立得：所以2a=2,

解得：a=l,则圆C：（x+l）2+（j-2）2=r2（r>0）,贝!|C（—1,2）,圆心C（—1,2）到直线4x-3y-10=0的距离为

1-4-6-101

।I--------1=4,要想圆C上恰有2个点到直线4x-3y-10=0的距离为1,则3<r<5.

J16+9

故选：C

12、C

【解题分析】直接按照程序框图运行即可得正确答案.

【题目详解】当〃=0时，2°+0=1>80不成立,

”=1时，2i+l=3>80不成立，

〃=2时，22+2=6>80不成立，

〃=3时，23+3=11>80不成立，

九=4时，24+4=20>80不成立，

〃=5时，+5=37>80不成立，

〃=6时，26+6=70>80不成立，

〃=7时，27+7=135>80成立，输出〃的值为7,

故选：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、-1.

L2

【解题分析】将/(x0)=3,/(-x0)=1代入计算，利用log2n和kg?互为相反数，作差可得log?I以=1,

3+x03-x03+x0

计算=2可得结果.

3+x0

3—X

【题目详解】解：函数"x)=k)g,^—+2cosa,则—3<x<3.

f(x0)=log,+2cosa=3,

3+x0

+A

/(-x0)=log2~^O+2cosa=-log2-~—+2costz=1,

3JVQ3~H

3—x

作差可得：―-=1,

3+x0

3—.3—x

即^一-=2,解得：%=—1代入/(x)=log2——+28$%此时85。=1成立.

3+玉)3+x

故答案为：-1.

14、4

【解题分析】设平面aP=m,在平面a内作Q4J_机于点O,在平面£内过点。作05，〃/,设0M是NAC出的

角平分线，过棱，”上一点P作PQ〃OM,则过点。在平面0MQP上存在2条直线/,使得直线/与05、成60，

直线/与平面且与平面a,£所成的角都是30。，在NAOB的补角NA05一侧也存在2条满足条件的直线/,由此可

得答案.

【题目详解】解：设平面的B=m,在平面a内作Q4L加于点。，在平面£内过点。作06，机，

因为平面所以NAOB=90，设。M是NAOB的角平分线，则NAOAf=/BOM=45，

过棱m上一点P作PQ//OM,则过点O在平面OMQP上存在2条直线I,使得直线I与05、04成60，此时直线I

与平面且与平面a,0所成的角都是30。，

同理，在NAO3的补角NA05一侧也存在2条满足条件的直线/,所以这样的直线,有4条，

故答案为：4.

15、15万

【解题分析】设该圆锥的底面半径为r,由圆锥的体积V=!行2&,可解得「的值，再由勾股定理求得圆锥的母线长/,

3

而侧面积S=mV,代入数据即可得解

【题目详解】设该圆锥的底面半径为r,圆锥的体积旷=,万户"=工加^4=12兀，解得，=3

33

圆锥母线长1=，/+九2=5,.,.侧面积5=加/=157

故答案为：15万

【题目点拨】本题考查圆锥的侧面积和体积的计算，理解圆锥的结构特征是解题的关键，考查学生的空间立体感和运

算能力，属于基础题

16、4

【解题分析】由直线垂直的性质求解即可.

【题目详解】由题意得3・cos上=—1,解得a=4.

23

故答案为：4

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）焦点坐标为（—3,0）,（3,0）,顶点坐标为（—2,0）,（2,0）,渐近线方程为＞=土乎＞（2）（5,10）.

【解题分析】（1）根据双曲线方程确定见上c,即可按照概念对应写出焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；

（2）先求e（用加表示），再根据eej半，应解不等式得结果.

【题目详解】（1）当机=4时，

22

双曲线方程化为，L—匕=1

45

所以a=2,b=也,c=3,

所以焦点坐标为（—3,0）,（3,0）,顶点坐标为（—2,0）,（2,0）,

渐近线方程为＞=土且X.

2

（2）因为e2=g=^±^=l+』，

ammI2,

所以23＜1+53＜2,

2m

解得5〈加＜10,

所以实数加的取值范围是（5,10）

【题目点拨】本题根据双曲线方程求焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程，根据离心率求参数范围，考查基本分析求解

能力，属基础题.

18、（1）a=2,b=9；（2）最小值为0,最大值为4.

【解题分析】（1）对/（无）求导，根据/'（X）在x=—1时有极值0,得到［，八八，再求出。，6的值；

、/（一1）=。

（2）由⑴知，（（》）=3/+12犬+9,然后判断了（x）的单调性,再求出了（X）的值域

【题目详解】解：⑴f\x）=3x-+6ax+b,由题知：:°,2八/c、

j（-1J=0［一1+3〃一/?+〃=0（2）

联立（1）、（2）有匕。（舍）或〈c.当］。时/'（尤）=3d+6x+3=3（x+l）20在定义域上单调递增，故舍去;

b=3b=9b=3'/''

所以4=2,b=9,经检验，符合题意

(2)当a=2,b=9时，/'(x)=3d+12x+9=3(x+3)(x+l)故方程/(力=0有根x=—3或x=—1二由

广(x)=3尤2+12x+9>0,得xe(-oo,-3)或(-l,4w)由f'(x)=3/+⑵+9<0得xe(-3,-1),二函数/(x)的单调增

区间为：[Y,—3),(-1,0],减区间为：(-3,-1).函数在1=—3取得极大值，在x=—1取极小值；经计算"7)=0,

/(-3)=4,/(-1)=0,/(0)=4,所以最小值为0,最大值为4.

