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文档简介
2023-2024学年陕西省宝鸡市金台区高一下册期中数学
模拟试题
一、单选题
1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时,下列结论中惜送的是()
A.相等的线段在直观图中仍然相等
B.相等的角在直观图中不一定相等
C.平行的线段在直观图中仍然平行
D.互相垂直的线段在直观图中不一定互相垂直
【正确答案】A
【分析】根据斜二测画法的作图规则结合反例,判断各选项.
【详解】如图:四边形QWC为正方形,
由斜二测画法可得其直观图如下:
对于A,因为OA=OC,而O7V≠O'C',
故相等的线段在直观图中仍然相等这种说法错误,A错误;
对于B,因为NOAB=NABC,而Na4'B'κNAEC
故相等的角在直观图中不一定相等这种说法正确,B正确;
对于C,由斜二测画法性质可得平行的线段在直观图中仍然平行,C正确;
对于D,因为Q4LA3,而O'4,A'B'不垂直,
所以互相垂直的线段在直观图中不一定互相垂直这种说法正确,D正确.
故选:A.
2.已知复数z=—,则在复平面内三所对应的点位于()
1+21
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
【正确答案】B
【分析】根据复数除法运算法则求复数Z的代数形式,再求其共辗复数即共辗复数的对应点的坐标,
由此判断该点的象限.
3-4i(3-4i)(l-2i)-5-IOi
【用解】由Z=诋=(i+2i)(i—2i)=F----=-1—Zl,
则[=—l+2i,对应点(T,2)位于第二象限.
故选:B.
3.如图所示,长方体ABCZ)-AB'CZ)'中,给出以下判断,其中正确的是()
P'c'
A'B
A.直线AC与A与相交
B.直线AZy与BC'是异面直线
c.直线BTy与r>c'有公共点
D.A'B∕∕D'C
【正确答案】D
【分析】利用异面直线的定义可以判断出A、C,利用平行四边形的性质可判断出B、D.
ITQ'
AB
对于A,ACABCD,ABABCD=B,且B不在AC上,
根据异面直线的定义得,直线AC与A'3是异面直线,故A选项错误;
对于B,∙,ABHCD',ABCD',
•••四边形A8C'。'为平行四边形,
.-.AiyiIBC,即直线与BC'平行直线,故B选项错误;
对于C,β,r>,⊂面AB,C'D',DC')面AB'C'iy=C',C'%BD,
根据异面直线的定义得,直线与。C'是异面直线,故C选项错误;
对于D,BC//Aiy,BC=A!D',
•••四边形88W为平行四边形,
.∙.AB∕∕D,C,故D选项正确;
故选:D.
4.以下结论中第送的是()
A.若α+>=0,则α∕∕%
B.若向量A8≠A(j,则点B与点C不重合
C.方向为东偏南70。的向量与北偏西20。的向量是共线向量
D.若α与6是平行向量,则Ial=IM
【正确答案】D
【分析】利用向量共线的基本定理可判定A、C、D选项,利用向量相等的性质可以判断B选项.
【详解】对于A选项,若α+6=0,则α=4,则故A说法正确;
对于B选项,若向量A8≠AC,则两向量的起点都是A,点8与点C不重合,故B说法正确;
对于C选项,方向为东偏南70。的向量与北偏西20。的向量可知,两个向量方向相反,是共线向量,
故C说法正确;
对于D选项,若“与人是平行向量,则α=∕½,两向量的模长不一定相等,故D说法错误;
故选:D.
5.在4ABC中,A。为BC边上的中线,E为A。的中点,则£8=
3113
A.-AB——ACB.-AB--AC
4444
3113
C.一ΛBH—ACD.—ΛBH—AC
4444
【正确答案】A
【分析】分析:首先将图画出来,接着应用三角形中线向量的特征,求得BE=;BA+;BD,之后应
31
用向量的加法运算法则——三角形法则,得到BC=8A+AC,之后将其合并,得到3E==BA+TAC,
44
31
下一步应用相反向量,求得=从而求得结果.
44
【详解】根据向量的运算法则,可得
BE=-BA+-BD=-BA+-BC=-BA+-(BA+AC}=-BA+-BA+-AC=-BA+-AC,
222424v724444
所以EB==3A1B故选A.
44
该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题,涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的
三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题,在解题的过程中,需要认真对待每一步运算.
