第15章 波动教材

波动第十五章石子落在水面产生水波比较常见的机械波-水波当你向池塘扔一块石子，将看到形成的水波以圆圈的形式从振源开始扩散。波动推动着水，从石子击打水面的地方向外扩散；因此运动着的水携带着能量向外扩散。波仅仅使水发生上下运动，不会发生从中心向外的能量传递波仅仅使水发生上下运动，但是波可以携带能量从石子击打水面的地方向外传播。哪个说法对呢？开篇问题----请猜一猜比较常见的机械波-细绳上的波其他形式的波-电磁波波与振子的运动速度波沿着细绳传播的速度和细绳上质点运动的速度相同吗？思考：是波将海水从远海带到了岸上吗？波可以传播很远的距离，但是介质（水和细绳）本身的运动范围却非常有限，介质仅仅是在平衡位置附近做简谐振动。§15-1波动的特征脉冲向右传播一个传播的波包就相当于一个扰动振源相邻质元之间的结合力导致了波包的向前传播随着手(振源)的上下快速抖动，在绳子（弹性介质）上形成了一个单独的脉冲。机械波产生的条件：

振源+弹性介质如果振源作简谐振动，并且介质具有良好弹性，那么波随时间和空间的演变都具有正弦的形式。空间上：如果在某一时刻给波动拍一张照片，波随着位置的变化将具有正弦或余弦的形式。时间上：如果观察介质中的某一质元的运动，会发现其作某一方向的简谐振动。正弦波描述正弦波的物理量波形中的最高点叫做波峰(crest)，最低点叫做波谷(Trough)振幅是A：表示波峰的高度/波谷的深度两个相邻波峰间的距离叫做波长，用希腊字母λ（lambda）表示。波长等于任意两相邻等效点间的距离。频率f：单位时间内通过某一点的波峰/完整周期的数目周期T：两个相邻的波峰通过空间同一点所需要的时间波速v：波峰（或者波形上任意一点）向前传播的速度。波在一个周期T的时间内，向前传播的距离是一个波长λ｝例如，波长5m，频率3Hz的波，由于每秒有三个波峰通过某一点，而波峰与波峰之间的距离是5m，因此，第一个波峰在1s的时间内将向前传播15m的距离，波形中的其他任意一点也是如此。所以，波速是15m/s。思考题：假设水波相邻的两个波峰穿过码头的末端的时间间隔是0.5s，那么（a）频率是0.5Hz；（b）波速是0.5m/s；（c）波长是0.5m；（d）周期是0.5s§15-2波的种类：横波与纵波（a）横波：波沿着绳子从左向右传播，绳子上的质点在垂直于波的传播方向上下振荡（b）纵波：介质质点的振动方向和波的传播方向是一致的

注意：在固体中可以传播横波或纵波，在液体、气体(因无剪切效应)中只能传播纵波。振动方向传播方向波谷波峰波密波疏横波和纵波横波：纵波：纵波的特征纵波具有波长、频率和波速的概念。波长是两个相邻的波密（或两个相邻的波疏）之间的距离；频率是每秒波疏/波密穿过固定点的数目波速是每个波疏/波密向前移动的速度，大小等于波长和频率的乘积，