19、(1)4

⑵B

3

【解题分析】(1)以点A为坐标原点，AB.AP、所在直线分别为％、V、z轴建立空间直角坐标系，设4。=1,

由已知可得出AE.PC=O，求出/的值，即可得解；

(2)利用空间向量法可求得平面与平面PD4夹角的余弦值.

【小问1详解】

解：上4,平面ABC。，AB±AD,以点A为坐标原点，AB>AP>AD所在直线分别为％、V、z轴建立如图

设4£>=/，则4（0,0,0）、E1°，2,£|、C（3,0/）、P（0,4,0）,

则AE=〔0,2,3，PC=（3,TJ）,

2

_____.t

AE1PC,则AE・PC=—8+—=0,解得/=4,故AD=4.

2

【小问2详解】

解：BM=1,则M（3,0,l）,又。（0,4,0）、0（0,0,4）,B（3,0,0）,

所以，£>P=（O,4,T）,£>M=（3,0,-3）,

n-DP=4y-4z=Q

设”=(x,y,z)为平面的法向量，贝卜,取z=l,可得〃=(1,1,1),

n-DM=3x—3z=0

显然，AB=(3,0,0)为平面PD4的一个法向量,

ABn3

cos<AB.n>=

\AB\-\n\3V1+1+1-3

因此，平面DMP与平面PAM夹角的余弦值为在

3

20、(1)答案见详解

(2)0<a<-,证明见解析

e

-yr—/J

【解题分析】(1)求导得/''(>)==■,x>0,分类讨论参数。的范围即可判断单调区间;

1a八

In玉H—=0

Xit]v\t/\

(2)设々=3，t>l,联立，整理得ln%=-----,构造In(玉+马)得

ian

In%2----0

“

111(%+々)=彳蚂皆-旨1构造函数〃«)=罟，结合导数判断单调性，进而得证.

小问1详解】

由/(x)=lnx+@,x>0,可得/'(x)=L--=X>Q

XXXX

当a40时，/'(X)>O,所以/(元)在(0,+e)上单调递增；

当a>0时，令/'(x)=F>0,得x>。，令/'(力=一<0,得0<%<a

JCX

所以f(x)在(0,a)单调递减，在3欣)单调递增；

【小问2详解】

证明：因为函数/'(x)=lnx+q有两个零点，由(1)得。>0,

X

此时了(%)的递增区间为(a,y),递减区间为(0M),/(%)有极小值/⑷=lnQ+l.

所以/(a)=lna+l<0,可得a<‘,所以0<a<‘.

ee

由(1)可得了(%)的极小值点为x=Q,则不妨设。<%1<1<%2・

1a八

In玉H—=0,

西贝！|屿=三=乙

设%2=%，t＞l贝上

9”+巴=0,”西

x2

即In玉=『ln%2=/ln比1=《ln石+山。，整理得1口%=-3"，所以

t—1

In(玉+%2)=In玉(％+1)=In玉+ln«+1)=-"n'+ln«+1)=%ln«+1)In/

t—1t-1

,1,

设g）=詈,则〃⑺=1----Int

，所以拉⑺在（L+8）上单调递减,

—1~^<0

d)2

所以生”。＜旦，所以1n（玉+9）＜0,即芭+々＜1.

tt—1

21、(1)—+)2=1

4'

（2）证明见解析

【解题分析】（1）选①:直线与椭圆联立,利用判别式为0求解;选②:利用通径公式即可

⑵用直线参数方程的几何意义求解

【小问1详解】

选①:由题知a=2b，过点P（0,指）且斜率为1的直线方程为y=X+A/5

[22

工+匕=1

联立b2，得舫2f+8后2无+4/（5—/）=0

y=X+A/5

A=4X4Z?2XZ?2（5/72-5）

由A=0,得b2=1

所以椭圆E的方程为土+尸=1

4

选②:由题知a=2）,所以£=走

a2

叽凡2_G

由SPFO=—-----------D-，得/=1

尸月°2

a4------4

丫2

所以椭圆E的方程为上+>2=1

4-

【小问2详解】

x=l+tcosa

证明:设直线/的参数方程为(/为参数)

y=tsma

7T

设A,B,H对应的参数分别为2，/3，显然4W0,12。°，。W5

x=l+，cosa

/［、、iRfeFHIz?4B1+2tCOSCCtCOSCt•2i

将代入椭圆E，得----------------------+/sma=l

y=tsma4

(2、

cosa22

即+sin«t+-tCosa--=0.

24

、丁7

2cos。3

所以11+L

cos2or+4sin2or12cos2cr+4sin2a

%=l+，cosa5

将代入直线x=6,得，3=

y=tsmacos。

由H4=4AT,得0—q所以4=9一1

h

由HB=^BT，得%2-G=-所以4=j—1

’2

cc，K+bc52cos(7小4

所以二■.一”,

4

所以4+为为定值］

【题目点拨】关键点点睛：直线的参数方程作为一种工具，要充分发挥它的作用，参数的几何意义并不局限于加绝对

值表示距离，还要注意方向性.

请考生在22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分

22、（1）证明见解析；

【解题分析】（1）设加（根,“），首先证明左期•即M