第9课时43归纳推理教材

第9课时

第四章数学推理

第三节归纳推理

隋唐时期，我国诞生了一个大医学家，他的名字叫孙思邈.孙思邈少年时身体不好，从此发奋学医，他总结了唐以前的临床经验和医学理论，收集了方药、针灸，著有《千金要方》和《千金翼方》，后人尊称他为“药王”.孙思邈不但勇于实践，还善于从实践中总结经验.有一次，他来到城里给人看病.一个有钱的财主连忙把他请去，说：“先生，快治治我的病吧！”孙思邈一看，就知道那人得的是脚气病，足胫肿大，肌肉疼痛，软弱麻木无力.他根据医书，给病人开了药方.不久，从乡下来了一个富人，看的也是脚气病.后来陆续来了几个有钱的人，都是脚气病.孙思邈就十分奇怪：为什么这些城里乡下的有钱人都得了脚气病？是不是这里的水土有问题？孙思邈走到贫苦的人家去打听：“你们有谁得过脚气病？”“什么是脚气病？”那些平民不明白.孙思邈就向他们作了解释.“噢，这种病，我们穷人从来不得，那是富人常得的病.”穷人们的话中充满了自豪.

孙思邈查问了许多城里乡下的穷人，发现穷人确定是不得脚气病的.他想：这就是说明脚气病的原因与水土无关.如果与水土有关，那么穷人也应该得这种病呀！不与水土有关，很有可能与饮食有关，不是多吃了什么，就是少吃了什么.他分析，富人吃的是荤腥细粮，而穷人吃的是素食粗粮.问题很有可能出在这里面.引子：孙思邈巧治脚气病

孙思邈把细粮与粗粮两相比较，发现精米、白面虽然好吃，但是缺少了米糠、麸皮.他想，有钱的人得脚气病可能是缺少米糠、麸皮而引起的吧！根据这个设想，他决定试用米糠、麸皮来治脚气病.“什么？你竟然叫我们吃这些东西？这是猪兔吃的.”富人开始十分不满.但想到孙思邈的名声，也就试了试，结果非常灵验.“孙先生真是神人啊！妙手回春，手到病除.”病人们个个翘起了大拇指.后来，孙思邈又发现杏仁等中药，对脚气病也有疗效.现在科学医学早已证明，脚气病是因为身体里缺少维生素引起的.而米糠、麸皮、杏仁中含有较多的维生素B.引子：孙思邈巧治脚气病评注：孙思邈就是运用逻辑中的求同求异共用归纳法找出脚气病的病因的.孙思邈首先将患脚气病的所有富人加以比较，发现他们各人的性格、脾气等都不同，但有一个共同点，就是吃精米白面，由此得出，吃精米白面得脚气病.其次将不患脚气病的所有穷人加以比较，发现他们各人的情况也不尽相同，但也有一个共同点，就是没有精米白面吃，由此得出，不吃精米白面（即吃粗粮）不得脚气病.最后将这两种情况加以比较，得出结论：吃精米白面是得脚气病的原因.归纳法在科学研究与证明创造中有广泛应用，本节介绍归纳推理的基础知识.归纳推理（方法）：以个别（或特殊）的知识（命题）作前提，导出一般性知识为结论（新命题）的推理方法

.

归纳推理概述认识论的角度：归纳是由个别、特殊到一般的一种认识过程，即通过对特例或事物的一部分进行观察与综合，进而发现和提出关于一般性结论或规律的过程，这是通过揭露对象的部分属性过渡到对象整体属性的过程，归纳的本质就是从已知探索未知；归纳的最大特点是，虽然考察的只是若干个别现象，但是所得结论却能超出考察的范围.认识论的过程简单枚举归纳（第一归纳法）：从一一枚举的经验事实中寻找其规律性，是概括经验事实的最简单方法

