2023-2024学年济南市莱芜地区九年级上册数学期末联考试题含解析

2023-2024学年济南市莱芜地区九上数学期末联考试题

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（每题4分，共48分）

2.某学校要种植一块面积为100n?的长方形草坪，要求两边长均不小于5m,则草坪的一边长为y（单位：m）随另

一边长x（单位：m）的变化而变化的图象可能是（）

3.将抛物线y=-5x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（)

A.y=-5(x+1)2-1B.y=-5(x-1)2-1C.y=-5(x+1)2+3D.y=-5(x-1)2+3

4.抛物线y=-3/—x+4与坐标轴的交点个数是()

A.3B.2C.1D.0

4

5.如图，在中,ZC=90°,sinA=—,AC=6cm,则BC的长度为()

5

/

A.6cmB.7cmC.8cmD.9cm

6.下列关于抛物线y=2（x—3,+/有关性质的说法，正确的是（）

A.其图象的开口向下B.其图象的对称轴为x=-3

C.其最大值为1D.当X<3时，)'随X的增大而减小

x>m—71m—x

7.使得关于x的不等式组《,，/有解，且使分式方程-----=3有非负整数解的所有的整数，〃的

一2x+4"加一6x-33-x

和是()

A.-8C.-16D.-18

8.若二次函数丫=以2的图象经过点尸(_1,2),则该图象必经过点()

A.(1,2)B.(-1,-2)C.(-2,1)D.(2,-1)

9.如图，在△A5C中，ACA.BC,445c=30°,点。是CB延长线上的一点，S.AB=BD,贝!ItanO的值为(

A.25/3B.373C.2+百D.2-V3

10.能判断一个平行四边形是矩形的条件是()

A.两条对角线互相平分B.一组邻边相等

C.两条对角线互相垂直D.两条对角线相等

11.用一块长40c,〃，宽28c机的矩形铁皮，在四个角截去四个全等的正方形后，折成一个无盖的长方形盒子，若折成

的长方体的底面积为360c7/，设小正方形的边长为xcm,则列方程得()

A.(20-x)(14-x)=360B.(40-2x)(28-2x)=360

C.40x28-4^=360D.(40-x)(28-x)=360

3—m

12.在反比例函数y=的图象在某象限内，y随着x的增大而增大，则〃？的取值范围是()

x

A.m>-3B.m<-3C.m>3D.m<3

二、填空题(每题4分，共24分)

13.如果一个扇形的半径是1,弧长是g,那么此扇形的圆心角的大小为度.

332121

14.对于任意非零实数a、b,定义运算“㊉力使下列式子成立：1㊉2二-22㊉1=L(-2)㊉5=—,5㊉(-2)=--

22v710v75

贝!Ja㊉b=.

15.如图，已知在AABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE〃BC,EF//AB,且AD:DB=3:5,那么

CF:CB等于.

A

16.如图，点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，当四边形ABCD的边至少满足

条件时，四边形EFGH是矩形.

DE2

17.如图，△ABC中，DE/7BC,——=—,AADE的面积为8,则△ABC的面积为

BC3

18.如图，在半径为3的。中，A8的长为万，若随意向圆内投掷一个小球，小球落在阴影部分的概率为

k

19.（8分）如图，正比例函数y=-3x的图像与反比例函数y,=一的图像交于A,B两点.点C在x轴负半轴上,

x

AC=AO,\ACO的面积为12.

(1)求k的值；

(2)根据图像，当必>H时，写出x的取值范围；

(3)连接BC,求A4BC的面积.

20.(8分)已知：二次函数产炉-6*+5,利用配方法将表达式化成产a(x-h)?+A的形式，再写出该函数的对称轴

和顶点坐标.

21.(8分)阅读下列材料，完成相应的学习任务:如图(1)在线段45上找一点C,C把分为AC和两条线段,

其中AO3C.若AC,BC,AB满足关系A^B&AB.则点C叫做线段AB的黄金分割点，这时生=避二1=0.618,

AB2

人们把垦1叫做黄金分割数，我们可以根据图(2)所示操作方法我到线段的黄金分割点，操作步骤和部分证

2

明过程如下：

第一步，以A3为边作正方形A8C£>.

