2023年安徽省六安市金寨县数学中考第一次模考试数学试题（含答案与解析）

2023年安徽省六安市金寨县中考一模试题

数学

（考试时间120分钟，总分150分）

注意事项：

1.答题前，考生先用黑色字迹的签字笔将自己的姓名、准考证号填写在试卷及答题卡的指定

位置，然后将条形码准确粘贴在答题卡的“贴条形码区”内。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体

工整，笔迹清晰。

3.按照题号顺序在答题卡相应区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4.在草稿纸、试卷上答题无效。

一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，满分40分.在每个小题给出的四个选项

中，只有项符合题目要求）

1.下列各数中，是负数的是（）

A.一B.0C.∣-2∣D.3

2.据报道，八百里皖江第6座跨江公铁大桥主桥即将开工建设，总投资约52.7亿元，将数据52.7亿用科

学记数法可表示为（）

A.0.527×IO'0B.5.27×109C.52.7XIO8D.5.27XIO8

3序.如图，该几何体的左视图是（）

ZiE面

AHBΓΛ

4.下列各式中，计算结果等于/的是（）

A.%8÷χB.χs-χC.χ3.χ2D.

5.骑自行车是一种健康自然的运动旅游方式,长期坚持骑自行车可增强心血管功能，提高人体新陈代谢和

免疫力.下图是骑行爱好者老刘2023年2月12日骑自行车行驶路程（km）与时间（h）的关系图象，观

察图象得到下列信息，其中错误的是（）

A.点P表示出发4h,老刘共骑行80km

B.老刘的骑行在0〜2h的速度比3~4h的速度慢

C.0~2h老刘的骑行速度为15km∕h

D.老刘实际骑行时间为4h

6.某班级计划举办手抄报展览，确定了“5G”“北斗”“高铁”“核电”四个主题，若小赵和小高每人

随机选择其中一个主题，则他们恰好选择同一个主题概率是（）

7.如图，A3是半圆。直径，C，。是半圆上两点，且满足NAJDC=I20°,AB=I2,则BC的长为

().

8.如图，在Rt4ABC中，NC=90。，AB的垂直平线MN交AC于点£>,交AB于点M连接

若Cr）=6,AD=IO,则tanA的值为（）

A.-B.ɪC.—D.在

3255

9.如图，在..ABC中，AB=AC,点。，E分别在AC,AB上，JlBD=BC,AD=DE=EB,则

/D5C的度数是()

B

E

CDA

A.22.5oB.30oC.45oD.67.5o

10.如图，在矩形ABCQ中，A5=2,BC=Ar,尸为BC中点，P是线段R7上一点，设

BP=m{0<m≤2）,连接AP并将它绕点P顺时针旋转90。得到线段PE,连接CE,EF,则在点尸从

点8向点F运动的过程中，下列说法错误的是（）

A.ZEFC=45oB.点。始终在直线EE上

C.的面积为，"D.CE的最小值为石

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）

11.不等式——≤1的解集是.

3

12.若关于X的一元二次方程2/—8x-机=0有两个不相等的实数根，则〃?的取值范围为.

13.如图，在面积为12的矩形ABC。中，边BC落在X轴上，反比例函数y=g（χ>0）的图象经过点/交

CD于点且DH=3CH，则k的值为.

14.二次函数y=0?+法+c（〃，b,C是常数，4≠0）的自变量X与函数值y的部对应值如下表:

X-2-10I2

y-ax1+bx+ctm-2-2n

且当尤=一！时，其对应的函数值y>0.

2

（1）该二次函数对称轴是直线.

（2）m与〃和最小整数值是.

三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

15.计算：√12-（2-π）°-tan60o.

16.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，ABC的顶点均在格点（网格线的交点）

上.

（1）将ABC向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，画出.ABC平移后的图形aA8∣C∣.

（2）以点A为旋转中心，将一ABC按逆时针方向旋转90。，得到请画出AB2C2.

