2023-2024学年辽宁省沈阳市高二年级下册4月月考数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年辽宁省沈阳市高二下学期4月月考数学

模拟试题

一、单选题

1.已知数列｛α,,｝满足%+产产，且q=J,则｛q｝的前2023项之积为()

10〃3

12

A.-3B.-2C•一D."

33

【正确答案】B

【分析】根据题意可得%+4=6，结合其周期性即可得到结果.

ιl

1∖+a1+11

【详解】n,且4=不，。，=----=2,tz=-3,a=--,a=—,,

1-43'ɪɪ3425'3

3

¾+4=a,,.：,al∙¾∙α3-α4=∣×2×(-3)×[^-∣J=1.

则｛%｝的前2023项之积为:X2x(-3)XF$=-2.

故选B

2.已知数列｛%｝为等差数列，其前〃项和为S.，q=-19,a1-a4=β,若对于任意的〃eN*,总有

S“≥Sn,恒成立，则机=()

A.6B.7C.9D.10

【正确答案】D

【分析】根据题意，求得等差数列的通项公式，从而得到数列｛《,｝前10项都是负数，从而得到结果.

【详解】设等差数列｛q｝的公差为d,

由性质知%=3d=6,则d=2,且q=T9,

贝=4÷(π-1)J=-19+(π-1)×2=2/7-21,

21

令勺＞0,得〃＞耳，即前10项都是负数，

所以SIo最小,所以∕%=10∙

故选:D

3.调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中

酒精含量不得超过0.。力咫/加工如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量将迅速上升到03%g∕〃也，

在停止喝酒后，血液中酒精含量就以每小时5()%的速度减小，问他至少要经过几小时才可以加强机

动车(精确到小时)

A.1小时B.2小时C.4小时D.6小时

【正确答案】C

【分析】设n个小时后才可以驾车，由题意得方程O.3(l-5O%)"≤0.02,解得〃即可.

【详解】设n个小时后才可以驾车，根据题意可知，每小时酒精下降的量成等比数列，公比为50%,

进而可得方程0.3(l-50%)"≤0.02,得(g)≤∖,即n≥4,所以至少要经过4小时后才可以驾驶机动

车.

故选C.

本题主要考查了等比数列的性质及实际应用，考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力，属于

基础题.

4.如果数列｛%｝满足?位-华=上(火为常数)，那么数列｛%｝叫做等比差数列，々叫做公比差.下

列四个结论中所有正确结论的序号是()

①若数列｛q｝满足竽=2〃，则该数列是等比差数列；

②数列｛小2"｝是等比差数列；

③所有的等比数列都是等比差数列；

④存在等差数列是等比差数列.

A.①②③B.①③④C.①②@D.②③④

【正确答案】B

【分析】根据比等差数列的定义况-NiL=L(Z为常数)，逐一判断①②③④是否是等比差数列即可

aa

n+∖n

可得到答案.

【详解】①数列｛“"｝满足也=2〃，则吐-&也=2(〃+1)-2"=2,

«„an

满足等比差数列的定义，故①正确；

②数列｛"2'｝,

4+2%=5+2)∙2"+25+l)∙2"M

π+n

¾+1-¾~(n+l)∙2'n-2

n∙(n+2)∙2-(∕ι+l)2∙22

==,

∕7∙(Λ+1)H∙(H+1)

不满足等比差数列的定义，故②错误；

③设等比数列的公比为q,则吐-%a=q-g=O,

fla

n+ln

满足等比差数列，故③正确；

④设等差数列的公差为d,

IJIlj_α"+ι=""+2d_a“+c∕_-d

ada

'¾+ι«„,,+nan(all+d),

故当4=0时，满足吐-NiL=0,故存在等差数列是等比差数列，即④正确；

⅛÷lan

故①③④

故选：B.

5.已知数列｛4｝的通项公式为%="+如+2,若对于“GN"数列｛%｝为递增数列，则实数&的取

值范围为()

A.k≥—3B.kN-2C.k>—3D.k>-2

【正确答案】C

【分析】由4m>4,可得々>-(2〃+1),再根据当"∈N*时,/(")=-(2"+l)单调性求解即可.