6.已知非零向量加,满足H=2%,且(ɑ-b)j.3则α与5的夹角为
兀Cπ一2兀C5兀
A.-B.-C.—D.—
6336
【正确答案】B
【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题,渗透了转化与化归、数
学计算等数学素养.先由5-加工。得出向量的数量积与其模的关系,再利用向量夹角公式即可计
算出向量夹角.
..2,a∙b∣⅛∣21
【详解】因为(a—/?)_!_/?,所以(a—b)∙b=a∙b—b=。,所以a∙b=b~,所以CoSe=W忖一2屹『一5,
TT
所以“与b的夹角为?,故选B.
对向量夹角的计算,先计算出向量的数量积及各个向量的摸,在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值,
再求出夹角,注意向量夹角范围为[0,π∣∙
7.下列说法正确的是()
A.多面体至少有3个面
B.有2个面平行,其余各面都是梯形的几何体是棱台
C.各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
D.棱柱的侧棱相等,侧面是平行四边形
【正确答案】D
【分析】由多面体、棱台、棱柱等几何体的定义逐项判断即可.
【详解】对于A,多面体至少有4个面,故选项A错误;
对于B,有2个面平行,其余各面都是梯形,但各侧棱的延长线不能交于一点,则该儿何体不是棱台,
故选项B错误;
对于C,各侧面都是正方形的四棱柱,可以是底面为菱形的直棱柱,不一定是正方体,故选项C错误;
对于D,由棱柱定义知,棱柱的各侧棱平行且相等,故侧面是平行四边形,故选项D正确.
故选:D.
8.已知f(x)=sinxcosx,以下说法中正确的是()
A./(χ)的最小正周期为2兀;
B./(χ)在[-[J]上单调递增;
44
C.当x∈-K时,/(%)的取值范围为一半,f;
D.F(X)的图象可由g(x)=[sin(2x+/)的图象向左平移三个单位长度得到.
24ɔ
【正确答案】B
【分析】化简函数解析式,根据三角函数的图象与性质,以及函数图像变换法则即可判断各选项的对
错.
【详解】因为/(x)=SinXCoSX=;sin2x,
所以/(X)的最小正周期为T=T=兀,A不正确;
令Txjg"而y=;Sinf在J-?,[上递增,所以Ax)在[怖夕上单调递增,B正确;
因为f=2x∈,Sinfe-ɪ,l,所以/(x)e一手,;,C不正确;
由于g(x)=gsin(2x+:),将其向左平移5个单位长度得到y=;sin+?的图象,
即函数y=gcos2x的图象,D不正确.
故选:B.
二、多选题
9.已知向量。=(2,0),⅛=(-l-l),则下列结论不正确的是()
A.a∙b=2B∙allb
C.⅛l(α+⅛)D.W=W
【正确答案】ABD
【分析】根据数量积的坐标表示可判断A;根据向量共线的坐标表示可判断B;根据向量垂直的坐标
表示可判断C;根据向量模的计算可判断D.
【详解】对于A,因为“∙A=-2+0=-2,故A错误;
对于B,因为2x(—1)-Ox(-1)x0,故°与方不共线,故B错误;
对于C,α+6=(l,-l),所以b∙(<z+b)=-lχl+(-l)χ(-l)=O,
所以故C正确;
对于D,忖=2,∣ft∣=√(-l)2+(-l)2=√2,所以卜卜忖,故D错误,
故选:ABD.
10.已知点AB,C,直线机〃,平面α,夕,下列命题中正确的是()
A.若直线机与“无公共点,贝||〃7〃";
B.若Aezn,Bwm,Cem,则过点48,C的平面有无数个;
C.若直线机Uα,"u"则"7,"可能是异面直线;
D.若就/“,则过直线〃?,”的平面有且只有一个.
【正确答案】BCD
【分析】根据直线与直线的位置关系,判断AC,根据平面基本事实判断BD.
【详解】对于A,若直线机与"无公共点,直线机与〃可能异面,故加〃〃这种说法错误;
对于B,若A∈a,Bem,Cem,则过点A,8,C的平面有无数个这种说法正确;
对于C,若直线机uα,nu∕3,则加,〃可能是异面直线这种说法正确;
对于D,若m/M,则过直线加,〃的平面有且只有一个这种说法正确.
