《统考版》高考数学（理科）一轮练习专练53抛物线

专练53抛物线命题范围：抛物线的定义、标准方程与简单的几何性质．[基础强化]一、选择题1．抛物线y＝eq\f(1,4)x2的焦点到其准线的距离为()A．1 B．2C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,8)2．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线的焦点坐标为()A．(－1,0) B．(1,0)C．(0，－1) D．(0,1)3．动点M到点F(2,1)的距离和到直线l：3x＋4y－10＝0的距离相等，则动点M的轨迹为()A．抛物线 B．直线C．线段 D．射线4．若抛物线y2＝2px的焦点与双曲线eq\f(x2,3)－y2＝1的右焦点重合，则p的值为()A．－4 B．4C．－2 D．25．若抛物线y2＝2px(p>0)上横坐标为6的点到此抛物线焦点的距离为10，则该抛物线的焦点到准线的距离为()A．4 B．8C．16 D．326．若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆eq\f(x2,3p)＋eq\f(y2,p)＝1的一个焦点，则p＝()A．2 B．3C．4 D．87.如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，则抛物线的方程为()A．y2＝8xB．y2＝4xC．y2＝2xD．y2＝x8．设坐标原点为O，抛物线y2＝2x与过焦点的直线交于A，B两点，则eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))等于()A.eq\f(3,4) B．－eq\f(3,4)C．3 D．－39．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，过点F的直线交抛物线于A，B两点，过点A作准线l的垂线，垂足为E，当A点坐标为(3，y0)时，△AEF为正三角形，则此时△OAB的面积为()A.eq\f(4\r(3),3)B.eq\r(3)C.eq\f(2\r(3),3)D.eq\f(\r(3),3)二、填空题10．已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为______________．11．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则|PQ|＝________.12．已知直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k的值为________．[能力提升]13．[2020·全国卷Ⅰ]已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝()A．2B．3C．6D．914．[2021·湖南长沙高三测试]抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点M(3,1)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则△ABM的周长为()A.eq\f(71,12)＋eq\r(26) B．9＋eq\r(26)C．9＋eq\r(10) D.eq\f(83,12)＋eq\r(26)15．[2021·张家界高三测试]已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，抛物线C有一点P，过点P作PM⊥l，垂足为M，若等边△PMF的面积为4eq\r(3)，则p＝________.16．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为60°的直线，与抛物线分别交于A，B两点(点A在x轴上方)，则eq\f(|AF|,|BF|)＝________.专练53抛物线1．By＝eq\f(1,4)x2可化为x2＝4y，则焦点到准线的距离为eq\f(1,2)×4＝2.2．B∵y2＝2px的准线为x＝－eq\f(p,2)，又准线过点(－1,1)，∴－eq\f(p,2)＝－1，∴p＝2，故其焦点坐标为(1,0)．3．B∵F(2,1)在直线l：3x＋4y－10＝0上，∴动点M的轨迹为过点F且与直线l垂直的直线．4．B∵eq\f(x2,3)－y2＝1的右焦点为(2,0)，∴eq\f(p,2)＝2，p＝4.5．B由抛物线的定义知，6＋eq\f(p,2)＝10，eq\f(p,2)＝4，p＝8，∴抛物线的焦点到准线的距离为p＝8.6．D由题意，知抛物线的焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，椭圆的焦点坐标为(±eq\r(2p)，0)，所以eq\f(p,2)＝eq\r(2p)，解得p＝8，故选D.7．B如图，分别过点A，B作准线的垂线，交准线于点E，D，设准线与x轴交于点G，设|BF|＝a，则由已知得|BC|＝2a，由定义得|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在Rt△ACE中，∵|AF|＝4，|AC|＝4＋3a，∴2|AE|＝|AC|，∴4＋3a＝8，从而得a＝eq\f(4,3)，∵AE∥FG，∴eq\f(FG,AE)＝eq\f(CF,AC)，即eq\f(p,4)＝eq\f(4,8)，得p＝2.∴抛物线方程为y2＝4x.故选B.8．B当AB与x轴垂直时，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－1))，eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＋1×(－1)＝－eq\f(3,4)；当AB与x轴不垂直时，设l：y＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，,y2＝2x，))得k2x2－(k2＋2)x＋eq\f(k2,4)＝0由韦达定理得x1＋x2＝eq\f(k2＋2,k2)，x1x2＝eq\f(1,4)，∴eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋k2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1－\f(1,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(1,2)))＝(1＋k2)x1x2－eq\f(1,2)k2(x1＋x2)＋eq\f(k2,4)＝－eq\f(3,4).9．A不妨设点A在第一象限，如图所示，过点F作AE的垂线，垂足为H，由题知当A的坐标为(3，y0)时△AEF为正三角形，此时H为AE的中点，|AE|＝3＋eq\f(p,2)，|EH|＝p，∴2p＝3＋eq\f(p,2)，解得p＝2，∴y2＝4x，A(3,2eq\r(3))，F(1,0)，∴kAF＝eq\r(3)，直线AF的方程为y＝eq\r(3)(x－1)，代入抛物线方程得3(x－1)2＝4x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，解得x1＝3，x2＝eq\f(1,3)，此时y1＝2eq\r(3)，y2＝－eq\f(2\r(3),3)，∴S△AOB＝S△OFB＋S△OFA＝eq\f(1,2)×1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)＋2\r(3)))＝eq\f(4\r(3),3)，故选A.10．y2＝－8x或x2＝－y解析：由题可知，抛物线开口向下或向左，设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，x2＝－2py(p>0)，将P(－2，－4)代入，分别得方程y2＝－8x或x2＝－y.11．8解析：|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝6＋2＝8.12．0或1解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2，,y2＝8x，))得k2x2＋(4k－8)x＋4＝0，若k＝0，满足题意；若k≠0，则Δ＝(4k－8)2－4×4k2＝0，得k＝1.综上得k＝0或k＝1.13．C设焦点为F，点A的坐标为(x0，y0)，由抛物线定义得|AF|＝x0＋eq\f(p,2)，∵点A到y轴距离为9，∴x0＝9，∴9＋eq\f(p,2)＝12，∴p＝6.故选C.14．B令y＝1，得x＝eq\f(1,4)，即Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1)).由抛物线的光学性质可知AB经过焦点F，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，代入y2＝4x.消去y，得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0.则xAxB＝1，所以xB＝eq\f(1,xA)＝4.|AB|＝xA＋xB＋p＝eq\f(25,4).将x＝4代入y2＝4x得y＝±4，故B(4，－4)．故|MB|＝eq\r(4－32＋－4－12)＝eq\r(26).故△ABM的周长为|MA|＋|MB|＋|AB|＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(1,4)))＋eq\r(26)＋eq\f(25,4)＝9＋eq\r(26).故选B.15．2解析：设准线l和x轴交于N点，PM平行于x轴，∠PMF＝∠MFN＝60°，由抛物线的定义得到|NF|＝p，故|MF|＝2p，故eq\f(\r(3),4)(2p)2＝4eq\r(3)，∴p＝2.故答案为2.16．3解析：如图所示，由题意得准线l：x