第二步，以AO为直径作。F.

第三步，连接8尸与OF交于点G.

第四步，连接OG并延长与A8交于点E,则E就是线段AB的黄金分割点.

证明：连接AG并延长，与BC交于点M.

TAO为。尸的直径，

:.ZAGO=90°,

•.•尸为的中点,

：.DF=FG=AF,

二/3=/4,N5=N6,

VZ2+Z5=90°,Z5+Z4=90°,

.•.N2=N4=N3=N1,

,:NEBG=NGBA,

:AEBGSAGBA,

.BG_AB

"BE-BG(

：.BG2=BE*AB...

任务：

(1)请根据上面操作步骤与部分证明过程，将剩余的证明过程补充完整；(提示：证明8M=3G=AE)

(2)优选法是一种具有广泛应用价值的数学方法，优选法中有一种0.618法应用了黄金分割数.为优选法的普及作出

重要贡献的我国数学家是(填出下列选项的字母代号)

A.华罗庚

B.陈景润

C.苏步青

ACB

图1

如图1,四边形48co是正方形，M是8c边上的一点，E是边的中点，AE平分NZMM.

(探究展示)

(1)证明：AM=AD+MC；

(2)AM=£)E+5M是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.

(拓展延伸)

⑶若四边形45C。是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2,探究展示(1)、(2)中的结论是否成立？请分别作出

判断，不需要证明.

图1图2

23.(10分)如图，AB是的直径，AC是弦，。是弧的中点，过点。作旅垂直于直线AC,垂足为尸，交

4B的延长线于点E.

(1)求证:Ef是OO的切线；

⑵若AR=6,EF=8,求-。的半径.

24.(10分)已知二次函数y=—2/—4X+6.

(1)用配方法求出函数的顶点坐标；

(2)求出该二次函数图象与x轴的交点坐标。

(3)该图象向右平移个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点.请直接写出平移后所得图象与x轴的另一个

交点的坐标为.

25.(12分)超市销售某种儿童玩具，该玩具的进价为10()元/件，市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过进

价的60%.现在超市的销售单价为140元，每天可售出50件，根据市场调查发现，如果销售单价每上涨2元，每天销

售量会减少1件。设上涨后的销售单价为x元，每天售出y件.

(1)请写出y与x之间的函数表达式并写出x的取值范围；

(2)设超市每天销售这种玩具可获利w元，当x为多少元时w最大，最大为名少元？

26.如图，在矩形A8CQ中，已知4D>AB.在边AO上取点E,连结CE.过点E作E尸J_CE,与边A3的延长线交

于点F.

(1)求证：XAEfsXocE.

(2)若A3=3,AE=4,DE=6,求线段8尸的长.

B

参考答案

一、选择题(每题4分，共48分)

1、D

【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某个点旋转180。，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那

么这个图形叫做中心对称图形，逐一判断即可.

【详解】解：A选项不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

B选项不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

C选项不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

D选项是中心对称图形，故本选项符合题意；

故选D.

【点睛】

此题考查的是中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的定义是解决此题的关键.

2、C

【详解】由草坪面积为lOOn?,可知x、y存在关系y=」，然后根据两边长均不小于5m,可得史5、y>5,则烂20,

X

故选：C.

3、A

【解析】分析：直接利用二次函数图象与几何变换的性质分别平移得出答案.

详解：将抛物线y=-5x2+l向左平移1个单位长度，得到y=-5(x+D2+1,再向下平移2个单位长度，

所得到的抛物线为：y=-5(x+1)2」.

故选A.

点睛：此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键.

4、A

【详解】解：•••抛物线解析式y=—3/—x+4,

令x=0,解得：y=4,.•.抛物线与y轴的交点为(o,4),

令y=0,得到

004

—3x~—九+4=03x+x—4=0(3x+4)(x—1)=0玉=—~,x[=1>

、4

...抛物线与x轴的交点分别为（一§，（）），（1，0）.