故选:BCD
11.对于“ABC,有如下判断,其中正确的判断是()
A.若4>B,贝IJSirL4>si∏β
B.若sin2A=sin28,则一AfiC为等腰三角形
C.若。=2,C=—,A=120o,则符合条件的ABC有1个
3
D.⅛sin2A+sin2S>sin2C»则ABC是锐角三角形
【正确答案】AC
【分析】利用三角形内角的性质,结合三角函数值可比较SinA>SinB,即可判断A选项,根据三角函
数值相等,角之间的关系,可判断B选项,利用正弦定理及大边对大角的性质判断C选项,利用正
弦定理及余弦定理可判断D选项.
TT
【详解】对于A:A>B,当Ae(O,])时,贝IJSinA>sinB;
当Ae(2∙,n)时,由A+B<τt,得B<π-A<二,则SinB<sin(兀-A),所以SinA>sin8;所以A正确.
22
对于B:由A∈(O,τt),β6(0,π),A+B∈(0,π),得24=28或2A+28=π,
则A=B或A+B=:,所以.ABC为等腰三角形或直角三角形;所以B错误.
2√3√3
对于C:由正弦定理得:.CCSinA3X2ɪ因为所以C=30。,于是8=30。.则符
sinC=---------=—-------=—,
a22
合条件的一ABC有一个;所以C正确.
q2I_2兀_
对于D:由$山24+$皿咽>$出七,得/+Zr2AC*,cosC=-------------->0,C<—>A、B无法判.所以
2ab2
D错误.
故选:AC
12.已知“45C中,内角AB,C所对的边分别为。,b,c,且A=30,a=l,c=√3,则方的值
可能是()
A.1B.√2C.√3D.2
【正确答案】AD
【分析】根据给定条件,利用余弦定理求解判断作答.
【详解】在43C中,Λ=30,α=l,c=√3,由余弦定理"=后+©2一力CCOSA得:
l=⅛2+3-2⅛×√3×-,BPb2-3b+2=0,解得。=1或3=2,
2
所以匕的值可能是1或2.
故选:AD
三、填空题
13.若三个平面最少可将空间分为X部分,最多可将空间分为y部分,则y-χ的值为.
【正确答案】4
【分析】考查空间的基本辨析,利用身边的空间图形进行分析即可.
【详解】当三个平面都平行时,可将空间分成4部分,为最少;当三个平面两两垂直时,可将空间分
为8个部分,为最多,故χ=4,y=8,y-x=4,
故4.
四、双空题
14.若°,h满足∣α∣=5,由=2,则∣α+b∣的最大值为,最小值为
【正确答案】73
【分析】设”,/7的夹角为,,把卜+H平方后,由余弦函数性质得最值.
【详解】设4,8的夹角为8,∣α+6∣2=∣αF+2”∙H∣b∣2=29+20cosa
当6=0,∣α+切的最大值为7,当6=兀,∣α+b∣最小值为3.
故7;3.
五、填空题
15.己知一个圆台的上、下底面半径分别为2,4,它的侧面展开图扇环的圆心角为90。,则圆台的
表面积为.
【正确答案】68π.
【分析】由条件列方程求出圆台的母线长,结合侧面积公式求圆台的侧面积,由此可求圆台的表面积
【详解】圆台的上底面圆半径2,下底面圆半径4,
设圆台的母线长为/,扇环所在的小圆的半径为X,
—×2π∙(∕+x)=2π×4
x=8
由题意可得:,解得/=8
-×2π∙x=2π×2
14
所以圆台的侧面积πx(2+4)χ8=48π.
所以圆台的表面积S=48π+πx22+7tx42=68τt.
故答案为.68π
16.•艘船在A处看到一个灯塔M在北偏东60。方向,向东行驶Iokm后,船到达B处,看到灯塔”
在北偏东15。方向,这时船与灯塔的距离为km.
【正确答案】5√2
【分析】结合图形,利用正弦定理求解即可.
【详解】如图,根据题意可知Afi=IOkm,ZM4β=30o,ZAMfi=45°,
AB_BM
在,ΛMB中,由正弦定理得
sinZAMB~sinZMAB
10BM
即&-ɪ,解得BM=5√2km∙
T2
故答案为.5&
六、解答题
17.当实数超取什么值时,复数(∕√+2机-8)+Q∕-2Mi是下列数?
⑴实数;
(2)虚数;
(3)纯虚数.
【正确答案】(I)M=O或〃?=2
(2)%≠O且m≠2
(3)m=-4
【分析】Q)令复数虚部等于0,即可求得答案;
(2)令复数的虚部不等于0,即可求得答案;
(3)根据纯虚数的概念,令实部等于0,虚部不为0,即可求得答案.
