辽宁省锦州市第二十四中学2022-2023学年高二数学理联考试题含解析

辽宁省锦州市第二十四中学2022-2023学年高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.a，b，ｃ为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题：其中正确的命题是________________.（将正确的序号都填上）参考答案：1,4,5,62.已知，则等于A. B. C. D.参考答案：C由条件概率公式变形得到的乘法公式，，故答案选C.

3.已知向量，，且⊥，则（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A4.地上画了一个角∠BDA＝60°，某人从角的顶点D出发，沿角的一边DA行走10米

后，拐弯往另一边的方向行走14米正好到达∠BDA的另一边BD上的一点，我们将该点记为点N，则N与D之间的距离为()A．14米

B．15米C．16米

D．17米参考答案：C略5.下列说法正确的是(

)①必然事件的概率等于1；

②互斥事件一定是对立事件；③球的体积与半径的关系是正相关；

④汽车的重量和百公里耗油量成正相关A、①②

B、①③

C、①④

D、③④参考答案：C6.复数的实部是

（

）

A．-1

B．1

C．0

D．-2参考答案：A略7.已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是（

）A． B．C．

D．参考答案：D略8.学校要从10个同学中选出6个同学参加学习座谈会，其中甲、乙两位同学不能同时参加，则不同的选法共有A.140

B.112C.98

D.84参考答案：A9.设x，y满足，则z＝x＋y

A．有最小值2，最大值3 B．有最小值2，无最大值C．有最大值3，无最小值

D．既无最小值，也无最大值参考答案：B略10.已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A．10 B．20 C．30 D．40参考答案：B【考点】直线与圆相交的性质．【专题】压轴题．【分析】根据题意可知，过（3，5）的最长弦为直径，最短弦为过（3，5）且垂直于该直径的弦，分别求出两个量，然后利用对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半求出即可．【解答】解：圆的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2=52，由题意得最长的弦|AC|=2×5=10，根据勾股定理得最短的弦|BD|=2=4，且AC⊥BD，四边形ABCD的面积S=|AC|?|BD|=×10×4=20．故选B【点评】考查学生灵活运用垂径定理解决数学问题的能力，掌握对角线垂直的四边形的面积计算方法为对角线乘积的一半．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去西安参加自主招生考试，考试结束后刘老师向四名学生了解考试情况．四名学生回答如下：甲说：“我们四人都没考好．”乙说：“我们四人中有人考的好．”丙说：“乙和丁至少有一人没考好．”丁说：“我没考好．”结果，四名学生中有两人说对了，则这四名学生中两人说对了．参考答案：乙丙【考点】进行简单的合情推理．【分析】判断甲与乙的关系，通过对立事件判断分析即可．【解答】解：甲与乙的关系是对立事件，二人说的话矛盾，必有一对一错，如果丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时，乙正确．故答案为：乙、丙．12.在如图所示的棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，作与平面ACD1平行的截面，则截得的三角形中，面积最大的值是_________；截得的平面图形中，面积最大的值是________。参考答案：2；313.方向向量为，且过点A（3，4）的直线的一般式方程为．参考答案：2x﹣y﹣2=0【考点】IG：直线的一般式方程．【分析】根据点向式方程计算即可【解答】解：方向向量为，且过点A（3，4）的方程为=，即2x﹣y﹣2=0，故答案为：2x﹣y﹣2=0．14.如图，已知二面角的大小为60°，其棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于，已知，，，则线段的长为

．参考答案：15.在线段[0，a]上随机地投三个点，试求由点O到三个点的线段能构成一个三角形的概率是_____________________________________。参考答案：0.516.小华的妈妈经营一家饮品店，经常为进货数量而烦恼，于是小华代妈妈进行统计，其中某种饮料的日销售量y（瓶）与当天的气温x（℃）的几组对照数据如下： 根据上表得回归方程中的，据此模型估计当气温为35℃时，该饮料的日销售量为

瓶.参考答案：24417.已知实数x，y满足，若z=x+y的最小值是﹣3，则z的最大值为

．参考答案：6【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数求得最小值，得到k值，再把最大值时最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（k，k），联立，解得B（﹣2k，k），由z=x+y，得y=﹣x+z，由图可知，当直线y=﹣x+z过B（﹣2k，k）时，直线在y轴上的截距最小为﹣k=﹣3，则k=3．当直线y=﹣x+z过A（k，k）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为2k=6．故答案为：6．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知二次函数的最小值为1，且==3。

（1）求的解析式；

（2）若在区间上不单调，求实数a的取值范围；

（3）在区间上，的图象恒在的图象上方，试确定实数m的取值范围。参考答案：19.14分）已知数列的前项和．（1）

计算，，，；猜想的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．参考答案：解：（1）依题设可得，，，；（2）猜想：．证明：①当时，猜想显然成立．

②假设时，猜想成立，即．

那么，当时，，即．又，ks5u所以，从而．即时，猜想也成立．

故由①和②，可知猜想成立．

略20.

已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，长轴长等于12，离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆左顶点作直线l，若动点M到椭圆右焦点的距离比它到直线l的距离小4，求点M的轨迹方程.参考答案：（1）设椭圆的半长轴长为a，半短轴长为b，半焦距为c.

由已知，2a＝12，所以a＝6.

（2分）又，即a＝3c，所以3c＝6，即c＝2.

（4分）于是b2＝a2－c2＝36－4＝32.

因为椭圆的焦点在x轴上，故椭圆的标准方程是.

（6分）（2）法一：因为a＝6，所以直线l的方程为x＝－6，又c＝2，所以右焦点为F2(2，0)过点M作直线l的垂线，垂足为H，由题设，|MF2|＝|MH|－4.

设点M(x，y)，则.

（8分）两边平方，得，即y2＝8x.

（10分）故点M的轨迹方程是y2＝8x.

（12分）

法二：因为a＝6，c＝2，所以a－c＝4，从而椭圆左焦点F1到直线l的距离为4.（8分）由题设，动点M到椭圆右焦点的距离与它到直线x＝－2的距离相等，所以点M的轨迹是以右焦点为F2(2，0)为焦点，直线x＝－2为准线的抛物线.

（10分）显然抛物线的顶点在坐标原点，且p＝|F1F2|＝4，故点M的轨迹方程是y2＝8x.（12分）略21.设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点(0,4)，离心率为.(1)求C的方程；

(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．参考答案：1)将(0,4)代入椭圆C的方程得＝1，∴b＝4.又e＝＝得＝，即1－＝，∴a＝5，∴C的方程为＋＝1.(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)，设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，得＋＝1，即x2－3x－8＝0.解得x1＝，x2＝，∴AB的中点坐标＝＝，＝＝(x1＋x2－6)＝－.即中点为.22.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，点D是AB的中点．（1）求证：AC⊥BC1；（2）求证：AC1∥平面CDB1．参考答案：【考点】直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．【专题】综合题；空间位置关系与距离．【分析】（1）利用勾股定理的逆定理可得AC⊥BC．利用线面垂直的性质定理可得CC1⊥AC，再利用线面垂直的判定定理即可证明结论；（2）利用直三棱柱的性质、正方形的性质、三角形的中位线定理即可得出ED∥AC1，再利用线面平行的判定定理即可证明结论【解答】证明：（1）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，所以C1C⊥平面ABC，所以C1C⊥AC．又因为AC=3，BC=4，AB=5，所以AC2