2023年天津高考金榜预测数学试卷二（解析版）

2023年高考金榜预测卷(二)(天津卷)

数学

一、选择题

1.己知全集U=R,集合A={x∈Nj%2-2x≤3},B=jx∈R∣ʌ≡^<θj,则

AC值,8)=()

A.{3}B.{0,3}C.{2,3}D.{0,2,3}

K答案》A

2

K解析X集合A={x∈N+∣X-2X-3≤O}={%∈N+∣-1≤X≤3}={1,2,3}

集合B={x∣0<x≤2},所以屯8={邛>2或x≤0}

所以AC(Q㈤={3}

故选：A.

2.设XeR,则“凶<1"是''lnx<0'’的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不必要也不充分条件

K答案2B

K解析U若∣H<1,则τ<χ<ι,

若InX<0,则OVX<1,

∙.∙{x∣0<x<l}是{x[—l<x<l}的真子集，贝∣J"W<1”是“lnx<0”的必要不充分条件.

故选：B.

3.设。=1。838/=21，=0.8口，则〃力工的大小关系是()

A.b<a<cB.c<b<a

C.c<a<bD.a<c<b

K答案HC

K解析』因为1=bg33<bg38<bg39=2,

所以ICa<2,

又b=2">2∣=2,c=0.8'∙l<O,8o=b所以c<α<⅛.故选:C.

4.2022年12月4日是第九个国家宪法日，主题为“学习宣传贯彻党的二十大精神，推动

全面贯彻实施宪法”，耀华园结合线上教育教学模式，开展了云升旗，云班会等活动.其中

由学生会同学制作了宪法学习问卷，收获了有效答卷2000份，先对其得分情况进行了统

计，按照［50,60)、［60,70).........［90,100］分成5组,并绘制了如图所示的频率分布直方

B.由直方图中的数据，可估计75%分位数是85

C.由直方图中的数据，可估计这组数据的平均数为77

D.90分以上将获得优秀，则全校有20人获得优秀

K答案』D

K解析》对于A,(0.∞5+x+0.035+0.030+0.010)×10=1,/.ɪ=0.020,正确;

对于B,（0.∞5+0.020+0.035）×10=0.6,（0.∞5+0.020+0.035+0.030）×10=0.9,

75%分位数=80+"篙^XIO=85,正确；

对于C,平均数=55x0.05+65x0.2+75x0.35+85x0.3+95x0.1=77,正确；

对于D,90分以上的人数为2000x0.1=200,错误；故选：D.

5.函数/（X）的部分图象如图所示，则“X）的K解析》式可能为（）

3xsinxx2sirιx

A./(ɪ)=B./(X)=

l+2√l+x2

3X2COSXX2COSX

C./(X)=D."x)=

1+2X2l+x2

K答案HD

K解析H由图可知，f(x)在卜兀,可上的图象关于>轴对称，所以/(x)在［-π,可上为偶函

数，故应先判断各选项中函数/(x)的奇偶性.

3(-x)sin(-x)黑=〃')，"(x)=寝为偶函数，故A选项的函

对A,ʃ(-ɪ)=

l+2(-x)2

数/(χ)为其定义域内的偶函数.

同理:

对C、D选项的〃力均为其定义域内的偶函数，只有B选项的/(X)为其定义域内的奇函

数，从而排除选项B.

cπ.π3π

/∖/∖3×-∙sιn——

又/弓=O,对A选项：/弓=—2——ɪ=—2_≠0,所以排除A.

⑴⑴1+2φ21+岭2

而由图可知/(∏)>-1,对C选项：27+兀2>2分+1,

3兀2Cos兀3π22冗2+τr~

/(兀)=/詈-,故排除C

l+2π2l+2π2

故选：D.

6.以双曲线C：》/l(a>08>0)的右顶点A为圆心，弓为半径作圆，与双曲线右支交

Tr

于RQ两点，若=则双曲线C的离心率为()

A.四B.√3C.2D.毡

23

K答案』D

K解析H设双曲线UE-I=I(α>(U>0)的右焦点为巴，

a：Zr

由题意得aPAQ为等腰直角三角形，|24|=卜@=啦“，NPAQ=；,

.∙.NPAQ=f,可得P(2”,α),代入双曲线方程可得：⅛-≤=l,解得=3〃，

4Crb~

∙*∙a2=3c2—3cι2»KP2a=百C，贝!je=，

3

则双曲线C的离心率为：当.

故选：D.