横波的速度波的速度取决于波传播过程中的介质的特性。如：被拉伸的细绳中横波的波速，其大小依赖于细绳上的张力对于小振幅的波，波速：

以及细绳单位长度的质量（希腊字母mu，）；如图，一列波沿着绳子向前传播。当一个人的手上下抖动绳子，抖动的频率是2.0Hz；这时波以4.0m/s的速度向右传播。如果手抖动绳子的频率由2.0Hz增加到3.0Hz，那么此时的波速是（a）1.0m/s，（b）2.0m/s，（c）4.0m/s（d）8.0m/s，（e）16.0m/s例题一根长80.0m直径2.10mm的铜导线，系在两电线杆之间。一只小鸟落在铜导线的中央（取t=0时刻），并同时沿着铜导线向两电线杆方向发送一个小的波脉冲，脉冲波在电线杆处发生反射后又回到小鸟落点的时刻t=0.750s.试求铜导线上张力的大小。解题思路：从公式15-2可以得到，张力速度v等于距离除以时间。铜导线单位长度的质量可以由铜导线的密度和尺寸来计算解：波包的传播速度v=（80.0m/0.750s）=107m/s于是张力:纵波的波速纵波的波速和绳子上的横波波速（公式15-2）有相似的形式，E表示材料的弹性模量是材料的密度B表示材料的体弹性模量是液体或气体的密度例题：回声定位是很多动物所使用的一种感知世界的能力，比如蝙蝠、锯齿鲸、海豚等。这些动物发射一个声波脉冲（纵波），这个声波脉冲被周围物体反射以后，又再次被动物接收、感知。回声定位的声波频率是100,000Hz.（a）试估算海洋动物回声定位声波的波长；（b）如果障碍物距离海洋动物100m，试问，海洋动物发射声波以后多久能够接收到被障碍物反射的声波？解题思路：利用公式15-4，表12-1和表13-1，我们能够计算纵波（声波）在海水中的速度。波长解：（a）纵波在海水（海水的密度比纯净水稍大）中的波速可以得到：（b）声波脉冲在动物和障碍物之间来回所需要的时间是：其他的波-地震波当地震发生的时候，可以产生横波（S波）和纵波（P波）其他的波——海浪水波是表面波的一个例子；表面波是横波与纵波的组合波动。波浪如何崩塌。绿色箭头表示局部水分子团的运动速度。§15-3波的能量波动可以将能量从一个地方传递到另一个地方。对于频率为f的正弦波，当波通过介质中的某个质元时，质元将做简谐振动，如果假设粒子简谐振动的最大位移（振幅）为A,每个粒子的能量可以表示成:对于一个在弹性介质中传播的三维波，质量代入粒子的能量公式可以得到：波的能量和振幅的平方成正比，和频率的平方成正比。能量传播的平均能流P：波的强度I定义：垂直于波的传播方向上单位面积能流的大小。如果介质是各向同性的，随着球面波向外传播，波的能量将分布在更大的面积上。于是波的强度将变成：如果假设波的能流是常数，那么波的强度I与其到振源的距离r的平方成反比：如果考虑到振源距离分别是r1和r2的两个点球面波的特征当波传播的距离增加一倍时，波的强度将减小到原来的四分之一振幅A随着r的增大而减小例题15-4

地震强度地震波穿越地壳在距离振源100km的地方被探测到的地震波强度是试求：距离振源400km的地方探测到的地震波强度是多少？解题思路：首先假设地震波是球面波，因此地震波的辐射强度随着到振源距离的平方

成反比。解：400km是100km距离的4倍，因此其地震波的辐射强度是100km地点辐射强度的§15-4波函数让我们来考察沿着x轴传播的一维正弦波，波的传播方向上的x点处质点偏离平衡位置的位移用D(x)表示，其波长是λ频率是f；A表示波的振幅（即：振动的最大位移）假设波以速度v向右传播，经过一定的时间t之后，波的每一部分都向前移动了vt的距离，如图所示：考虑t=0时刻的任意一点，如波峰位置:其位置坐标x，经过一段时间t后，波峰向前运动了vt的距离。新的波形还是正弦波，为了描述波形中同一点的振动，将（x-vt）代换公式中的x,即可得到：上式代表沿着x轴向右（x轴正方向）传播的正弦波的数学表达式——波函数根据可以将上式写成如下的形式：波函数给出了t时刻波的传播方向上，坐标为x的任意一点偏离平衡位置的位移其中周期

可化简为：其中是角频率，波数：这几种表达形式是等价在的，公式中的表示相位。

波速v通常叫做相速度，因为它表示了波的相位传播的快慢。可以表示为：对于沿着x轴向左（x轴负方向）传播的波t=0时，x=0时，正弦的角度通常包含一个初相角于是波动方程可化为——振动方程波与振动的关系一、波函数数学函数式表示介质中质点的振动状态随时间变化的关系.二、平面简谐波的波函数平面简谐波：波面为平面的简谐波.xy

平面简谐波传播时，介质中各质点都作同一频率的简谐振动，在任一时刻，各点的振动相位一般不同，它们的位移也不相同。据波阵面的定义可知，任一时刻在同一波阵面上的各点有相同的相位，它们离开各自的平衡位置有相同的位移。typO点处质点的振动表达式为：P处质点在时刻t的位移为：