【详解】(1)由题意复数(加+2,〃-8)+(苏-2的i,
当加2-2〃?=O,即%=O或Mi=2时,所给复数是实数.
(2)当∕√-2s*0,即∕∏Hθ且m≠2时,所给复数是虚数.
⑶当,πζ+,"ɛ°,即∕n=-4时,所给复数是纯虚数.
m^-2m≠0
18.(I)请你用文字语言和符号语言两种形式叙述余弦定理;
(2)请你用向量法证明余弦定理.
【正确答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.
【分析】(1)考查余弦定理的证明,利用教材中的证明即可;
(2)构建三角形,利用向量的性质证明即可.
【详解】(1)文字语言:三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的
余弦的积的两倍.
符号语言:
在ZkABC中,三个角A,B,C所对的边分别是“,b,c,则
CT-b2+c1-2⅛ccosA>b2=a2+c2-2αccosB>c2=a2+b2-2ahcosC;
(2)法一:在AABC中,三个角A,B,C所对的边分别是a,b,c,
∖k^=k∙k=[m-n)∙(tn-n)-m-m-2ιn∙n+n∙n-m+n^-21wz∣∣n∖cosC,
所以/+/-2〃力COSC,同理得ɑ?=∕>2+c?—26CCoSA,b2=a2+C2-2αccosB;
法二:已知△/!BC中,三个角A,B,C所对的边分别是a,b,c,
以A为原点,AB所在直线为X轴,建立直角坐标系,则CSCoSA涉SinA),8(c,0),
∙'∙a^=IBCf=ScosA-c)?+(6sinA)2=⅛2cos2A-2bccosA+c2+b1sin2A=b1+c1-2bccosA>
即672=⅛2+C2-2⅛ccosA
同理可证Z?2=a?+c?一20ccosB,c2=a2+h2-IahcosC.
.c八、HCq,sιnα+2cos0乩
19.(1)右tana=-3,求∙;^------;—的值;
5cosa-sιna
2cosasin0+sin(a-/?)
(2)化简.y
COS(a-β)-2sinasin/
【正确答案】(1)-ɪ;(2)tan(a+p)
8
【分析】(1)弦化切后代入计算;
(2)由两角和与差的正弦、余弦公式结合商数关系化简变形.
Sina+2COSa_tana÷2-3+21
【详解】(1)
5cosa-Sina5-tana5—(—3)8
2cosasin∕?÷sinσcos∕7-cosasin0COSaSin∕+sinacos∕?_sin(a+/?)
(2)原式=y=tan(σ+∕7)
cosacos/?+sinasin∕7-2sinasiny0COSaCOS尸一SinaSin夕cos(a+β)
20.已知三个点A(2,1),B(3,2),。(一1,4).
⑴求证:AB1.AD;
⑵要使四边形ABCQ为矩形,求点C的坐标并求矩形ABCO两条对角线所成的锐角的余弦值.
【正确答案】(1)证明见解析;
4
⑵(0,5).
【分析】(1)求出向量的坐标,利用两向量的数量积为0,两向量垂直即证出两线垂直.
(2)利用向量相等对应的坐标相等求出点C的坐标,求出两对角线对应的向量坐标,利用向量的数
量积公式求出向量的夹角.
【详解】(1)证明;A(2,1),8(3,2),D(-l,4),
AB=(1,1),AD=(—3)3).
又;AB∙AO=lx(-3)+lx3=0,
ΛAB-LAD<BPABLAD.
(2)∙/AB-LAD四边形ABCZ)为矩形,
∙*∙DC=AB∙
设C点坐标为O,y),则A3=(l,1),OC=(X+1,y—4),
x+1=1,X-0
”,解得二’∙∙.C点坐标为(0,5).
y-4=ι,y~ɔ,
由于AC=(—2,4),BD=(-4,2),
.*.AeBO=8+8=16.
又IAel=2∖Js»IBDI=2ʌ/ʒ,
设AC与8。的夹角为仇
ACBD164
则cosθ=
IAeIl町20^5
4
所以矩形ABCD的两条对角线所成的锐角的余弦值为y.
21.如图,在.ABC中,。是BC边上一点,AB=2,BC=5,AC=√19∙
(2)若3CD=28D,求AO和SinNZ
【正确答案】(1)B=J(2)AD=不,SinND4B=3亘.
314
【分析】(1)通过余弦定理即可解得答案:
(2)
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