2023-2024学年陕西省宝鸡市金台区高一年级下册期中数学模拟试题

2023-2024学年陕西省宝鸡市金台区高一下册期中数学

模拟试题

一、单选题

1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论中惜送的是（）

A.相等的线段在直观图中仍然相等

B.相等的角在直观图中不一定相等

C.平行的线段在直观图中仍然平行

D.互相垂直的线段在直观图中不一定互相垂直

【正确答案】A

【分析】根据斜二测画法的作图规则结合反例，判断各选项.

【详解】如图：四边形QWC为正方形，

由斜二测画法可得其直观图如下:

对于A,因为OA=OC,而O7V≠O'C',

故相等的线段在直观图中仍然相等这种说法错误，A错误；

对于B,因为NOAB=NABC,而Na4'B'κNAEC

故相等的角在直观图中不一定相等这种说法正确，B正确；

对于C,由斜二测画法性质可得平行的线段在直观图中仍然平行，C正确;

对于D,因为Q4LA3,而O'4,A'B'不垂直，

所以互相垂直的线段在直观图中不一定互相垂直这种说法正确，D正确.

故选：A.

2.已知复数z=—,则在复平面内三所对应的点位于()

1+21

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【正确答案】B

【分析】根据复数除法运算法则求复数Z的代数形式，再求其共辗复数即共辗复数的对应点的坐标,

由此判断该点的象限.

3-4i(3-4i)(l-2i)-5-IOi

【用解】由Z=诋=(i+2i)(i—2i)=F----=-1—Zl,

则［=—l+2i，对应点(T，2)位于第二象限.

故选：B.

3.如图所示，长方体ABCZ)-AB'CZ)'中，给出以下判断，其中正确的是()

P'c'

A'B

A.直线AC与A与相交

B.直线AZy与BC'是异面直线

c.直线BTy与r>c'有公共点

D.A'B∕∕D'C

【正确答案】D

【分析】利用异面直线的定义可以判断出A、C,利用平行四边形的性质可判断出B、D.

ITQ'

AB

对于A,ACABCD,ABABCD=B,且B不在AC上，

根据异面直线的定义得，直线AC与A'3是异面直线，故A选项错误；

对于B,∙,ABHCD',ABCD',

•••四边形A8C'。'为平行四边形，

.-.AiyiIBC,即直线与BC'平行直线，故B选项错误；

对于C,β,r>,⊂面AB,C'D',DC'）面AB'C'iy=C',C'%BD,

根据异面直线的定义得，直线与。C'是异面直线，故C选项错误；

对于D,BC//Aiy,BC=A!D',

•••四边形88W为平行四边形，

.∙.AB∕∕D,C,故D选项正确；

故选：D.

4.以下结论中第送的是（）

A.若α+>=0,则α∕∕%

B.若向量A8≠A（j,则点B与点C不重合

C.方向为东偏南70。的向量与北偏西20。的向量是共线向量

D.若α与6是平行向量，则Ial=IM

【正确答案】D

【分析】利用向量共线的基本定理可判定A、C、D选项，利用向量相等的性质可以判断B选项.

【详解】对于A选项，若α+6=0,则α=4,则故A说法正确；

对于B选项，若向量A8≠AC,则两向量的起点都是A,点8与点C不重合，故B说法正确；

对于C选项，方向为东偏南70。的向量与北偏西20。的向量可知，两个向量方向相反，是共线向量,

故C说法正确；

对于D选项，若“与人是平行向量，则α=∕½,两向量的模长不一定相等，故D说法错误；

故选：D.

5.在4ABC中，A。为BC边上的中线，E为A。的中点，则£8=

3113

A.-AB——ACB.-AB--AC

4444

3113

C.一ΛBH—ACD.—ΛBH—AC

4444

【正确答案】A

【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得BE=；BA+；BD,之后应

31

用向量的加法运算法则——三角形法则，得到BC=8A+AC，之后将其合并，得到3E==BA+TAC,

44

31

下一步应用相反向量，求得=从而求得结果.

44

【详解】根据向量的运算法则，可得

BE=-BA+-BD=-BA+-BC=-BA+-(BA+AC}=-BA+-BA+-AC=-BA+-AC,

222424v724444

所以EB==3A1B故选A.

44

该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的

三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.