波动方程：描述介质中各质点的位移随时间的变化关系.P处质点在时刻t的位移为：

因此，波线上任一点在任一时刻的位移都能由上式给出。此即所求的沿x轴正方向前进的平面简谐波的波函数。

波函数沿x轴负方向传播的平面简谐波的波函数什么样?沿x轴正方向传播沿x轴负方向传播P点落后o点P点超前o点时间时间波函数为：

波函数其它形式角波数

利用关系式，得和波动表式的意义：

上式代表x1处质点在其平衡位置附近以角频率w作简谐振动。即x

一定：令x=x1，则质点位移y

仅是时间t

的函数。即

以y为纵坐标、x为横坐标，得到一条余弦曲线，它是t1时刻波线上各个质点偏离各自平衡位置的位移所构成的波形曲线(波形图)。t一定:令t=t1，则质点位移y

仅是x

的函数。沿波线方向，任意两点x1、x2的简谐运动相位差为：x、t都变化:实线：t1时刻波形；虚线：t2时刻波形当t=t1时，当t=t1+Δt时，

在t1和t1+Δt时刻，对应的质点位置用x1和x2表示，则

令，得

在Δt时间内,整个波形向波的传播方向移动了，波速u是整个波形向前传播的速度。

沿x

轴负方向传播的平面简谐波的表达式O点简谐运动方程：y

xoP点的运动方程为：例题频率为的平面余弦波沿细长的金属棒传播，波速为如以棒上某点取为坐标原点，已知原点处质点振动的振幅为试求：（1）原点处质点的振动表达式；（2）波函数；（3）离原点10cm处质点的振动表达式；（4）离原点20cm和30cm处质点的振动相位差；（5）在原点振动0.0021s时的波形；解：由题意波长周期（1）原点处质点的振动表达式（2）波函数（3）距原点10cm处质点的振动表达式（4）两点间距离相位差（5）时的波形例题

一横波沿一弦线向右传播。设已知t=0时的波形曲线如下图中的虚线所示，波速u=12m/s。求(1)振幅；(2)波长；(3)波的周期；(4)弦上任一质点的最大速率；(5)图中a、b两点的相位差；(6)3T/4时的波形曲线.

t

=0解:

由波形曲线图可看出：(2)

=40cm；(1)A=0.5cm；(3)波的周期

t

=0(4)质点的最大速率

(5)a、b两点相隔半个波长，b点处质点比a点处质点的相位落后

。

(7)3T/4时的波形如下图中实线所示，波峰M1和M2已分别右移

而到达

和

处。

t=3T/4练习D：一列波其中x的单位是米，t的单位是秒；试求波速是多少？（a）10m/s,(b)0.10m/s,(c)40m/s,(d)0.005m/s,(e)2.5x10-4m/s例题15-5.行波，手抓住一条水平放置的弹性长细绳的左端，手上下移动的频率f=250Hz，幅度是2.6cm；绳子上的拉力140N，线密度，当t=0时，绳子的末端有一个向上的位移，1.6cm，绳子末端此时正在向下运动；试求：（a）波长（b）行波的方程。解：（a）波的速度：（b）在绳子的最左端，令x=0，在t=0时刻，波的相位并不等于零，向右传播的行波表达式的一般形式是：在t=0，x=0时D=1.6cm；于是有：因此由于于是有：化简得到：§15-6波的叠加原理叠加原理：当两列或更多列的波同时通过空间中的同一区域时，质点合振动是它们分振动的叠加。注意：对于机械波而言，当其位移较小，且位移与介质恢复力之间满足线性关系时叠加原理成立。而如果机械波的振幅很大，甚至超过介质的弹性范围，叠加原理将不再成立。大多数情况下，我们所研究的系统都是满足叠加原理的。比如：两个石头落在水面的不同点形成的水波（二维波），可以不受影响地穿过彼此而向外传播。右图中弹性细绳上有三列正弦波，分别具有不同的振幅和频率。某一时刻，三列波相遇，空间位置是x的一点上，合成波的振动是三个分振动在此位置的叠加，其位移为三个分振动位移的代数和。这一合成波不再是简单的正弦波。合成波可以看成是由许多振幅不同、波长不同、频率不同的正弦波叠加而成一个周期为T的复杂行波可以分解为若干正弦波的线性叠加任意形式的波都可以看作是一系列正弦波的线性叠加例题15-17在t=0时刻，三列波的波函数分别是：其中A=1.0m，k=10m-1,在x=-0.40m到x=+0.40m的的范围内画出三列波叠加之后得到的合成波的波形。解答：第一列波第二列波第三列波作图：一个波脉冲沿着细绳传播。如果细绳的另一端固定，反射的波脉冲将沿着反方向传播（图a）如果绳子的另一端是自由的，当一个波脉冲沿着细绳向前传播，并发生反射（图b）§15-7