四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

17.安徽某驼奶加工场现有鲜驼奶9吨，若制成酸驼奶销售，每吨可获利1200元；若制成驼奶片销售，每

吨可获利2000元.该厂的生产能力如下：如制成酸驼奶，每天可加工3吨；制驼奶片，每天可加工1吨，

受条件限制，两种加工方式不可同时进行.该厂决定部制成驼奶片，其余全部制成酸驼奶，刚好4天加工

完毕.问该厂获利多少元？

18.为了渲染新年喜庆氛围，某人民广场用鲜花摆出不同的造型，小明同学把每盆花用点在纸上表示出

来，如图所示.

观察思考】

第1个图形有4盆花，第2个图形有6盆花，第3个图形有8盆花，以第4个图形有10盆花，以此类推.

第一个图形第二个图形第三个图形第四个图形

【规律总结】

（1）第5个图形有_____盆花.

（2）第"个图形中有_____盆花（用含〃的代数式表示）.

（3）【问题解决】现有2023盆花，若按此规律摆出一个图形，要求剩余花盆数最少，则可摆出第几个图

形？

五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

19.如图，。是-ABC的外接圆，直径AB的长为6.过点C的切线交AB的延长线于点。.连接

（2）若NA=30°,求证：ACDC.

20.如图1所示的是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部组成，图2是它的简易平面图.小明想知

道灯管。距地面A尸的高度，他在地面F处测得灯管D的仰角为45°,在地面E处测得在灯管D仰角为

53°,并测得"=2.2m,已知点A,E，尸在同一条直线上，请根据以上数据帮小明算出灯管。距地

434

面AR的高度（结果精确到0.1m,参考数据：sin530≈-,cos53o≈∣,tan53o≈-）.

C

FEHA

图1图2

21.在“双减”政策背景下，越来越多的家长和孩子更加重视体育锻炼.某兴趣小组为了解本校学生每天参

加课外体育锻炼的情况，从全校学生中随机抽取了“名学生进行问卷调查.把每名学生平均每天参加课外

体育锻炼的时间成五个时间段进行统计，整理并绘制了如图两幅尚不完事的统计图.

20

16

12

8

4

0

20406080100时间/分钟

组别体育锻炼时间〃分种

A0≤∕<20

B20≤∕<40

C40≤r<60

D60≤r<80

E80≤rvl00

根据上述信息，解答下列问题：

（1）抽取的总人数〃?=,扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角的大小为°，并请补全频数分

布直方图.

（2）本次调查学生每天的课外体育锻炼时间的中位数落在哪一组（直接写出结果）.

（3）请估计该校3000名学生中，每天参加课外体育锻炼的时间不低于40分钟的人数.

22.如图，在边长2为的正方形ABcD中，P是BC边上一动点（不含8,C两点），将AB尸沿直线AP

翻折，点8落在点E处，在C。上有一点使得将！CMP沿直线AlP翻折后，点C落在直线PE上的点

E处，直线PE交CD于点N,连接M4,NA.

P

（1）求证：ACMPSABPA.

（2）求ACNP的周长.

（3）求线段AM长度的最小值.

23.已知抛物线物:y=-f+云+c经过点（1,0）,（0,-1）.

备用图

（1）求抛物线的解析式.

（2）将抛物线G向上平移4个单位长度得到抛物线抛物线与X轴交于A,B,两点（其中点A

在点B的左侧），与y轴交于点C,连接BC∙。为第一象限内抛物线C?上的一个动点.

①当ABCD面积最大时，求点。的坐标.

②抛物线。2的对称轴交X轴于点G,过点。作OEj.BC于点E,交X轴点于b.当点尸在线段AG上

时，求SMEF的取值范围•

参考答案

一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，满分40分.在每个小题给出的四个选项

中，只有项符合题目要求）

1.下列各数中，是负数的是（）

A.-ɪB.0C.∣-2∣D.3

【答案】A

【解析】

【分析】比0小的数叫做负数，判断四个选项与0的大小即可.