6.已知非零向量加,满足H=2%,且(ɑ-b)j.3则α与5的夹角为

兀Cπ一2兀C5兀

A.-B.-C.—D.—

6336

【正确答案】B

【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数

学计算等数学素养.先由5-加工。得出向量的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计

算出向量夹角.

..2,a∙b∣⅛∣21

【详解】因为(a—/?)_!_/?,所以(a—b)∙b=a∙b—b=。，所以a∙b=b~,所以CoSe=W忖一2屹『一5，

TT

所以“与b的夹角为?，故选B.

对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值,

再求出夹角，注意向量夹角范围为［0,π∣∙

7.下列说法正确的是()

A.多面体至少有3个面

B.有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台

C.各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体

D.棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形

【正确答案】D

【分析】由多面体、棱台、棱柱等几何体的定义逐项判断即可.

【详解】对于A,多面体至少有4个面，故选项A错误；

对于B,有2个面平行，其余各面都是梯形，但各侧棱的延长线不能交于一点，则该儿何体不是棱台，

故选项B错误；

对于C,各侧面都是正方形的四棱柱，可以是底面为菱形的直棱柱，不一定是正方体，故选项C错误;

对于D,由棱柱定义知，棱柱的各侧棱平行且相等，故侧面是平行四边形，故选项D正确.

故选：D.

8.已知f(x)=sinxcosx,以下说法中正确的是()

A./(χ)的最小正周期为2兀；

B./(χ)在［-［J］上单调递增；

44

C.当x∈-K时，/(%)的取值范围为一半，f；

D.F(X)的图象可由g(x)=［sin(2x+/)的图象向左平移三个单位长度得到.

24ɔ

【正确答案】B

【分析】化简函数解析式，根据三角函数的图象与性质，以及函数图像变换法则即可判断各选项的对

错.

【详解】因为/(x)=SinXCoSX=；sin2x,

所以/(X)的最小正周期为T=T=兀，A不正确；

令Txjg"而y=；Sinf在J-?，［上递增，所以Ax)在［怖夕上单调递增，B正确；

因为f=2x∈,Sinfe-ɪ,l,所以/(x)e一手，;，C不正确；

由于g(x)=gsin(2x+：),将其向左平移5个单位长度得到y=；sin+?的图象，

即函数y=gcos2x的图象，D不正确.

故选：B.

二、多选题

9.已知向量。=(2,0),⅛=(-l-l),则下列结论不正确的是()

A.a∙b=2B∙allb

C.⅛l(α+⅛)D.W=W

【正确答案】ABD

【分析】根据数量积的坐标表示可判断A；根据向量共线的坐标表示可判断B；根据向量垂直的坐标

表示可判断C；根据向量模的计算可判断D.

【详解】对于A,因为“∙A=-2+0=-2,故A错误；

对于B,因为2x(—1)-Ox(-1)x0,故°与方不共线，故B错误；

对于C,α+6=(l,-l),所以b∙(<z+b)=-lχl+(-l)χ(-l)=O,

所以故C正确；

对于D,忖=2,∣ft∣=√(-l)2+(-l)2=√2,所以卜卜忖，故D错误，

故选：ABD.

10.已知点AB,C,直线机〃，平面α,夕，下列命题中正确的是()

A.若直线机与“无公共点，贝||〃7〃"；

B.若Aezn,Bwm,Cem,则过点48,C的平面有无数个；

C.若直线机Uα,"u"则"7,"可能是异面直线；

D.若就/“，则过直线〃?，”的平面有且只有一个.

【正确答案】BCD

【分析】根据直线与直线的位置关系，判断AC,根据平面基本事实判断BD.

【详解】对于A,若直线机与"无公共点，直线机与〃可能异面，故加〃〃这种说法错误；

对于B,若A∈a,Bem,Cem,则过点A,8,C的平面有无数个这种说法正确；

对于C,若直线机uα,nu∕3,则加,〃可能是异面直线这种说法正确；

对于D,若m/M,则过直线加,〃的平面有且只有一个这种说法正确.

故选：BCD

11.对于“ABC,有如下判断，其中正确的判断是()

A.若4>B,贝IJSirL4>si∏β

B.若sin2A=sin28,则一AfiC为等腰三角形

C.若。=2,C=—,A=120o,则符合条件的ABC有1个

3

D.⅛sin2A+sin2S>sin2C»则ABC是锐角三角形

【正确答案】AC

【分析】利用三角形内角的性质，结合三角函数值可比较SinA>SinB,即可判断A选项，根据三角函

数值相等，角之间的关系，可判断B选项，利用正弦定理及大边对大角的性质判断C选项，利用正

弦定理及余弦定理可判断D选项.

