2023-2024学年河北省唐山市钱营中学高三数学文联考试题含解析

2023年河北省唐山市钱营中学高三数学文联考试题含

解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.如图，在三菱锥中，以上或匚助,取^/以^:/4二好若侧面必给，

底面＞«c,则其主视图与左视图面积之比为

A.4一5B.4：5C.有:行D.后:行

参考答案：

A

2.设等差数列｛aj的前n项和为S„,若S9=54,则施地+的=()

A.9B.15C.18D.36

参考答案：

C

【考点】等差数列的性质.

【分析】由等差数列的求和公式和性质可得as=4,而要求的式子可化为3a5,代入可得答

案.

2

【解答】解：由等差数列的求和公式可得：Sg=2(ai+ag)=54,

又由等差数列的性质可得a"9=2a5,即9a5=54,

解得&5=6,而a2+a4+a9=a5+a&+a6=3a5=18.

故选：C.

3.在复平面内，复数z对应的点是Z(l,-2),则复数z的共轨复数z=()

A.l+2iB.1-2iC.2+iD.2-i

参考答案：

A

【考点】复数的基本概念.

【分析】由复数z对应的点是Z(1,-2),得z=l-2i,则复数z的共朝复数可求.

【解答】解：由复数z对应的点是Z(1,-2),

得z=l-2i.

则复数z的共辗复数z=l+2i.

故选：A.

4已知集合/={T0},则

.4n/?=()

A.镉B.$CMJID：U

参考答案：

【知识点】交集及其运算.A1

【答案解析】D解析：集合B={-1,2},.,.AnB={-l};故选D.

【思路点拨】先求出集合B,再根据两个集合的交集的意义求解即可.

5.本小题满分14分)

33

〃力=24sin(—+x)+2co5X-y/3

已知函数

(1)求函数/(X)的最小正周期和单调递增区间；

(2)已知AA5C内角A,B,C的对边分别为db.c,且c=3./(@=2,若向量

U=(［新。4)与二=(2405)共线，求的值。

参考答案：

n

(1)f(x)=2sin(2x+6)+1KS5U

--+k＞r,—+*?r（AeZ）

最小正周期T="，递增区间为L36J（7分）

nn

=

(2)f(C)=2sin(2C+6)+i=2/3,因为向量京=(Ls】n⑷与=(2sin3)共线,

所以sinB=2sinA”b=2a,由余弦定理可得

c'=a'+3'-=9,二a=-J^fb=2万

2

略

6.已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积是

（霆3题图）

A.lcm3B.2cm3C.3cm3D.6cm3

参考答案：

C

由题意判断出，底面是一个直角三角形，两个直角边分别为1和2,整个棱锥的高

-：-：:-＜1:：-：2＞：3=1

由侧视图可得为3,所以三棱锥的体积为32

7.已知命题P：若丫＞＞，则命题9：若则

在命题：①peg；②pvg；③「八（F）；④（-p）vg中，真命题是（）

A.①③

B.①④C.②③D..②④

参考答案:

8.已知（x2+x）11的展开式的各项系数和为32,则展开式中X，的系数为（）

A.5B.40C.20D.10

参考答案：

【考点】DB：二项式系数的性质.

【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的基指数等于0,求出r的值，即可求得

【解答】解：由题意，在（x?+x）11的展开式中，

令x=l,可得各项系数和为2"=32,n=5.

102rrC103r

故展开式的通项公式为T*C5?x-?x-=5?x-,

令10-3r=4,求得r=2,

.••展开式中x4的系数为。5=10,

故选：D.

9.设非零向量满足同叩卜中+心°,否与3的夹角为（）

A.60*B.90*C.120*D150"

参考答案：

A

---TC■-2-2-2

试题分析：由题意得^=＜：一片，..a=c-2bc,由于a=b=c,因此得

bc=-b

2

9喻5,因此夹角为60°,故答案为A.

考点：向量的夹角.

10.定义；平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系（两条数轴的原点重合且单

位长度相同）称为平面斜坐标系.在平面斜坐标系xOy中，若OP=xei+xe2（其中

ei、e2分别是斜坐标系x轴y轴正方向上的单位向量x,y-R,O为坐标系原点），则

有序数对（x,y）称为点P的斜坐标.在平面斜坐标系xOy中，若NxOy=120°,点

C的斜坐标为（1,2）,则以点C为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程是

（）

A.x2+y2-xy~3y+2=0

B.x2+y2—2x—4y+4=0

C.x2+y2-xy+3y_2=0ks5u

D.x2+y2—2x+4y—4=0

参考答案：

A

略

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

H.函数八了）"？1*737的值域为.

参考答案：

畤U（l,2）

12.某中学共有1800人，其中高二年级的人数为600.现用分层抽样的方法在全校抽取〃

人，其中高二年级被抽取的人数为21,则〃=.

参考答案：

63

21600

-------------n63.

n1800

13.设a>6>l,r<0,给出下列三个结论:

①仁九②/。，；③啕。F）>-G,

其中所有的正确结论的序号是-----

A.①B.①②C.②③D.①②③

参考答案：

D

11CC

由不等式及知又c<0,所以①正确;由指数函数的图像与

性质知②正确；由。<0知u-c>1-C>1,由对数函数的图像与性

质知③正确.

【点评】本题考查函数概念与基本初等函数I中的指数函数的图像与性质、对数函

数的图像与性质，不等关系，考查了数形结合的思想.函数概念与基本初等函数I

是常考知识点.