【详解】解：A、一,<0,是负数；

6

B、0=0,既不是正数，也不是负数；

C、卜2∣=2>0,是正数；

D、3>0,是正数;

故选：A.

【点睛】此题考查了负数的定义，解题的关键是正确理解定义.

2.据报道，八百里皖江第6座跨江公铁大桥主桥即将开工建设，总投资约52.7亿元，将数据52.7亿用科

学记数法可表示为（）

A.0.527XIO10B.5.27XIO9C.52.7×IO8D.5.27×IO8

【答案】B

【解析】

【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为αxl（Γ,其中1＜忖＜10,〃为整数,且〃比原来的

整数位数少1,据此判断即可.

【详解】解：52.7亿=5270000000≈5.27×IO9.

故选:B.

【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为αχlθ",其中

1≤忖＜10,〃为整数，且〃比原来的整数位数少1,解题的关键是要正确确定。和〃的值.

3.如图，该几何体的左视图是（）

【答案】C

【解析】

【分析】从几何体的左侧观察几何体，得到左视图.

【详解】解：从左侧观察几何体，为长方形，从正面观察得知，有三个台阶存在，但左侧观察不到，故用

虚线表示.

A、中间台阶部分看不见，不能用实线表示；

B、从左侧观察为长方形；

C、符合要求；

D、台阶方向不对，且不是虚线；

故选：C.

【点睛】此题考查了三视图的画法，解题的关键是正确观察几何体.

4.下列各式中，计算结果等于『的是（）

A.χ8÷χB.χs-χC.χi.χ2D.(V)4

【答案】A

【解析】

【分析】根据基的计算法则对各选项逐一计算，做出判断.

【详解】解：A、尤8÷χ=X8T=χ7,故正确；

B、X8-X,非同类项，无法合并计算，故错误；

C、/./=%3+2=%5,故错误；

D、(√)4=√×4=X12,故错误；

故选:A.

【点睛】此题考查了事的计算法则，解题的关键是熟练应用计算法则.

5.骑自行车是一种健康自然的运动旅游方式，长期坚持骑自行车可增强心血管功能，提高人体新陈代谢和

免疫力.下图是骑行爱好者老刘2023年2月12日骑自行车行驶路程(km)与时间(h)的关系图象，观

察图象得到下列信息，其中错误的是()

A.点P表示出发4h,老刘共骑行80km

B.老刘的骑行在0〜2h的速度比3~4h的速度慢

C.0~2h老刘的骑行速度为15km∕h

D.老刘实际骑行时间为4h

【答案】D

【解析】

【分析】仔细观察图象，结合路程、速度、时间的关系逐项判断即可.

【详解】解：由图可知，点P所对应的路程为80km,时间为4h,即表示出发4h,老刘共骑行80km,故

A正确，不符合题意；

0-2h老刘骑行的路程为30km,

30

「•0〜2h的速度为一=15km∕h,

2

3~4h骑行的路程为80—30=50km,

∙∙∙3~4h的速度为ɪ=50km∕h,

15<50,

•••老刘的骑行在0〜2h的速度比3~4h的速度慢，

故B、C正确，不符合题意；

2~3h内的路程没有变化，即老刘处于静止状态，

，老刘实际骑行时间为4一l=3h,

故D错误，符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查了函数图象的实际应用，读懂题意，从所给的函数图象中获取信息是解题的关键.

6.某班级计划举办手抄报展览，确定了“5G”“北斗”“高铁”“核电”四个主题，若小赵和小高每人

随机选择其中一个主题，则他们恰好选择同一个主题的概率是（）

1113

A.-B.-C.一D.―

86416

【答案】C

【解析】

【分析】画出树状图，由概率公式即可得出结果.

【详解】“5G”“北斗”“高铁”“核电”四个主题分别用A、B、C、。表示，画树状图如图所示：

开始

ABCD

ABCDABCDABCDABCD

共有16个等可能的结果，他们恰好选择同一个主题活动的结果有4个，

41

他们恰好选择同一个主题活动的概率为一=一.

164

故选：C.