将函数F(X)=2sin(2x-1

7.的图象纵坐标不变，横坐标缩小为原来的;，再向左平移E

NO

个单位，得到函数g(χ)的图象，则下列说法正确的是()

A.g(x)的图象关于点仔，°1对称B.g(x)的图象关于直线x=3对称

C.g(x)过点停2)D.g(x)在区间(θ,品上单调递增

K答案》D

K解析Il将函数f(x)=2sin(2x-5)的图象纵坐标不变，横坐标缩小为原来的可得到

函数y=2sin(4x-的图象，

再将所得图象向左平移£个单位，可得至U函数g(x)=2sin,卜+"一方=2sin(4x+£)的

图象，

对于A选项，g(∣^]=2sin与=一2,A错；

对于B选项，g(^)=2sinπ=0,B错；

对于C选项，g(l)=2sin[l+])=2cos∕=l,C错；

对于D选项，当0<无<或时，→4x+∣<p

所以，函数g(x)在区间(0，/)上单调递增，D对.

故选：D.

8.医用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中口罩面体分为内、中、外三层.内层为亲肤材

质(普通卫生纱布或无纺布)，中层为隔离过滤层(超细聚丙烯纤维熔喷材料层)，外层为

特殊材料抑菌层(无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层).国家质量监督检验标准中，医用口

罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医

用口罩的过滤率x：Λ/(0.9372,0.01392).若生产状态正常，有如下命题：

甲：P(X≤0.9)<0.5；

乙：X的取值在(0.93,0.9439)内的概率与在(0.9372,0.9511)内的概率相等;

丙：P(x<0.9)=P(x>0.9744)；

T：记4表示一天内抽取的50只口罩中过滤率大于〃+2b的数量，贝IJPeNl)>0.6.

(参考数据：若x~N(∕∕,σj)(Cr>0),则P(〃-CrCx≤〃+Cr)Bo.6827,

P{μ-2σ<x≤μ+2σ)≈0.9545,P{μ-3σ<x<μ+3σ)≈0.9973；0.9850≈0.364)

其中假命题是()

A.甲B.乙C.丙D.丁

K答案》B

K解析》由X：N(0.9372,0.01392)知，χγ=09372,σ=0.0139,

对于甲：由正态分布曲线可得：P(x≤0.9)<P(x<0.9372)=0.5,故甲为真命题；

对于乙：0.9439-0.93=0.0139,0.9511-0.9372=0.0139两个区间长度均为1个。，但

4>0∙93,由正态分布性质知，落在(0∙93,0.9439)内的概率大于落在

(0.9372,0.9511)内的概率，故乙是假命题；

∩9-∣-∩0744

对于丙：由7*=0.9372知,丙正确；

对于丁：1只口罩的的过滤率大于M+2b的概率p*I--O^95≡45=0.02275,久8(50,。)，所

以P(J≥1)=1_Pe=O)=]_(1_P)So>1-(1-O.O2)50,

1-(1-0.02)5n=1-0.985°≈1-0.364=0.636>0.6,故丁是真命题.

故选：B.

Y

士,0Vx<l

m

9.设函数/(x)hg(x)="x)-4x-l.若函数g(x)在区间(-1,1)上有

—--------1<X<0

zn(x+l)

且仅有一个零点，则实数m的取值范围是()

K答案』C

K解析』令g(x)=∕(x)-4x-l=0,

则/(x)=4x+l,

X

当O≤x<l时，一=4x+l,即χ=4ιwc+m,

m

即函数y=χ与%=4〃?x+〃?的交点问题，

其中y2=4∕ra+∕π恒过A［一；,O).

当一l<x<0时，—7-=4x+l即-1+-----=4"a+机,

研x+l)X+1

即函数为=-1+」=与％=4mm的交点问题.

分别画出函数耳，为，力在各自区间上的图象:

当丫2与%相切时，有且仅有一个零点，此时〃[(；；])=4x+l,化简得:

22

4mx+(5∕n+l)x+∕M=0,由A=(5a+1)-16〃?'-0得：ml=-l,∕n,=—(舍去)

当直线力的斜率，大于等于直线H的斜率时，有且仅有一个零点，把B(Ll)代入

1r,,1

y2=4ιτυc+m中，解得:AW=—,贝IJ7∏≥—,

{T}°p+00∖

综上，W的取值范围是

10.已知i是虚数单位，z(5-3i)=1—4i,则忸

K答案』孝

…LTll-4i(l-4i)(5+3i)17-17i11.

K解析U5_3i-(5-3i)(5+3i)^34^2^2,

故K答案』也.