14..若复数z=sina—d（1—cosot）是纯虚数，则a=；

参考答案：

（24+1）71,（左GZ）,

依题意，即，所以a=（2左+1）兀，（左GZ）o

15.右图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为

一2一

正视图他视图

俯视图

参考答案：

-JT

3

略

(-1)*sin——+2n,xe\2n,2«+1)

〃X)=29)

—+2/»+2,X€[2M+1,2«+2),、

16.已知函数2,若数列满足

J=/(«)(weAf)

数列的前H1项和为则

参考答案:

804

略

21

17.设a>0,b>0.若6是3a与32b的等比中项，则。g的最小值为.

参考答案:

8

【考点】基本不等式.

【分析】根据题意,由等比数列的性质可得3aX32b=(V3)2,变形化简可得a+2b=1,进

21214ba21

而有a+b=(a+2b)(a+b)=4+(a+b),结合基本不等式可得a+b的最小值，即可

得答案.

【解答】解：根据题意，若遂是3a与32b的等比中项,

则有3aX32b=(点)2,即3a+2b=3,

则有a+2b=1；

21214ba_

则a+b=(a+2b)(a+b)=4+(a+b)>4+2-74=8；

21

即a+b的最小值为8；

故答案为：8.

【点评】本题考查基本不等式的运用，涉及等比数列的性质，关键是求出a+2b=1.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.(本题满分14分)已知AABC的三个内角A、B、C所对的边分别为4”。，面积为s,

S,|tsui--+cot—|=18

且满足：I22).

(1)求的值；(2)求角C.

参考答案：

cc1-cosCl+co$C2

tan-+cot—=----------♦------------=-------

(1)v22sinCsmCsinC

212

S—^=[8:laistnC—^-=18,：&=18

/.sinC2smC

2222

厂a+b-c2ab-c

cosC=-------------->-----------

(2)lab2ab

.•.C0S取值范围为OcNCS60P

19.(本题12分)

将5个小球放到3个盒子中，在下列条件下，各有多少种投放方法？

(1)小球不同，盒子不同，盒子不空

(2)小球不同，盒子不同，盒子可空

（3）小球相同，盒子不同，盒子不空

参考答案：

:亨V卜=150

(2)35=20(3)U=6

(1)

20.第26届世界大学生夏季运动会将于2011年8月12日到23日在深圳举行，为

了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者。将这

30名志愿者的身高编成如右所示的茎叶图（单位：cm）：若身高在175cm以上

（包括175cm）定义为“高个子”，

身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”，

男女

77899

9124589

86523456

74201

且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”

（I）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中

中提取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是

“高个子”的概率是多少？

（II）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用X表示所选志愿者中能担任“礼

仪小姐”的人数，试写出X的分布列，并求，丫的数学期望。

参考答案：

解：（I）根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，

=1

用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是否=了，

12x1=218x1=3

所以选中的“高个子”有6人，“非高个子”有6人......3分

丐3_7

则至少有一名“高个子”被选中的概率为尸=i-T-io-io........6分

(【【)依题意，X的取值为°，1，2.3................7分

/x=o)=W』

区55,加1)=警=微

cjq*i2

P(X=2)==

r*55式2点

594.9分

因此，7的分布列如下:

……10

分

X012

3

142812

P

5?55

；.*0x畀1焉+2唱+34=1

12分

略

21.如图，几何体ERABC。中，CDE尸是边长为2的正方形，ABCO为直角梯形,

JUIICD,JDJJJC,AD=2,Z4aF=90°

(1)求异面直线8E和C£＞所成角的大小;

(2)求几何体EP-ABCO的体积；

(3)若平面ABCO内有一经过点2的曲线r,该曲线上的任一动点都满足E。与CO所成

角的大小恰等于BE与CQ所成角.试判断曲线厂的形状并说明理由.

参考答案：

_____y/616

arccos——

(1)3；(2)3；(3)双曲线.

【分析】

(1)根据几何体的特征，建立空间直角坐标系，求出向量历，砺的坐标，利用向量坐

标运算求异面直线所成角的余弦值，可得角的大小；

(2)利用几何体的体积V=VE-ABCD+VB-CEF，分别求得两个棱锥的底面面积与IWJ,代入棱

锥的体积公式计算.

(3)利用向量夹角公式直接可得关于x,y的表达式，满足双曲线方程，可得结果.

【详解】(1)•.40_1。，且/题尸=90二；.血)1平面8",..40_1孤

如图建系，以蜀为坐标原点，ON为X轴，"为尸轴，为z轴，建立空间直角坐标

系，

则K(0.0.2)；C(0.2.0)；N.O。，丽=(2.Y.2),CD=(O.2.0)

c.BECDR

CDS。=1--

设异面直线整和CD所成角的大小为®，则|8E||CD|3

所以异面直线BK和CO所成角的大小为3

(2)如图，连结EC,过3作CD的垂线，垂足为N,则3N_L平面COEF,且3N=2.

,*,VEF-ABCD-VE-ABCD+Vs-

«^=--(4»2)22f--222=—

ECFJJJ2JLJ.

16

几何体EP-ABCO的体积为3.

(3)设a三乂0),则&2=(".T),由题意知&0与CD所成角的大小为3

旦丽a-2y

所以丁一|福而/々+丁”2

化简得84

所以曲线r的形状是双曲线.

【点睛】本题考查了利用向量法求异面直线所成角，考查了组合几何体体积的计算，考查

了学生的空间想象能力与运算能力，属于中档题.

22.(本小题满分12分)

如图所示，茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学完成某道数学题的得分情况.乙组某个数

据的个位数模糊，记为-J已知甲、乙两组的平均成绩相同.

(1)求X的值，并判断哪组学生成绩更稳定；

(2)在甲、乙两组中各抽出一名同学，求这两名同学的得分之和低于20分的概率.

(1