【点睛】本题考查了用树状图法求概率.树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或

两步以上完成的事件.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

7.如图，AB是半圆。的直径，C,。是半圆上两点，且满足NAJDC=I20°,AB=I2，则BC的长为

A.πB.2πC.4πD.6π

【答案】B

【解析】

【分析】连接。C,根据圆的内接四边形对角互补的性质，可先求出/ABC的度数，从而得到AOBC是

等边三角形，可得N3OC=60°,OB=OC=6,再根据弧长公式进行计算即可.

详解】解：如图所示：

连接。C,

ZADC=I20。，

/.ZAfiC=60°,

又∙OB=OC,

OBC是等边三角形，

则NOBC=ZOCB=ZBOC=60°，

OB=OC=BC=-AB=6,

2

，，、，60π×6C

BC的长为-------=2π.

180

故选B.

【点睛】本题考查弧长公式的计算和圆内接四边形的性质，掌握“圆的内接四边形的对角互补”以及等边

三角形的性质是正确解答这道题的关键.

8.如图，在RtZVlBC中，NC=90。，AB的垂直平线MN交AC于点。，交AB于点、N,连接3。，

若CD=6,AD=IO,则tanA的值为（）

A.-B.ɪC.—D.立

3255

【答案】B

【解析】

【分析】由MN是AB的垂直平分线，可得BD=AD=IO,利用勾股定理求得BC=8,再根据

AC=Cf>+AO=16即可求出结果.

【详解】解：MN是Aβ的垂直平分线，AD=IO,

.∙.BD=AD=10,

ZC=90o,CD=6,

:.BC=√IO2-62=8-

AC=Cr)+AD=6+10=16,

BC8ɪ

，在RtZVlSC中，tanA=——=—=一，

AC162

故选：B.

【点睛】本题考查了垂直平分线的性质、勾股定理、锐角三角函数，熟练掌握垂直平分线的性质求出8。

是解题的关键.

9.如图，在.ABC中，AB=4C,点O,E分别在AC,AB-L,且BD=BC,AD=DE=EB,则

Nz)3C的度数是()

【答案】C

【解析】

【分析】根据同一个三角形中等边对等角的性质，设ZBDE=ZABD=x,结合三角形外角的性质，则可用

X的代数式表示NA、ZABC.NC,再在中，运用三角形的内角和定理，即可求解.

【详解】解：：AD=OE=EB,

：.设ZBDE=ZABD=X,

∙,∙XAED-∠≤A=2x,

VBD=BC,AS=AC,

.∙.ZBDC=NC=ZABC=3x,ZDBC=2x,

在一ABC中，3x+3x+2x=180o,

解得X=22.5°.

.∙.ZDBC=2x=45°.

故选：C.

【点睛】本题考查等腰三角形的性质，注意掌握，①求角的度数常常要用到“三角形的内角和是Zgo

度”这一隐含的条件；②三角形的外角通常情况下是转化为内角来解决.

10.如图，在矩形ABCQ中，∕W=2,BC=4,b为BC中点，P是线段B尸上一点，设

BP=m(G<m≤2),连接ΛP并将它绕点P顺时针旋转90。得到线段PE,连接CE,EF,则在点P从

点B向点尸运动的过程中，下列说法错误的是()

A.ZEFC=45oB.点。始终在直线所上

C.△bCE的面积为巾D.CE的最小值为石

【答案】D

【解析】

【分析】过点E作EHJ.BC于点H,证明ABAPqAHPE，得到EH=FH；连接。E，得到

ZDFC=45°；当CEJ_E下时，CE有最小值，求解即可.

【详解】解：如图，过点E作BC于点

产为BC中点，

CF=BF=2.

将ΛP绕P顺时针旋转90°得到线段PE，

-1.AP=PE,ZAPE=90。=ZABP=NPHE,

•1.ZBPA+ZEPH=90°，ZBAP+ZBPA=90°,

,ABAP=AEPH.