2

11.在口一京)的展开式中’则/的系数是

K答案H135

K解析H(x-9)的展开式的通项公式(+I=G∙χ6-j⅛)-(W*

令6-募=3,r=2,所以d的系数是C>(—3)2=135.

故K答案H为：135

12.如图，在四棱锥尸-AB8中，底面ABC。为菱形，PQ_L底面ABC。，

ACBD=O,若PD=26,NPAr)=NA4。=g,则三棱锥P-COD的外接球表面积为

K答案U∣6π

K解析H∙.∙PZU平面ABC。，">U平面438,LAr>,又PE>=2√L

ZPAD=^：.AD=2

取PC,CD中点分别为M,N,连接DM,MN,BN,

由于MN//PD,PD，平面A8C。,所以AW，平面ABCD,

因为底面ABCC为菱形，所以。。=1,OC=且OO∙LOC,所以ND=NC=No,即N

是三角形COO外接圆的圆心，因此球心在直线MN上,

又PD，CD,所以MO=MC=MP,因此可得M为球心，

^∖PC∖2=PD2+OD2+OC2=16,

：.S=4πR2=π∖PC∖2=iβπ.

故K答案』为：16兀

13.甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球

（球除颜色外，大小质地均相同）.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以4，4和4

表示由甲箱中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以8表示

由乙箱中取出的球是红球的事件，则P（B）=.

K答案D\9

K解析Il根据题意，A事件发生且B事件发生的概率为gχ∖=卷；

4事件发生且3事件发生的概率为

A3事件发生且B事件发生的概率为热3XA4=全6

故尸（3）=』+&+9=2.

v722555522

故K答案H为：ɪ9.

14.已知孙＞0,x+2y=10,则区芈土D的最小值为______；（》+1°）＞+2°）.的最小值

√孙肛

为______

K答案H4√34√10+14

K解析D（»2Pl）=肛+）产+2=而+在所苧=S

√孙√孙y∣χy∖y∣χy

当且仅当历二J二，即冷，=12时，取等号，

√孙

(x+2)(.v+l)

所以的最小值为4石,

∖[χy

因为孙＞0,x+2y=10,所以2(x+2y)=20

.(x+10)(y+20)_(x+x+2y)(y+2x+4y)_(2x+2y)(2x+5y)

则==

xyxyxy

=4∕+W+W=4f+10y∖]4="+12∑+]4≥2j把.处+14=4^+14,

xyxyxxvxx

当且仅当4χ2=10y2,即x」°(4二一5)20(4一君)时,取等号，

1111

所以(X+10)()+20)的最小值为4Jjd+14.

故R答案Il为：4√3;4√10+14.

15.如图，在二ABC中，ZBAC=^,AD=2DB,P为CD上一点、,且满足

AP=mAC+^ABf则小的值为；若二ABC的面积为2石，的最小值为

K答案》-vɜ

4

3一1.3

K解析》由题意得A8=—4。，则A尸=〃*。4—AB=mACH—AD,

224

31

而CP,。三点共线，得根+]=1,m=9

44

AP=^AC+^AB,贝IJ网2=^AC2+^∖AB∖∖AC∖COSZBAC+^AB2,

而SWC=gAB∙4C∙sinNB4C=2√L得ABAC=8，

由基本不等式得.AC?+；)尻≥2旧X*=2,当且仅当AC=4,A3=2时等号成立,

故网，2+%8xg=3,IM的最小值为G，

故K答案』为：?√3

三、解答题

16.在AABC中,内角A,6,C所对的边分别是α,b,c.已知。SinA=3csin5,a=3,

cosBn=—3.

5

(1)求b的值；

(2)求Sin的值.

解：(1)由匕SinA=3csin3,

根据正弦定理可得必=3历，

即α=3c,又a=3,

所以c=l,

由余弦定理可得：8S8=g∕+/_J

52ac

所以，由力＞0，

52×3×1

解得∕7=迹.

5

3

(2)因为cos3=g,所以在sABC中，

4

⅛^sinB=-,

3424

则sin2B=2sinBcosB=2×-×-=—,

5525

cos2B=2COS2B-l=2×∣-∣-1=,

⑸25

fffsin(2B--)=sin2Bcos--cos2Bsin—=竺χL-(--Z-)χ2^._ɔ4+7∖∕3

333252I25；250

17.如图，在四棱锥尸一ABCf)中，平面尸AB_L平面ABCQ,AB±BC,AD//BC,

AD=3，PA=BC=2，AB=1，PB=√3.

(1)求证：P8_L平面ABCz)；

(2)求平面PCo与平面A8C。夹角的余弦值；

(3)若点E在棱R4上，且5E〃平面Pa),求线段8E的长.