直觉归纳（第二归纳法）：较高层次的归纳。在这里，“归纳”指的是一种直觉思维过程：人们从某个随机的子集合中发现某种共同的性质和关系，于是顿悟式地把这种性质或关系推广到整个事件集合中去。归纳推理概述经典逻辑完全归纳法：完全归纳推理（或称完全归纳法）应归属演绎推理（论证推理）而不是归纳推理不完全归纳法：归纳推理就是指不完全归纳推理，或称不完全归纳法，或称经验归纳法，或称实验归纳法，或简称归纳法等等.枚举归纳推理枚举归纳推理（简单枚举法）：根据某种属性在部分同类对象中的重复而没有遇到反例，从而推出该类对象的全部都有某种属性的归纳推理.例如：假如有一袋大豆，把这袋大豆仔细搅拌之后，从中取出一撮子，发现每一粒都是优质的，没有发现非优质的大豆，这时就可以说得到了某种合理的根据，来推断这一袋大豆全部是优质的。（i）前提中被考察的对象数量越多，范围越广，结论的可靠程度就越高；（ii）注意考察可能出现的反例.因为在前提中只要发现一个反面事例，结论就会被推翻.为提高枚举归纳推理结论的可靠性，以免“以偏概全”或“轻率概括”，要注意两点：

趣说枚举归纳推理——著名数学家华罗庚

从一个袋子里摸出来的第一个是红玻璃球，第二个是红玻璃球，甚至第三个、第四个、第五个都是红玻璃球的时候，我们会出现一种猜想，是不是这个袋里的东西全部都是红玻璃球？但是，当我们有一次摸出一个白玻璃球的时候，这个猜想失败了.这时，我们会出现另一个猜想：是不是袋里的东西全部都是玻璃球？但是，当有一次摸出来的是一个木球的时候，这个猜想又失败了.那时，我们会出现第三个猜想：是不是袋里的东西都是球？这个猜想对不对，还必须继续加以检验，要把袋里的东西全部摸出来，才能见分晓.趣说枚举归纳推理——英国哲学家伯特兰•罗素在火鸡饲养场里，有一只火鸡发现：第一天，主人一打铃后就给它喂食.然而，作为一个卓越的归纳主义者，它并不马上作出结论，它继续搜集有关主人打铃与给它喂食之间的联系的大量观察事实；而且，它是在多种情况下进行这样观察的：雨天和晴天，热天和冷天，星期三和星期四…….它每天都在自己的记录表中加进新的观察陈述。最后，它的归纳主义良心感到满意，通过归纳推理得出了下述结论：“主人打铃后就会给我喂食.”可是，事情并不像它所想象的那样简单和乐观。在圣诞节前夕，当主人打铃后它跑出觅食时，主人却把它抓起来并把它宰杀、烹调之后，送上了餐桌.于是，火鸡通过归纳而得到的结论就被无情地推翻了.那么，爱作归纳的火鸡最终被送上了餐桌，这究竟怪谁呢？或者说，火鸡究竟错在哪里呢？枚举归纳的程序枚举归纳推理，通常建立在观察与实验的基础之上.一般说来，枚举归纳法的程序为：（1）从具体问题或具体素材中枚举各种特殊情况进行考察.在这个环节中，要尽量选择相互差异较大或较典型的情况加以考察，这是归纳的前提材料.（2）整理从枚举的特殊情况中得到的材料和各种信息.这个环节是很重要的，能否获得归纳结论往往与前提材料的整理有很大关系.通常根据不同的设想和需要，从不同的研究角度去整理.（3）形成猜想.即对整理好的材料和信息进行分析、比较，探索其共性，然后归纳出一般情况的猜想.上述步骤可简单概括为“试验——归纳——猜想”.与枚举归纳有关的几干著名数学猜想费马猜想：“将一个立方数表为两个立方数和；一个四次幂表为两个四次幂和；或者，一般地将高于次幂表为两个同次幂和，这是不可能的”

哥德巴赫猜想：“任何大于的奇数都可以分解为三个质数之和.”

角谷猜想：任取一个大于的自然数，反复进行下述两种运算：（1）若是奇数，就将该数乘以再加上；（2）若是偶数，则将该数除以.从任何的奇数出发，反复进行（1）（2）两种计算，最后必定得到.

例说枚举归纳法在数学解题中的应用例如:将2008分成若干个正整数的和，求这些正整数乘积的最大值.

因果归纳推理因果归纳推理（因果归纳法）：以因果律（有因必有果）为主要根据，依据对某类事物中部分对象与某种属性之间所具有的因果关系的分析，推出该类事物的全部对象都有某种属性的归纳推理.发现黄曲霉素是致癌物质:上世纪60年代以来，人们发现用发霉的花生喂养鸡、鸭、鸽、羊、猫等动物，他们大批地患癌症死掉.后来一些科学家专门用白鼠做实验，白鼠吃了发霉的花生，也成批地患癌症死掉.科学家对发霉的花生进行严格的化学分析，发现它们含有大量的黄曲霉素.又经过反复实验，发现黄曲霉素是强烈的致癌物质，终于揭示了大批动物吃发霉花生死亡的原因.