在ABAP和一HPE中，

NABP=NPHE

-NBAP=ZHPE,

AP=PE

：.ΛBAP^ΛHPE(AAS),

PB=EH=m,

AB=PH=2,

：.FH=PH-PF=2-？-喻=m,

•••EH=FH，

.∙∙NEFC=45。,

故选项A正确；

如图，连接。E.

CD=CF=2,NDFC=45。,

，点。在直线石尸上，

故选项B正确；

SAEFC=（XCFXEH=m,

∙∙∙AFCE的面积为m,

故选项C正确；

点E在£>户上运动，

，当CELO/时，CE有最小值，

CD=CF,Zr）CF=90。，CEl.DF,

DF=s[2CD=2√2>CE=DE=EF=41-

∙∙∙CE的最小值为

故选项D错误.

故选：D.

【点睛】此题考查了矩形的性质、旋转的性质、全等三角形的证明、求线段最值，解题的关键是添加辅助

线证明三角形全等.

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）

II.不等式三'≤1的解集是.

3

【答案】x≤4

【解析】

【分析】先去分母，再移项合并同类项，即可求解.

【详解】解：—≤1,

3

去分母得：x-l≤3,

移项合并同类项得：Λ<4.

故答案为：x≤4

【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键.

12.若关于X的一元二次方程2必-8%-/篦=O有两个不相等的实数根，则机的取值范围为.

【答案】m>-8

【解析】

【分析】根据判别式的意义得到△=(—8)2-4x2x(-〃?)>(),然后解不等式即可.

【详解】解：根据题意得△=(—8『—4x2x(—〃?)>0,

解得相>-8.

故答案为：m>—8.

【点睛】本题考查了一元二次方程加+笈+c=θ(αoθ)的根的判别式A=02-4ac:当A>0,方程有

两个不相等的实数根；当△=(),方程有两个相等的实数根；当A<0,方程没有实数根.

13.如图，在面积为12的矩形ABC。中，边BC落在X轴上，反比例函数y=g(χ>0)的图象经过点4交

CD于息H,且OH=3CH，则A的值为.

【答案】4

【解析】

【分析】设AB=α,则点A的坐标是(：，α］根据矩形的性质结合。"=3CH,再利用反比例函数图象

(4kci'ʌ(4kk、

上点的坐标特征得出H——，：，根据矩形的面积即可得出------∙α=12,即可求出Z=4.

【详解】解：设A8=",则点4的坐标是［［，α］,

Y四边形ABC。是矩形，

.*.AB=CD=a>

,.∙DH=3CH,

4ka

.∙.H

a4

•••矩形ABCO的面积为12,

左=4,

故答案为:4.

【点睛】本题考查了矩形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、解题的关键是：根利用反比例函数图

象上点的坐标特征表示出4、，的坐标.

14.二次函数y=OX?+必+c（a,b,C是常数，4≠0）的自变量X与函数值y的部对应值如下表：

X-2-1Oɪ2

y-ax2+bx+ctm-2-2n

且当x=-J•时，其对应的函数值y>0.

2

（1）该二次函数对称轴是直线.

（2）〃，与〃的和最小整数值是.

【答案】①X=L②∙7

2

【解析】

【分析】（1）根据表中的数据即可求出结果;

（2）把点（一1,加），（2,〃）代入抛物线解析式求得〃?+〃的值，再根据”的取值范围即可得出结果.

【详解】解：（1）Y二次函数y=0f+⅛x+c的图象过点（0,一2）,（1,-2）,

O1

+21-

二对称轴为直线X:2-

故答案为：X——.

2

(2)：对称轴为直线x=—,

2

b1

••___—__，

2a2

.*.b=-a.

・・・当x=-J_时，其对应的函数值y>0,

2

—Q—/?—2>O,即一ciH—ci—2>0,

4242

对称轴为直线x=5，二次函数y=0χ2+Zzx+c的图象过点（一1,〃。，（2,n）,（0,-2）,

c=-2,m=n,

当户一1时，m=a-b+c=a+a-2=2a-2,

.*.m+∕?=4<z—4.