综上，抛物线与坐标轴的交点个数为1.

故选A.

【点睛】

本题考查抛物线与x轴的交点，解一元一次、二次方程.

5、C

RC4

【详解】已知sinA=—­=-,设BC=4x,AB=5x,

AB5

又因AC2+BC2=AB2,

即62+（4x）2=（5x）2,

解得：x=2或x=-2（舍），

所以BC=4x=8cm,

故答案选C.

6、D

【分析】根据抛物线的表达式中系数a的正负判断开口方向和函数的最值问题，根据开口方向和对称轴判断函数增减

性.

【详解】解：..\二2〉。，.•.抛物线开口向上，故A选项错误；抛物线的对称轴为直线x=3,故B选项错误；抛物线开

口向上，图象有最低点，函数有最小值，没有最大值，故C选项错误；因为抛物线开口向上，所以在对称轴左侧，即

x<3时，y随x的增大而减小，故D选项正确.

故选：D.

【点睛】

本题考查二次函数图象和性质，掌握图象特征与系数之间的关系即数形结合思想是解答此题的关键.

7、D

【分析】根据不等式组的解集的情况，得出关于m的不等式，求得m的取值范围，再解分式方程得出x,根据x是非

负整数，得出m所有值的和.

x>m-1

【详解】解：•.•关于x的不等式组43,,，有解加—7<xW5—2加，

-2x+4>4m-6

贝!J加一7<5-2加，

••in<4,

又•••分式方程一二-第N=3有非负整数解，

x-33-x

10+m

..x=------为非负整数,

4

Vm<4,

m--10,-6,-2

由—10—6—2=—18,

故答案选D.

【点睛】

本题考查含参数的不等式组及含参数的分式方程，能够准确解出不等式组及方程是解题的关键.

8、A

【分析】先确定出二次函数图象的对称轴为y轴，再根据二次函数的对称性解答.

【详解】解：•.•二次函数y=ax2的对称轴为y轴，

,若图象经过点P(-1,2),

则该图象必经过点(1,2).

故选：A.

【点睛】

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数图象的对称性，确定出函数图象的对称轴为y轴是解

题的关键.

9、D

【分析】设AC=m,解直角三角形求出AB,BC,BD即可解决问题.

【详解】设AC=m,

在RtZkABC中，VZC=90",ZABC=30°,

.,.AB=2AC=2m,BC=gAC=6m,

.'.BD=AB=2m,DC=2m+百m,

AC

.,.tanZADC=——=----------=2-.

CD2m+43"?

故选：D.

【点睛】

本题考查解直角三角形，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

10、D

【分析】根据矩形的判定进行分析即可；

【详解】选项A中，两条对角线互相平分是平行四边形，故选项A错误;

选项B中，一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项B错误；

选项C中，两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项C错误；

选项D中，两条对角线相等的平行四边形是矩形，故选项D正确；

故选D.

【点睛】

本题主要考查了矩形的判定，掌握矩形的判定是解题的关键.

11、B

【分析】由题意设剪掉的正方形的边长为xcm,根据长方体的底面积为360cm2列出方程即可.

【详解】解：设剪掉的正方形的边长为xcm,

则(28-2x)(40-2x)=1.

故选：B.

【点睛】

本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题并建立方程.

12、C

【分析】由于反比例函数丫=±力的图象在某象限内)'随着x的增大而增大，则满足3-m<0,再解不等式求出〃z

X

的取值范围即可.

3——m

【详解】•.•反比例函数y=一的图象在某象限内，y随着X的增大而增大

X

/.3-m<0

解得：机>3

故选：C.

【点睛】

本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握图象在各象限的变化情况跟系数之间的关系是关键.

二、填空题(每题4分，共24分)

13、1

【分析】直接利用扇形弧长公式代入求出即可.

TT

【详解】解：扇形的半径是1,弧长是

,nnrn1n

：.l=——=一，即-----=—,

18031803

解得：n-60,

,此扇形所对的圆心角为：60°.