鸡大量食用发霉花生成批死去，鸭大量食用发霉花生成批死去鸽大量食用发霉花生成批死去羊大量食用发霉花生成批死去白鼠大量食用发霉花生成批死去……因果归纳推理发现黄曲霉素是致癌物质推理过程：……归纳推理的逻辑形式

所以，所有S都是P如果S那么Q，如果Q那么P”用来表示对象S与其属性P之间具有因果联系.因果归纳法在重要数学公式中的应用“欧拉公式”的发现……欧拉曾观察一些特殊的多面体，如立方体、三棱柱、五棱柱、三棱锥、四棱锥、五棱锥、八面体、塔顶体（正方体上放一个四棱锥）截角立方体（即立方体截去一个角）等，将每个多面体的F、V、E数出来，并列出下表：“欧拉公式”的发现首先考虑特殊的多面体的面、顶、棱数目:①面的数目是否随着顶点的数目的增大而增大？②棱是否随面或顶点数目增大而增大？进一步考虑是否有“任何多面体的面数加顶点数与棱有同增趋势”:

然后再研究一个特殊的多面体，即一个镶嵌画的框架状多面体，它可以看成是一根很长的三棱柱杆，分成四段后装配而成的

.得出猜想：“任意多面体的面、顶、棱数满足：V+F-E=2.

修正并正确叙述猜想：任何凸多面体的面、顶点和棱的数目满足关系式

V+F=2+E运用“静——动”转换（作“拓扑变换”）的证明猜想将所给多面体去掉一个面，再将多面体剩余的表面（设想多面体是由富有弹性的材料做成）展开成为一个平面网络图，这时顶点数和棱数都没有变，而面数减少了，于是定理的证明归结为对平面网络图证明“V+F-E=1”

将平面网络图作如下的三角形划分，在左图中，每画一条对角线（图中的虚线），增加一条棱、一个面，顶点数不变，故V+F-E不变；再从作过三角形划分的平面网络图中以某种顺序（从外到里）将三角形一个个移走，每移走一个三角形，减少一棱、一面，或减少两棱、一面、一顶点，则V+F-E仍保持不变.移到最后只剩下一个三角形，对这个三角形而言，V+F-E=1正确.从而猜想正确.“欧拉公式”的发现“欧拉公式”证明方法：因果归纳推理常用方法

……共变法

共变法：根据被研究现象出现并发生变化的若干场合中，只有一个情况与被研究现象一起发生变化，由此推断该现象与被研究现象有因果联系

增兵减灶

公元前342年，魏国派兵攻打韩国.韩国向齐国求救.齐宣王派田忌和孙膑带兵救援韩国.孙膑又使出他“围魏救赵”的老法子，不去救韩，引兵直接去攻打魏国.庞涓接到魏王的告急文书，只好退兵赶回去.这时，齐国的兵马已经深入魏国了.庞涓下马查看齐军扎过营的地方，发现齐军的营盘占了很大的地方.他叫人数了数做饭的炉灶，足够万人吃饭用的.“妈呀，怎么这么多人？”庞涓吓得说不出话来.

第二天，庞涓带着大军继续追赶，赶到齐国军队刚扎营的地方，仔细数了数炉灶，只剩了两三万人用的了.庞涓这才放了心，笑着说：“我早就知道齐军都是胆小鬼，万大军到了魏国，才三天工夫，就逃散了一大半.哈哈哈！”他舍弃步兵，带着轻锐部队日夜兼程地按着齐国军队走过的路线追上去.共变法

——增兵减灶

一直追到马陵（今河北大名县东南），此时天已黑了.马陵道在两座高山之间，山路旁边都是深涧.庞涓恨不得一步赶上齐国的军队，吩咐大军摸黑往前赶.忽然前面的兵士回来报告：“前面的山道被木头堵住了.”庞涓上前一看，果然见道旁的树全被砍倒了，只留下一棵最大的没砍.细细看去，上面影影绰绰好像写着几个大字.庞涓叫兵士拿火.几个兵士点起火把一照，树上写的是：“庞涓死于树下.”庞