.∙.∕n与〃的和最小整数值是7,

故答案为：7.

【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数图象上点的特征，能够从表中获取信息确定

出对称轴是解题的关键.

三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

15.计算：V12-（2-π）°-tan60°.

【答案】√3-l

【解析】

【分析】先化简二次根式、计算零指数塞、特殊角的三角函数，再进行加减运算即可.

详解】解：原式=2百一1一百

=ʌ/ɜ—1-

【点睛】本题考查二次根式的混合运算，特殊角三角函数值，零指数幕，二次根式的性质，解题关键在于熟

练掌握运算法则.

16.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，..ABC的顶点均在格点（网格线的交点）

上.

（I）将一A5C向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，画出-45。平移后的图形4AB∣G∙

（2）以点A为旋转中心，将.48C按逆时针方向旋转90。，得到ABzG请画出AB2C2.

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

【分析】（1）根据平移规则，画出即可；

（2）根据旋转的性质，画出一AB2C2即可.

【小问1详解】

解：如图，4AgG即为所求.

【小问2详解】

（2）如图，AB^C?即为所求.

【点睛】本题考查平移作图，旋转作图.熟练掌握平移和旋转的性质，是解题的关键.

四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

17.安徽某驼奶加工场现有鲜驼奶9吨，若制成酸驼奶销售，每吨可获利1200元；若制成驼奶片销售，每

吨可获利2000元.该厂的生产能力如下：如制成酸驼奶，每天可加工3吨；制驼奶片，每天可加工1吨,

受条件限制，两种加工方式不可同时进行.该厂决定部制成驼奶片，其余全部制成酸驼奶，刚好4天加工

完毕.问该厂获利多少元?

【答案】该厂获利12000元

【解析】

【分析】设加工驼奶片X天，加工酸驼奶），天，根据加工的总天数和需要加工的总驼奶质量，列出方程组,

解方程组即可.

【详解】解：设加工驼奶片X天，加工酸驼奶y天，根据题意得:

x+y=4

9

x+3y=9

X=L5

解得：,

y=2,5f

获得利润为1.5×1×2(XX)+2.5X3X12Oo=12000(元),

答：部分制成驼奶片，其余全部制成酸驼奶，该厂获利12000元.

【点睛】本题主要考查了二元一次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程组，准确求

出方程组的解.

18.为了渲染新年喜庆氛围，某人民广场用鲜花摆出不同的造型，小明同学把每盆花用点在纸上表示出

来，如图所示.

观察思考】

第1个图形有4盆花，第2个图形有6盆花，第3个图形有8盆花，以第4个图形有10盆花，以此类推.

第一个图形第二个图形第三个图形第四个图形

【规律总结】

（1）第5个图形有______盆花.

（2）第〃个图形中有______盆花（用含"的代数式表示）.

（3）【问题解决】现有2023盆花，若按此规律摆出一个图形，要求剩余花盆数最少，则可摆出第几个图

形？

【答案】⑴12（2）（2n+2）

（3）花的盆数剩余最少为1盆，可摆出第IOlO个图形

【解析】

【分析】（1）根据前4个图形花的盆数可得答案；

（2）由（1）总结出规律，第"个图形有（2"+2）盆花；

（3）由规律可知，花的盆数2〃+2是偶数，得出方程2〃+2=2022,解方程即可.

【小问1详解】

解：第1个图形有4盆花，4=2×l+2;

第2个图形有6盆花，6=2×2+2;

第3个图形一共有8盆花，8=2×3+2;

第4个图形一共有10盆花，10=2x4+2,

第5个图形有，2x5+2=12盆花，

故答案为：12；

【小问2详解】

解：由（1）总结出规律，

第〃个图形有（2〃+2）盆花，

故答案为：（2〃+2）：

【小问3详解】

解：由规律可知，花的盆数2〃+2是偶数，

Λ2023-1=2022.

由题意可知2"+2=2022,

解得〃=IOlO,

故花盆数剩余最少为1盆，可摆出第IolO个图形.

