新教材数学人教A版学案5-5-1第3课时两角和与差的正弦余弦与正切公式（二）

第3课时两角和与差的正弦、余弦与正切公式(二)必备知识·探新知基础知识知识点两角和与差的正切公式名称简记符号公式使用条件两角和的正切T(α＋β)tan(α＋β)＝！！！tanα＋tanβ###！！！1－tanαtanβ###α，β，α＋β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)且tanα·tanβ≠1两角差的正切T(α－β)tan(α－β)＝！！！tanα－tanβ###！！！1＋tanαtanβ###α，β，α－β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)且tanα·tanβ≠－1思考：(1)由同角三角函数的商数关系如tan(α＋β)＝eq\f(sinα＋β,cosα＋β)，由此能否推导出两角和的正切公式？(2)两角和与差的正切公式中，α，β，α±β的取值是任意的吗？为什么？提示：(1)能．tan(α＋β)＝eq\f(sinα＋β,cosα＋β)＝eq\f(sinαcosβ＋cosαsinβ,cosαcosβ－sinαsinβ)，分子分母同除以cosαcosβ可得tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ).(2)不是．α，β，α±β的取值都不能等于eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)．这是由正切函数的定义域决定的．基础自测1．下列说法中正确的个数是(＋＋＋＋B－－－－)①tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1＋tanαtanβ).②存在角α，β，使得tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1－tanαtanβ).③tan(eq\f(π,2)＋eq\f(π,3))能根据公式tan(α＋β)直接展开．A．0 B．1C．2 D．3[解析]①③错误，②正确，故选B.2．若tanα＝2，tanβ＝eq\f(1,2)，则tan(α－β)＝(＋＋＋＋B－－－－)A．－eq\f(3,4) B．eq\f(3,4)C．3 D．eq\f(1,3)[解析]tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)＝eq\f(2－\f(1,2),1＋2×\f(1,2))＝eq\f(3,4).3．tan10°tan20°＋eq\r(3)(tan10°＋tan20°)的值等于(＋＋＋＋B－－－－)A．eq\f(1,3) B．1C．eq\r(3) D．eq\r(6)[解析]∵eq\f(tan10°＋tan20°,1－tan10°tan20°)＝tan30°＝eq\f(\r(3),3)，∴tan10°＋tan20°＝eq\f(\r(3),3)(1－tan10°tan20°)．∴原式＝tan10°tan20°＋1－tan10°tan20°＝1.4．若α，β∈(0，eq\f(π,2))且tanα＝eq\f(1,2)，tanβ＝eq\f(1,3)，则tan(α＋β)＝！！！1###.[解析]tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\f(\f(1,2)＋\f(1,3),1－\f(1,6))＝1.关键能力·攻重难题型探究题型一给角求值例1(1)(2019·全国卷Ⅰ)tan255°＝(＋＋＋＋D－－－－)A．－2－eq\r(3) B．－2＋eq\r(3)C．2－eq\r(3) D．2＋eq\r(3)(2)计算：eq\f(1＋tan15°,\r(3)－tan60°tan15°)＝！！！1###.(3)tan10°＋tan50°＋eq\r(3)tan10°tan50°＝！！！eq\r(3)###.[分析]尝试使用两角和与差的正切公式及其变形式对原式进行变形求值．[解析](1)tan255°＝tan(180°＋75°)＝tan75°＝tan(45°＋30°)＝eq\f(1＋\f(\r(3),3),1－1×\f(\r(3),3))＝eq\f(3＋\r(3),3－\r(3))＝eq\f(12＋6\r(3),6)＝2＋eq\r(3).