(1)证明：平面PAfiJ_平面ABcZ),

且平面RWc平面ABCD=AB,

又；BC_LAB,且BCU平面ABCD,

，8C_L平面B4B,PBu平面RW,.∖BC1PB.

在二Λ4B中，PΛ=2,PB=√3,ΛB=1..∙,PA1=AB2+PB2..-.PB1.AB,

ABcBC=B,且A8,8Cu平面A8CZ),

PB_L平面ABaX

(2)解：由(1)知P8,8C,43两两互相垂直,

所以,建立空间直角坐标系8-Λyz,如图所示：

所以A(-1,0,0),8(0,0,0),C(0,2,0),D(-l,3,0),P(0,0,√3),CD=(-1,1,0),PC=(0,2,-√3).

易知平面ABC。的一个法向量为"=(0,0,1).

设平面PCf)的一个法向量为m=(X,y,z),

mCD=0X-y

则,即,令2=2,则加=(6,6,2).

/H.PC=O2y=ʌ/ɜz

n`m2√10

贝πt!Jlcos〈z〃,〃?〉=---~~-=/=——,

I川∙I川√3÷3÷45

即平面P8与平面ABa)夹角的余弦值为巫.

5

(3)解：因为点E在棱R4,所以AE=2A∕Uw[0,l].

因为AP=(1,0,√¾.

所以AE=(λ,0,√3Λ),BE=BA+AE=(2-1,0,辰).

又因为BE//平面PCD,m为平面PC。的一个法向量,

所以BE•m=O,即ʌ/ɜ（/i—1）+2Λ∕3Λ=O,所以/I=q.

所以BE=-g,0,理）,所以8E=∣8E∣=*∙

18.已知公比大于1的等比数列｛%｝的前6项和为126,且44，3%,2%成等差数列.

（1）求数列｛4｝的通项公式;

(2)若d=("+l)q("eN'ŋ,求数列也｝的前〃项和小

解：（1）设等比数列｛4｝的公比为4，q＞l,

5=126

依题意6

,

6a3=4a2+2a4

G(I-力

____L176

即《∖-q=,解得4=4=2,所以q,=2'.

2

6alq=44∣4+2α∣q''

(2)"/+I"",

7；,=2×2'+3×22++(«+1)x2",

27；,=2×22+3×23++(π+l)∙2n+l,

两式相减得一(,=2x2+22++2n-(Λ7+l)∙2π+l

=4+4^1~2^~(n+l)∙2,w'=-n-2n+',

1-2`,

所以I="?]

19.已知椭圆C：5■+£■=1（。＞人＞0）的离心率为丸左、右焦点分别为耳，外，M是

C上一点，|/耳1=2,且I=25・叫.

（1）求椭圆C的方程；

（2）当过点P（4,l）的动直线/与椭圆C相交于不同两点A、B,线段A8上取点Q,且Q

满足∣AP∣∙∣QB∣=∣AQ∣∙∣P8∣,求证：点。总在某定直线上，并求出该定直线的方程.

解：⑴因为椭圆C：巨小心。＞。）的离心率呜，”2c,

由椭圆C的左、右焦点分别为耳、F2,M是C上一点,

IMKI=2,且IMEl∙∣Mg∣=2Λ∕6∙Λ√E,

MFMFɪ

得cos<MF,MF>=c2

i2IMFJIIgI2

.∙.NFIMF2=60".

在△耳KM中，由余弦定理得(2c)2=22+(4c-2)2-2X2(4c-2)cos60",

解得c=l,则。=2,⅛=ʌ/ɜ,

22

.•・椭圆C的方程为三+匕=1；

43

(2)由题意可得直线/的斜率存在，

设直线/的方程为y—l=MX—4),即y=Λx+(l-4Z),

代入椭圆C的方程，

整理得(3+饮2卜2+(8%-32〃卜+64r-32%-8=0,

设A(Λ1,M),B(x2,y2),

32⅛2-8⅛64⅛2-32⅛-8

则

3+4公―_3+4k2

设。(%%),

由IAPlIQ8∣=∣AQ∣∙∣PB∣,

得(4-x∣)(%-%)=(XLXo)(4-々)(考虑线段在X轴上的射影),

,

..8x0=(4+Λ⅛J)(Λ1+X2)-2X1X2,

32k2-8k2(64⅛2-32⅛-8)

于是8无0=(4+x)∙

03+4⅛23+4小

整理得3%-2=(4-七袂，①

又k=见一1,