2021新高考数学新课程一轮复习课时作业第二章第4讲二次函数与幂函数

第4讲二次函数与幂函数组基础关1．已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,20))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,20)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,20)，＋∞)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,20)，0))答案C解析∵函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝1－4a×5<0，))解得a>eq\f(1,20).2．幂函数y＝xm2－4m(m∈Z)的图象如图所示，则m的值可以为()A．0B．1C．2D．3答案C解析由图象知，m2－4m<0且m2－4m为偶数，结合四个选项可知，m＝2.3．已知α∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，2，\f(1,2)，3，\f(1,3)))，若f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则实数α的值是()A．－1,3 B.eq\f(1,3)，3C．－1，eq\f(1,3)，3 D.eq\f(1,3)，eq\f(1,2)，3答案B解析因为f(x)＝xα为奇函数，所以α∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，3，\f(1,3))).又f(x)＝xα在(0，＋∞)上单调递增，所以α∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,3))).故选B.4．设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是()答案D解析由A中图象知，a<0，c<0，－eq\f(b,2a)<0，所以b<0，与abc>0矛盾；由B中图象知，a<0，c>0，－eq\f(b,2a)>0，所以b>0，与abc>0矛盾；由C中图象知，a>0，c<0，－eq\f(b,2a)<0，所以b>0，与abc>0矛盾；由D中图象知，a>0，c<0，－eq\f(b,2a)>0，所以b<0，abc>0成立．5．(2019·吉林省实验中学模拟)已知点(2,8)在幂函数f(x)＝xn的图象上，设a＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))，b＝f(lnπ)，c＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))，则a，b，c的大小关系为()A．a＜c＜bB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．b＜a＜c答案A解析由点(2,8)在幂函数f(x)＝xn的图象上，可得2n＝8，解得n＝3，所以f(x)＝x3.所以f(x)在R上是增函数．因为0＜eq\f(\r(3),3)＜eq\f(\r(2),2)＜1＜lnπ，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))＜f(lnπ)，即a＜c＜b.6．已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(1)＝f(3)＞f(4)，则()A．a＞0,4a＋b＝0B．a＜0,4a＋b＝0C．a＞0,2a＋b＝0D．a＜0,2a＋b＝0答案B解析因为f(1)＝f(3)，则直线x＝2为对称轴，故－eq\f(b,2a)＝2，则4a＋b＝0，又f(3)＞f(4)，所以f(x)在(2，＋∞)上为减函数，所以函数f(x)的图象开口向下，所以a＜0.7．(2020·百色市摸底)已知函数f(x)＝x2＋x＋c，若f(0)>0，f(p)<0，则必有()A．f(p＋1)＞0B．f(p＋1)＜0C．f(p＋1)＝0D．f(p＋1)的符号不能确定答案A解析该函数图象是开口向上的抛物线，对称轴为直线x＝－eq\f(1,2).f(0)＝c＞0，即抛物线在y轴上的截距大于0.因为图象关于直线x＝－eq\f(1,2)对称，所以f(－1)＝f(0)＞0.设f(x)＝0的两根为x1，x2，令x1＜x2，则－1＜x1＜x2＜0，根据图象知，x1＜p＜x2，故p＋1＞0，f(p＋1)＞0.8．(2019·潍坊质检)已知函数f(x)为幂函数，且f(4)＝eq\f(1,2)，则当f(a)＝4f(a＋3)时，实数a等于________．答案eq\f(1,5)解析设f(x)＝xα，则4α＝eq\f(1,2)，所以α＝－eq\f(1,2).因此f(x)＝xeq\s\up15(－eq\f(1,2))，从而aeq\s\up15(－eq\f(1,2))＝4(a＋3)eq\s\up15(－eq\f(1,2))，解得a＝eq\f(1,5).9．已知二次函数f(x)是偶函数，且f(4)＝4f(2)＝16，则函数f(x)的解析式为________．答案f(x)＝x2解析由题意可设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，则f(4)＝16a＋c＝16,4f(2)＝4(4a＋c)＝16a＋4c＝16，所以a＝1，c＝0，故f(x)＝x2.10．(2019·南阳模拟)设二次函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在[－3,2]上有最大值4，则实数a的值为________．答案－3或eq\f(3,8)解析此函数图象的对称轴为直线x＝－1，当a>0时，图象开口向上，所以当x＝2时取得最大值，即f(2)＝4a＋4a＋1＝4，解得a＝eq\f(3,8)；当a<0时，图象开口向下，所以当x＝－1时取得最大值，即f(－1)＝a－2a＋1＝4，解得a＝－3.故实数a的值为－3或eq\f(3,8).组能力关1．函数f(x)＝(m2－m－1)x4m9－m5－1是幂函数，对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0，若a，b∈R，且a＋b>0，则f(a)＋f(b)的值()A．恒大于0 B．恒小于0C．等于0 D．无法判断答案A解析∵对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足eq\f(fx1－fx2,x1－x2)＞0，∴幂函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－m－1＝1，,4m9－m5－1＞0，))解得m＝2，则f(x)＝x2015.∵函数f(x)＝x2015在R上是奇函数，且为增函数，由a＋b>0，得a>－b，∴f(a)>f(－b)＝－f(b)，∴f(a)＋f(b)>0.故选A.2．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数，若对任意实数x1，x2都有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))≥eq\f(fx1＋fx2,2)，则f(x)的图象可能是()答案C解析二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数，则b＝0，图象关于y轴对称，所以排除A，D；对任意实数x1，x2都有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))≥eq\f(fx1＋fx2,2)，所以函数f(x)为上凸函数，结合二次函数的性质可得实数a＜0，即排除B.故选C.3．已知函数f(x)＝x2＋2x＋1，如果使f(x)≤kx对任意实数x∈(1，m]都成立的m的最大值是5，则实数k＝________.答案eq\f(36,5)解析设g(x)＝x2＋(2－k)x＋1.设不等式g(x)≤0的解集为a≤x≤b.则Δ＝(2－k)2－4≥0，解得k≥4或k≤0，又因为函数f(x)＝x2＋2x＋1，且f(x)≤kx对任意实数x∈(1，m]恒成立；所以(1，m]⊆[a，b]，所以a≤1，b≥m，所以g(1)＝4－k<0，解得k>4，m的最大值为b，所以有b＝5.即x＝5是方程g(x)＝0的一个根，代入x＝5，解得k＝eq\f(36,5).4．已知函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)，若f(x)在区间[2,3]上有最大值5，最小值2.(1)求a，b的值；(2)若b<1，g(x)＝f(x)－mx在[2,4]上单调，求m的取值范围．解(1)f(x)＝a(x－1)2＋2＋b－a.当a>0时，f(x)在[2,3]上为增函数，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f3＝5，,f2＝2))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a＋2＋b＝5，,2＋b＝2))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝0.))当a<0时，f(x)在[2,3]上为减函数，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f3＝2，,f2＝5))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a＋2＋b＝2，,2＋b＝5))⇒eq\b\lc