(2)原式＝eq\f(tan45°＋tan15°,\r(3)1－tan45°tan15°)＝eq\f(1,\r(3))tan(45°＋15°)＝eq\f(1,\r(3))tan60°＝eq\f(1,\r(3))×eq\r(3)＝1.(3)原式＝tan(10°＋50°)(1－tan10°tan50°)＋eq\r(3)tan10°tan50°＝eq\r(3)(1－tan10°tan50°)＋eq\r(3)tan10°tan50°＝eq\r(3).[归纳提升]公式T(α＋β)，T(α－β)应用的解题策略(1)公式T(α＋β)，T(α－β)有tanα·tanβ，tanα＋tanβ(或tanα－tanβ)，tan(α＋β)(或tan(α－β))，三者知二可求出第三个．(2)化简过程中注意“1”与“taneq\f(π,4)”，“eq\r(3)”与“taneq\f(π,3)”等特殊数与特殊角的函数值之间的转化．【对点练习】❶求值：(1)eq\f(1＋tan105°,1－tan105°)；(2)(3＋tan30°tan40°＋tan40°tan50°＋tan50°tan60°)·tan10°.[解析](1)原式＝eq\f(tan45°＋tan105°,1－tan45°tan105°)＝tan(45°＋105°)＝tan150°＝－eq\f(\r(3),3).(2)原式＝(1＋tan30°tan40°＋1＋tan40°tan50°＋1＋tan50°tan60°)tan10°，∵tan10°＝tan(40°－30°)＝eq\f(tan40°－tan30°,1＋tan40°tan30°)∴1＋tan30°tan40°＝eq\f(tan40°－tan30°,tan10°).同理，1＋tan40°tan50°＝eq\f(tan50°－tan40°,tan10°)，1＋tan50°tan60°＝eq\f(tan60°－tan50°,tan10°).∴原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(tan40°－tan30°,tan10°)＋\f(tan50°－tan40°,tan10°)＋\f(tan60°－tan50°,tan10°)))·tan10°＝tan40°－tan30°＋tan50°－tan40°＋tan60°－tan50°＝－tan30°＋tan60°＝－eq\f(\r(3),3)＋eq\r(3)＝eq\f(2\r(3),3).题型二给值求值例2(1)已知cosα＝－eq\f(4,5)，且α∈(eq\f(π,2)，π)，则tan(eq\f(π,4)－α)＝(＋＋＋＋D－－－－)A．－eq\f(1,7) B．－7C．eq\f(1,7) D．7(2)若tanα＝2，tanβ＝eq\f(1,3)，则tan(α＋β)等于(＋＋＋＋C－－－－)A．1 B．－1C．7 D．－7[解析](1)由cosα＝－eq\f(4,5)，且α∈(eq\f(π,2)，π)，得sinα＝eq\f(3,5)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(3,4)，所以tan(eq\f(π,4)－α)＝eq\f(tan\f(π,4)－tanα,1＋tan\f(π,4)tanα)＝eq\f(1－－\f(3,4),1－\f(3,4))＝7，故选D.(2)tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanα·tanβ)＝eq\f(2＋\f(1,3),1－2×\f(1,3))＝eq\f(\f(7,3),\f(1,3))＝7，故选C.[归纳提升]在阅读条件时要注意观察，善于发现并总结条件与公式结构之间的联系，分析已知角与待求角的关系．【对点练习】❷(1)tan(α－β)＝eq\f(1,2)，tanβ＝eq\f(1,3)，则tanα＝(＋＋＋＋A－－－－)A．1 B．eq\f(1,7)C．eq\f(1,5) D．eq\f(5,7)(2)已知tan(α＋β)＝eq\f(2,5)，tan(β－eq\f(π,4))＝eq\f(1,4)，那么tan(α＋eq\f(π,4))等于(＋＋＋＋C－－－－)A．eq\f(13,18) B．eq\f(13,22)C．eq\f(3,22) D．eq\f(3,18)[解析](1)tanα＝tan[(α－β)＋β]＝eq\f(tanα－β＋tanβ,1－tanα－βtanβ)＝eq\f(\f(1,2)＋\f(1,3),1－\f(1,2)×\f(1,3))＝1.