故答案为：1.

【点睛】

此题主要考查了弧长公式的应用，正确利用弧长公式是解题关键.

【解析】试题分析：根据已知数字等式得出变化规律，即可得出答案:

3I2-22322-I2宁-(-2)2

Vl©2=--=-——,2©l=-=-------,(-2)®5=

21x222x1''5x(-2)

a2—b2

・・・a㊉b=--------o

ab

15、5：8

【解析】试题解析：DEBC,

：.AE:EC=AD:DB=3:5,

：.CE:CA=5:S,

EFAB,

：.CF:CB=CE:CA=5:8.

故答案为5:8.

16、AB±CD

【解析】解：需添加条件AB_LDC,

•:E、F.G、“分别为四边形ABCD中A。、BD、BC、C4中点,

:.EF〃AB,EF=、AB,GH//AB,GH=-AB

22

AEF//HG,EF=HG.

...四边形EFGH为平行四边形.

：E、H是AD、AC中点，

.♦.EH〃CD,

VAB±DC,EF//HG

AEFIEH,

四边形EFGH是矩形.

故答案为：AB±DC.

17、18.

【解析】•••在AABC中，DE〃BC,

.,.△ADE<^AABC.

..DE2

•一，

BC3

•S_A盛=(些)2=(2)2=1

"SABC%C)(3，9，

.9

=

•,SARC~SADE=18.

1

18、—

6

【分析】根据圆的面积公式和扇形的面积公式分别求得各自的面积，再根据概率公式即可得出答案.

【详解】,圆的面积是：3?♦万=9%，

13

扇形的面积是：一♦7♦3=-万，

22

3

二小球落在阴影部分的概率为：5、1.

9乃6

故答案为：—.

6

【点睛】

本题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率=相应面积与总面积之比.

三、解答题(共78分)

19、(1)攵=一12；(2)x<-2或0<x<2；(3)24

【分析】(1)过点A作AD垂直于OC,由AC=AO,得至I]CD=DO,确定出三角形ADO与三角形ACD面积，即可

求出k的值；

(2)根据函数图象，找出满足题意x的范围即可；

(3)分别求出△AOC和△BOC的面积即可.

【详解】解：(1)如图，过点A作

v

VAC=AO,

CD=DO,

：•S^DO=SMCD=6,

:.k=—12；

12

(2)根据题意，得：J，x,

y=-3x

x=-2fx=2

解得：〈/或〈/即A(-2,6),B(2,-6),

y=6[y=-6

根据图像得：当％>为时，x的范围为％<-2或0<x<2.

(3)连接BC,

S^BC=S&IOC+S^oc=12+12=24・

【点睛】

此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，以及坐标系中的三角形面积，利用数形结合的思想，熟练掌握各函数

的性质是解本题的关键.

20、y=(x-3)2-4；对称轴为：x=3；顶点坐标为：(3,-4)

【分析】首先把x"6x+5化为(x-3)2-4,然后根据把二次函数的表达式y=x%x+5化为y=a(x-h)?+k的形式，利用

抛物线解析式直接写出答案.

【详解】y=x2-6x+9-9+5=(x-3)2-4,即y=(x-3)2-4；

抛物线解析式为丫=(x-3)J%

所以抛物线的对称轴为：x=3,顶点坐标为(3,-4).

【点睛】

此题考查二次函数的三种形式，解题关键在于熟练掌握三种形式之间相互转化的方法.

21、(1)见解析；(2)A

【分析】(1)利用相全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质以及平行线的性质证明BM=BG=AE即可解决问题.

（2）为优选法的普及作出重要贡献的我国数学家是华罗庚.

【详解】（1）补充证明：VZ2=Z4,ZABM=ZDAE,AB=AD,

/.△ABM^ADAE（ASA）,

.*.BM=AE,

VAD/7BC,

，N7=N5=N6=N8,

，BM=BG=AE,

.*.AE2=BE*AB,

•••点E是线段AB的黄金分割点.