TT

【详解】对于A：A>B,当Ae(O,])时，贝IJSinA>sinB；

当Ae(2∙,n)时，由A+B<τt,得B<π-A<二，则SinB<sin(兀-A),所以SinA>sin8;所以A正确.

22

对于B：由A∈(O,τt),β6(0,π),A+B∈(0,π),得24=28或2A+28=π,

则A=B或A+B=：,所以.ABC为等腰三角形或直角三角形；所以B错误.

2√3√3

对于C：由正弦定理得：.CCSinA3X2ɪ因为所以C=30。，于是8=30。.则符

sinC=---------=—-------=—,

a22

合条件的一ABC有一个；所以C正确.

q2I_2兀_

对于D：由$山24+$皿咽>$出七，得/+Zr2AC*,cosC=-------------->0,C<—>A、B无法判.所以

2ab2

D错误.

故选：AC

12.已知“45C中，内角AB,C所对的边分别为。，b,c,且A=30,a=l,c=√3,则方的值

可能是()

A.1B.√2C.√3D.2

【正确答案】AD

【分析】根据给定条件，利用余弦定理求解判断作答.

【详解】在43C中，Λ=30,α=l,c=√3,由余弦定理"=后+©2一力CCOSA得：

l=⅛2+3-2⅛×√3×-,BPb2-3b+2=0,解得。=1或3=2,

2

所以匕的值可能是1或2.

故选：AD

三、填空题

13.若三个平面最少可将空间分为X部分，最多可将空间分为y部分，则y-χ的值为.

【正确答案】4

【分析】考查空间的基本辨析，利用身边的空间图形进行分析即可.

【详解】当三个平面都平行时，可将空间分成4部分，为最少；当三个平面两两垂直时，可将空间分

为8个部分，为最多,故χ=4,y=8,y-x=4,

故4.

四、双空题

14.若°,h满足∣α∣=5,由=2,则∣α+b∣的最大值为,最小值为

【正确答案】73

【分析】设”,/7的夹角为，，把卜+H平方后，由余弦函数性质得最值.

【详解】设4,8的夹角为8,∣α+6∣2=∣αF+2”∙H∣b∣2=29+20cosa

当6=0,∣α+切的最大值为7,当6=兀，∣α+b∣最小值为3.

故7；3.

五、填空题

15.己知一个圆台的上、下底面半径分别为2,4,它的侧面展开图扇环的圆心角为90。，则圆台的

表面积为.

【正确答案】68π.

【分析】由条件列方程求出圆台的母线长，结合侧面积公式求圆台的侧面积，由此可求圆台的表面积

【详解】圆台的上底面圆半径2,下底面圆半径4,

设圆台的母线长为/,扇环所在的小圆的半径为X,

—×2π∙(∕+x)=2π×4

x=8

由题意可得：,解得/=8

-×2π∙x=2π×2

14

所以圆台的侧面积πx(2+4)χ8=48π.

所以圆台的表面积S=48π+πx22+7tx42=68τt.

故答案为.68π

16.•艘船在A处看到一个灯塔M在北偏东60。方向，向东行驶Iokm后，船到达B处，看到灯塔”

在北偏东15。方向，这时船与灯塔的距离为km.

【正确答案】5√2

【分析】结合图形，利用正弦定理求解即可.

【详解】如图，根据题意可知Afi=IOkm,ZM4β=30o,ZAMfi=45°,

AB_BM

在，ΛMB中,由正弦定理得

sinZAMB~sinZMAB

10BM

即&-ɪ，解得BM=5√2km∙

T2

故答案为.5&

六、解答题

17.当实数超取什么值时,复数(∕√+2机-8)+Q∕-2Mi是下列数？

⑴实数;

(2)虚数;

(3)纯虚数.

【正确答案】(I)M=O或〃?=2

(2)%≠O且m≠2

(3)m=-4

【分析】Q)令复数虚部等于0,即可求得答案;

（2）令复数的虚部不等于0,即可求得答案；

（3）根据纯虚数的概念，令实部等于0,虚部不为0,即可求得答案.