波的反射与传播观察不同并解释如果细绳的末端是自由的，反射波脉冲的振动方向不发生反转，还是保持原来的振动方向而返回。如果将绳子的末端系到一个支撑点上，当波脉冲到达支撑点时，波脉冲对支撑点施加一个向上的作用力；根据牛顿第三定律：支撑点将对波脉冲有一个反方向（向下）的反作用力。这个力使得细绳上的波脉冲产生了振动方向的反转。当一个波脉冲沿着绳子传播，绳子的左端是细绳（轻绳）右端是粗绳（重绳），当脉冲由细绳一端传递到与粗绳一端的连接点时，波脉冲的一部分发生反射，另一部分继续向前传播反射波的半波损失当波从波疏介质传播到波密介质，分界面反射点不动，表明入射波在反射点反射时有相位

的突变相当于在波程上突变。这一现象称为半波损失。波线：沿波的传播方向作的一些带箭头的线。波线的指向表示波的传播方向。波阵面：在波动过程中，把振动相位相同的点连成的面(简称波面)。波前：在任何时刻，波面有无数多个，最前方的波面即是波前。波前只有一个。几个概念平面波：波面为平面球面波：波面为球面波面波线波线波面平面波球面波波线波阵面波阵面波线1、在各向同性介质中传播时，波线和波阵面垂直。注：2、在远离波源的球面波波面上的任何一个小部份，都可视为平面波。如果满足一定的条件将有可能发生干涉。两列脉冲波相向而行，相遇区域发生叠加。§15-8波的干涉a）水波的干涉。b）一个波峰（波谷）和另一个波峰（波谷）相遇将产生干涉加强。而当一个波峰（波谷）和另一个波谷（波峰）相遇时，则产生干涉相消。两列波同向传播相干条件：振动方向相同频率相同相位相同或相位差恒定

两个相干波波源S1和

S2的振动方程分别为：S1和

S2单独存在时,在P点引起的振动的方程为:P

点的合方程为:振幅A和相位f

0（合振幅最大）（合振幅最小）当

为其他值时，合振幅介于若f10=f20，上述条件简化为：

（合振幅最大）（合振幅最小）和之间波程差a中的干涉加强，是由于两列分振动的相位相同而产生的。b中的干涉相消，是由于一个分振动波峰和另一个分振动的波谷相遇造成的两列水波的相位差通常介于（图a和图b）两种情况之间；这时将会发生图c部分干涉减弱的情况§15-9波的共振驻波

驻波是两列振幅相同的相干波在同一条直线上沿相反方向传播时叠加而成的。uAl正向行波uAl反向行波绳子上有干涉相消的一些点，绳子上的这些点始终保持静止——波节。绳子上也有一些干涉加强的点，这些点始终以最大的振幅振动——波腹。两点之间产生驻波的最低振动频率如图a所示。而图b和图c所示的驻波，表示的是两倍和三倍最低频率的驻波。除此之外，绳子也可以出现四个、五个...波腹，即以四倍、五倍...的最低频率振动。它们的频率、波长之间存在倍数的关系，故称基频与倍频。OACEFGHBD波节OBDFH波腹ACEG驻波的形成过程：考虑一条两端固定的细绳，具有某频率的波将沿着绳子的两个方向传播，然后在绳子的末端反射，反射以后又沿着相反的方向传播。二阶谐频基频通常也称为“一阶谐频”三阶谐频依次类推下标n表示谐频的阶数，n=1表示基频；n=2表示二阶谐频从中可以解出：f是每种振动模式的频率，是基频；每一个共振频率都是基频的整数倍。例题15-8琴弦

一根琴弦长1.10m，质量是9.00g。（a）如果要产生一个基频是131Hz的振动，所需琴弦上的张力是多大？（b）前四阶谐频分别是多少？解：（a）基频的波长，琴弦上的波速｛得到：（b）二、三、四阶谐频分别是262Hz，393Hz和524Hz.驻波的数学表示：驻波可以看作是两列沿着相反方向传播的波的叠加驻波的合振动表达式可以写成：根据和差化积公式上式化为：由于绳子两端固定，因此当x=0,x=l处

D(x,t)必须等于零第一个条件（当x=0时，D=0，自然满