(2)tan(α＋eq\f(π,4))＝tan[(α＋β)－(β－eq\f(π,4))]＝eq\f(tanα＋β－tanβ－\f(π,4),1＋tanα＋βtanβ－\f(π,4))＝eq\f(\f(2,5)－\f(1,4),1＋\f(2,5)×\f(1,4))＝eq\f(3,22).题型三给值求角例3如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆交于A、B两点．已知A、B的横坐标分别为eq\f(\r(2),10)、eq\f(2\r(5),5).(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．[分析]由题目可获取以下主要信息：①由任意角三角函数的定义可求cosα、cosβ；②α＋2β＝(α＋β)＋β.解答本题可先由任意角三角函数定义求cosα、cosβ，再求sinα、sinβ，从而求出tanα、tanβ，然后利用公式T(α＋β)，求tan(α＋β)，最后利用α＋2β＝(α＋β)＋β，求tan(α＋2β)得到α＋2β的值．[解析](1)由三角函数的定义可知cosα＝eq\f(\r(2),10)，cosβ＝eq\f(2\r(5),5)；所以sinα＝eq\f(7\r(2),10)，sinβ＝eq\f(\r(5),5)，所以tanα＝7，tanβ＝eq\f(1,2)，于是tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝－3.(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝eq\f(tanα＋β＋tanβ,1－tanα＋βtanβ)＝eq\f(\f(1,2)＋－3,1－\f(1,2)×－3)＝－1.又0<α<eq\f(π,2)，所以0<α＋2β<eq\f(3,2)π，所以α＋2β＝eq\f(3,4)π.[归纳提升]给值求角问题的步骤及选取函数的原则(1)给值求角问题的步骤．①求所求角的某个三角函数值．②确定所求角的范围(范围过大或过小，会使求出的角不合题意或漏解)，根据范围找出角．(2)选取函数的原则．①已知正切函数值，选正切函数．②已知正余弦函数值，选正弦或余弦函数，若角的范围是(0，eq\f(π,2))，选正弦或余弦函数均可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围是(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))，选正弦较好．【对点练习】❸已知α∈(0，eq\f(π,2))，β∈(eq\f(π,2)，π)，cosβ＝－eq\f(1,3)，sin(α＋β)＝eq\f(4－\r(2),6)，求角α的值．[解析]∵cosβ＝－eq\f(1,3)，且β∈(eq\f(π,2)，π)，∴sinβ＝eq\f(2\r(2),3).∵α∈(0，eq\f(π,2))，β∈(eq\f(π,2)，π)，∴α＋β∈(eq\f(π,2)，eq\f(3π,2))，又sin(α＋β)＝eq\f(4－\r(2),6)>0，∴α＋β∈(eq\f(π,2)，π)，∴cos(α＋β)＝－eq\r(1－sin2α＋β)＝－eq\r(\f(18＋8\r(2),36))＝－eq\f(4＋\r(2),6)，∴sinα＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)·cosβ－cos(α＋β)·sinβ＝eq\f(4－\r(2),6)×(－eq\f(1,3))－(－eq\f(4＋\r(2),6))×eq\f(2\r(2),3)＝eq\f(\r(2),2)，又α∈(0，eq\f(π,2))，∴α＝eq\f(π,4).课堂检测·固双基1．设角θ的终边过点(2,3)，则tan(θ－eq\f(π,4))＝(＋＋＋＋A－－－－)A．eq\f(1,5) B．－eq\f(1,5)C．5 D．－5[解析]由于角θ的终边过点(2,3)，所以tanθ＝eq\f(3,2)，tan(θ－eq\f(π,4))＝eq\f(tanθ－1,1＋tanθ)＝eq\f(\f(3,2)－1,1＋\f(3,2))＝eq\f(1,5).2.eq\f(\r(3)－tan15°,1＋\r(3)tan15°)的值为(＋＋＋＋B－－－－)A．0 B．1C．eq\f(1,2) D．2[解析]原式＝eq\f(tan60°－tan15°,1＋tan60°tan15°)＝tan45°＝1.3．若α、β∈