【详解】（1）由题意复数（加+2,〃-8）+（苏-2的i,

当加2-2〃?=O,即%=O或Mi=2时，所给复数是实数.

（2）当∕√-2s*0,即∕∏Hθ且m≠2时，所给复数是虚数.

⑶当，πζ+,"ɛ°,即∕n=-4时，所给复数是纯虚数.

m^-2m≠0

18.（I）请你用文字语言和符号语言两种形式叙述余弦定理；

（2）请你用向量法证明余弦定理.

【正确答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【分析】（1）考查余弦定理的证明，利用教材中的证明即可；

（2）构建三角形，利用向量的性质证明即可.

【详解】（1）文字语言：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的

余弦的积的两倍.

符号语言：

在ZkABC中，三个角A,B,C所对的边分别是“，b,c,则

CT-b2+c1-2⅛ccosA>b2=a2+c2-2αccosB>c2=a2+b2-2ahcosC;

（2）法一：在AABC中，三个角A,B,C所对的边分别是a,b,c,

∖k^=k∙k=[m-n)∙(tn-n)-m-m-2ιn∙n+n∙n-m+n^-21wz∣∣n∖cosC，

所以/+/-2〃力COSC,同理得ɑ?=∕>2+c?—26CCoSA,b2=a2+C2-2αccosB；

法二：已知△/!BC中，三个角A,B,C所对的边分别是a,b,c,

以A为原点，AB所在直线为X轴，建立直角坐标系，则CSCoSA涉SinA),8(c,0),

∙'∙a^=IBCf=ScosA-c)?+(6sinA)2=⅛2cos2A-2bccosA+c2+b1sin2A=b1+c1-2bccosA>

即672=⅛2+C2-2⅛ccosA

同理可证Z?2=a?+c?一20ccosB,c2=a2+h2-IahcosC.

.c八、HCq,sιnα+2cos0乩

19.(1)右tana=-3,求∙;^------；—的值;

5cosa-sιna

2cosasin0+sin(a-/?)

(2)化简.y

COS(a-β)-2sinasin/

【正确答案】(1)-ɪ;(2)tan(a+p)

8

【分析】(1)弦化切后代入计算;

(2)由两角和与差的正弦、余弦公式结合商数关系化简变形.

Sina+2COSa_tana÷2-3+21

【详解】(1)

5cosa-Sina5-tana5—(—3)8

2cosasin∕?÷sinσcos∕7-cosasin0COSaSin∕+sinacos∕?_sin(a+/?)

(2)原式=y=tan(σ+∕7)

cosacos/?+sinasin∕7-2sinasiny0COSaCOS尸一SinaSin夕cos(a+β)

20.已知三个点A(2,1),B(3,2),。(一1,4).

⑴求证：AB1.AD；

⑵要使四边形ABCQ为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCO两条对角线所成的锐角的余弦值.

【正确答案】(1)证明见解析；

4

⑵(0,5).

【分析】(1)求出向量的坐标，利用两向量的数量积为0,两向量垂直即证出两线垂直.

(2)利用向量相等对应的坐标相等求出点C的坐标，求出两对角线对应的向量坐标，利用向量的数

量积公式求出向量的夹角.

【详解】(1)证明；A(2,1),8(3,2),D(-l,4),

AB=(1,1)，AD=(—3)3).

又；AB∙AO=lx(-3)+lx3=0,

ΛAB-LAD<BPABLAD.

(2)∙/AB-LAD四边形ABCZ)为矩形，

∙*∙DC=AB∙

设C点坐标为O,y),则A3=(l,1),OC=(X+1，y—4),

x+1=1,X-0

”,解得二’∙∙.C点坐标为(0,5).

y-4=ι,y~ɔ,

由于AC=(—2,4),BD=(-4,2),

.*.AeBO=8+8=16.

又IAel=2∖Js»IBDI=2ʌ/ʒ,

设AC与8。的夹角为仇

ACBD164

则cosθ=

IAeIl町20^5

4

所以矩形ABCD的两条对角线所成的锐角的余弦值为y.

21.如图，在.ABC中，。是BC边上一点，AB=2,BC=5,AC=√19∙

(2)若3CD=28D,求AO和SinNZ

【正确答案】(1)B=J(2)AD=不，SinND4B=3亘.

314

【分析】(1)通过余弦定理即可解得答案：

(2)