（2）优选法是一种具有广泛应用价值的数学方法，优选法中有一种0.618法应用了黄金分割数.为优选法的普及作出

重要贡献的我国数学家是华罗庚.

故答案为A.

【点睛】

本题考查作图-相似变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，正方形的性质等知识,

解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题型.

22、⑴证明见解析；（2）AM=DE+BM成立，证明见解析；（3）①结论AM=AD+MC仍然成立；②结论AM=DE+BM不

成立.

【分析】（1）从平行线和中点这两个条件出发，延长AE、BC交于点N,易证△ADEgANCE,得至ljAD=CN,再证

明AM=NM即可；（2）过点A作AF_LAE,交CB的延长线于点F,

易证△ABFgAADE,从而证明AM=FM,即可得证；（3）AM=DE+BM需要四边形ABCD是正方形，故不成立，

AM=AD+MC仍然成立.

【详解】⑴延长AE、BC交于点N,如图1（1）,

,四边形ABCD是正方形，；.AD〃BC./.ZDAE=ZENC.

：AE平分NDAM,/.ZDAE=ZMAE.AZENC=ZMAE.；.MA=MN.

ZDAE=ACNE

在小ADE和ANCE中，＜ZAED=NNEC

DE=CE

.,.△ADEg△NCE(AAS)..\AD=NC./.MA=MN=NC+MC=AD+MC.

Klf1)

(2)AM=DE+BM成立.

证明：过点A作AF_LAE,交CB的延长线于点F,如图1(2)所示.

丁四边形ABCD是正方形，AZBAD=ZD=ZABC=90°,AB=AD,AB〃DC.

VAF±AE,AZFAE=90°.AZFAB=90°-ZBAE=ZDAE.

ZFAB=ZEAD

在△ABF和△ADE中，|AB=AD

/ABF=ZD=90°

.•.△ABF^AADE(ASA).

/.BF=DE,ZF=ZAED.

VAB/7DC,

AZAED=ZBAE.

VZFAB=ZEAD=ZEAM,

AZAED=ZBAE=ZBAM+ZEAM=ZBAM+ZFAB=ZFAM.

.\ZF=ZFAM.

AAM=FM.

，AM=FB+BM=DE+BM.

B"

BEl(2)

⑶①结论AM=AD+MC仍然成立.②结论AM=DE+BM不成立.

【点睛】

此题主要考查正方形的性质与全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判断与性质.

23、(1)详见解析；(2)OO的半径为：.

4

【分析】(1)证明EF是。的切线，可以连接OD,证明OD_LEF；

(2)要求。的半径，即线段OD的长，在证明AEODs^EAF的基础上，利用对应线段成比例可得生=①,

AFEA

其中AF=6,AE可利用勾股定理计算出来，OE可用含半径的代数式表示出，这样不难计算出半径OD的长.

【详解】(1)证明：连接OD.

VEF1AF,

.,.ZF=90°.

YD是的中点，，

:.ZEOD=ZDOC=-ZBOC,

2

VZA=-ZBOC,.，.NA=NEOD,

2

.,.OD/7AF.

...NEDO=NF=90°.AOD1EF,

，EF是。O的切线；

(2)解：在RtZ\AFE中，VAF=6,EF=8,

AE=yjAF2+EF2=V62+82=10，

设。O半径为r,.\EO=10-r.

VZA=ZEOD,NE=NE,

•.•△AEOD0°ZAS.EAF,•.•-O---D-------O---E--,

AFEA

.r_10-r

••一•

610

...r=?,即OO的半径为：.

44

【点睛】

本题考查的知识点有切线的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解题中添加过切点与圆心的辅助线是关键点，也

是难点.

24、(1)(-1,8)；(2)(一3,0)和(1,0)；(3)3；(4,0)

【分析】(1)利用配方法将一般式转化为顶点式，然后求顶点坐标即可；

(2)将y=0代入，求出x的值，即可求出该二次函数图象与x轴的交点坐标；

(3)根据坐标与图形的平移规律即可得出结论.

12

【详解】解