【点睛】本题考查了图形的变化规律，通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因

素，然后推广到一般情况.

五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

19.如图，.。是一ABC的外接圆，直径AB的长为6.过点C的切线交AB的延长线于点。.连接

(2)若NA=30°,求证：AC=DC.

【答案】(1)9(2)见解析

【解析】

【分析】(I)由切线性质得NoCD=90°,由"=30°,可得0D=20C,再结合直径AB的长为6即可

求得AO的长；

(2)由圆周角定理得NACe=9()。，可得NΛBC=60°.易得△(?BC为等边三角形，可得CO=C8,

ZCBA=ZCOD=ωo.可证4ABC^4OOC(ASA),即可得4C=OC.

【小问1详解】

解：..∙zκ?是圆。的切线，

.∙.NOCz)=90。.

∙.∙Zo=30。，

*,.OD=2OC=6,

AD=OA+OD=3+6—9.

【小问2详解】

：AB是圆。是直径，

NAC3=90°,

.*.ZABC=60。.

∙.∙OB=OC,

：.aOBC为等边三角形,

ΛCO=CB,ZCBA=ZCOD=ω°.

ZABC=ADOC

在「ABC和△£)OC中，＜CB=Co,

NACB=ZDCO=90°

.∙.∕∖ABC^AD(9C(ASA),

AC=DC-

【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，含30

度的直角三角形的性质，熟练掌握相关定理是解决问题的关键.

20.如图1所示的是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部组成，图2是它的简易平面图.小明想知

道灯管。距地面他的高度，他在地面F处测得灯管D的仰角为45°,在地面E处测得在灯管D仰角为

53°,并测得上五=2.2m,已知点A,E，尸在同一条直线上，请根据以上数据帮小明算出灯管。距地

434

面A尸的高度(结果精确到0.1m,参考数据：sin530≈-,cos53o≈j,tan53o≈-).

图1图2

【答案】灯管。距地面A/的高度约为8.8m

【解析】

【分析】过点。作OH，AF于点H,根据NDEB=45°可得,设DH=FH=Xm,则

EH=(X-2.2)m,根据。"=tan53°∙，列出方程求解即可.

【详解】解：如图，过点。作AF于点H.

由题意，得NDEH=53。,NDFH=45。,EF=2.2m.

在RtZ∖DEW中，ZDFH=45。,

；•DH=FH.

C

DT

o

z√45y<53h

FEHA

设DH=FH=Xm,贝∣JE"=(x-2.2)m.

在Rt△£>£//中，NDEH=53。,

4

ΛDH=tan53oEH,即x=g(x-2.2),

解得X=8.8.

答：灯管。距地面A尸的高度约为8.8m.

【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形求解.

21.在“双减”政策背景下，越来越多的家长和孩子更加重视体育锻炼.某兴趣小组为了解本校学生每天参

加课外体育锻炼的情况，从全校学生中随机抽取了〃，名学生进行问卷调查.把每名学生平均每天参加课外

体育锻炼的时间成五个时间段进行统计，整理并绘制了如图两幅尚不完事的统计图.

20406080100时间/分钟

组别体育锻炼时间〃分种

A0≤t<20

B20≤∕<40

C40≤∕v60

D60≤fv80

E80≤r<100

根据上述信息，解答下列问题：

（1）抽取的总人数机=,扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角的大小为°，并请补全频数分

布直方图.

（2）本次调查学生每天的课外体育锻炼时间的中位数落在哪一组（直接写出结果）.

（3）请估计该校3000名学生中，每天参加课外体育锻炼的时间不低于40分钟的人数.

【答案】（1）50；72,图见解析

（2）4（）≤f<60这一组（或者C组）

（3）每天参加课外体育锻炼的时间不低于40钟的有2160人

【解析】

【分析】（1）根据总人数=A组人数÷所占百分比，再用D组所占的百分比×360o得出答案，然后求出B、D

两组的人数，补全统计图即可；

（2）根据中位数的定义解答即可；

（3）用总人数X不低于40分钟所占的百分比即可得出答案.

【小问1详解】

总人数勿=3÷6%=50（人），D组对应扇形圆心角的度数为20%x360°=72°.

故答案为：50；72；

D组人数为50x20%=10,B组人数为50—3—18—8—10=11（人）,

补全频数分布直方图如下：

【小问2详解】

本次调查学生每天的课外体育锻炼时间的中位数是第25,26个的平均数，所以落在404f<60这一组

（或者C组）.

【小问3详解】

18+10+8

3000X---------=2160（人）.

50

答：每天参加课外体育锻炼的时间不低于40钟的有2160人.

【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的应用，样本估计总体的思想，中位数等，理解各种统

计图的性质是解题的关键.

22.如图，在边长2为的正方形ABeD中，P是BC边上一动点（不含B,C两点），将./WP沿直线AP

翻折，点5落在点E处，在Cr）上有一点M,使得将！QWP沿直线用尸翻折后，点C落在直线PE上的点

产处，直线PE交CD于点N,连接M4,NA.

（1）求证：ACMPSABPA.

（2）求，CNP的周长.

（3）求线段AM长度的最小值.

【答案】（1）见解析（2）4

【解析】

【分析】(I)先证明NCPM+NA尸3=90°,推出NCPM=NPAB,即可证明结论；

(2)证明RtAADNZRtAAN(HL),推出ON=EM据此即可求解；

(3)设PB=X,则CP=2—X.由Z∖CMPszχBQ4,推出CM=gx(2-x).得到当Z)M最小时,

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AM最小.推出。C-CM=2-,x(2-X)=](x-l)-+/,利用二次函数的性质即可求解.

【小问1详解】

证明：由折叠知NAPB=NAP£，ZMPC=ZMPN.

Y点C,P,B共线，

2ZCPM+2ZAPB=180°,

/.ΛCPM+ZAPB90°.

∖'ZAPB+ZPAB=90°,

：.ZCPM=ZPAB.

•；四边形ABC。是正方形，

.,.NC=ZB=90。，

ACMPSABPA；

【小问2详解】

解：；将,ABP沿直线AP翻折，点5落在点E处，

.∙.AE=AB,ZAEP=ZAEN=ZABP=90°，PE=PB.

•；四边形ABC。是正方形，

ΛAD=AB=AE,ZADCZAEN.

VAN是公共边，

.∙.RtAADNRtAAEN(HL),

.,.DN=EN,

.∙.CNP的局长=CN+EN+EP+CP=CD+CB=4;

【小问3详解】

解：设P6=x,则CP=2—X.

∙.∙ACMPSABPA,

.PBAB

"ZM~7C,

：.CM=-x

2

"∙■AM=y∣AD2+DM2=√4+Z）M2，

.∙.当DM最小时，AΛ∕最小.

1I,3

∙.∙DM=DC-CM^2--x（2-x）^-（x-iy+-,

3

.∙.当X=I时，DM的最小值为一，

2

AM的最小值=/+；|）=∣∙

【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性

质、勾股定理、二次函数最值等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会添加常用辅助

线，属于中考压轴题.

23.已知抛物线C：y=-f+区+0经过点（1,（））,（0,-1）.

备用图

（1）求抛物线的解析式.

（2）将抛物线G向上平移4个单位长度得到抛物线C2,抛物线与X轴交于A,B,两点（其中点A

在点8的左侧），与y轴交于点C,连接6C∙。为第一象限内抛物线。2上的一个动点.

①当43CD面积最大时，求点。的坐标.

②抛物线。2的对称轴交X轴于点G,过点。作OE_LBC于点E,交X轴点于E.当点尸在线段AG上

时，求SABEF的取值范围•

【答案】（1）y=~x"+2x—1

（2）①点Z）的坐标为（1，?］；②l≤Svs≤4

【解析】

【分析】（1）将（1,0）,（0,-1）,代入y=-χ2+fer+c得，J，求解儿C的值，然后代入

即可；

（2）①由题意可知平移后抛物线C2的解析式为y=-