【详解】因为数列伍,J为递增数列，

所以4,+∣>4,,即("+1)~+&("+l)+2>"~+Icn+2,

整理得：k>-(2n+l),

因为当〃eN*时，/(〃)=—(2〃+1)单调递减，

∕‰=∕(D=-(2×1+1)=-3,

所以人›—3.

故选：C.

6.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问

题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解

法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理"中国剩余定理''讲的是一个关于整除的问题，

现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，

构成数列｛%｝,则4=()

A.17B.37C.107D.128

【正确答案】C

【分析】根据题意可得4-2既是3的倍数，又是7的倍数，即是21的倍数，从而可求得数列｛《,｝的

通项，即可得解.

【详解】解：因为应能被3除余2且被7除余2,

所以。“-2既是3的倍数，又是7的倍数，即是21的倍数，且”,,>0,

所以4-2=21("-1),即可=21〃-19,

所以6=21x6-19=107.

故选：C.

7.数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列｛%｝：1』,2,3,5,8,,其中从第3

项起，每一项都等于它前面两项之和，即4=%=1，%+2=。向+%，这样的数列称为“斐波那契数列

若q“-4=23+4+/+∙+4"+42O),贝山”二()

A.122B.123C.124D.125

【正确答案】A

【分析】根据题意得到4=%+2-。田，再利用累加法可以得到5“+1=《,*2,进而可以求出结果.

【详解】由从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，

4=4=L4+2="向+凡(〃eN),得an=an+2-¾t1,

所以4^n=an+2-an+l,

将这«个式子左右两边分别相加，

可得5,=4+%++%=",+2-l,

所以S3+1=4+2.

所以2(4+%+为++α,∣7+αl20)=αl+α2+a3++α119+αl20=«122-1=α122-al,可得加=122.

故选：A.

8.各项均不为零的数列｛《,｝满足：«i=l,++〃(：；2)=《4*1("eN),贝ll%>∣9=()

67c1256C5049C1307

A.—B.-------C.------D.------

53100540401007

【正确答案】C

【分析】利用数列递推式的性质作差得到r⅛=q(¾+l-¾-l)，从而推得

1111

=五，进而得到叫=4+双，由此得解∙

f,1

【详解】因为g+g++∕ɔ=⅞⅞÷l(weN'),

1×32×4〃("+2)'Z

a,a.an.

所以当〃22时，诟+承++(〃T)G+1)="""，

两式相减，得√⅛=%(¾÷l-¾-l)，

t八“1Ifl1y11

因为4,HO,所以α,,+ι—%T=',ɔʌɪɔ-------^τ=Z--/，

〃(〃+2)2∖n/2+2)2n20(〃+2)

11

则—+而②=%十斤

又q=1,

所以〃2019+2x2020—6,2017+2×2018-^20'5+2×2016~^^1+2^2-4，

所以物”9二：一丛而5049

4040

故选：C.

二、多选题

9.设公比为q的等比数列｛6,｝的前〃项积为（，若。凸=16,则（）

A.a5=4B.当4=1时，^=±√2

C.log2∣7^∣=18D.a；+a；）32

【正确答案】BCD

【分析】根据等比数列下标和的性质和应用判断ABC,根据基本不等式的应用判断D.

【详解】A选项：因为W="o=16,所以0i=±4,所以A不正确；

B选项：因为4=1,q0⅛=16,则“"li=16,所以qli=16,所以＜/=±&,所以B正确;

C选项：因为4=4外a.=al,所以园=Wl=所以log?园=18,所以C正确；

D选项：“；+“；》2a3”7=2q“9=32,当且仅当“3=”7时，等号成立.所以D正确.

故选：BCD.

10.已知｛叫为等差数列，前〃项和为S.，q=10,公差d=-2,则（）

A.S4=S7

B.当”=5或6时,S“取得最小值为30

C.数列｛∣为∣｝的前10项和为50

D.当〃W2023时，｛%｝与数列｛3,w+IOaTleN")共有671项互为相反数.

【正确答案】AC

【分析】根据等差数列基本量求出通项公式及5“，即可判断A、B；判断通项大于零时"的取值，将

｛∣4,∣｝的前10项和列出，利用S,和%之间的关系及S,,的公式代入即可判断C；分析｛4｝中的负项的

性质及大小，进而判断｛3〃?+10｝(相WN)中项的性质及大小，计算项数即可.

【详解】解：因为等差数列｛%｝,且4=10,公差d=-2,

所以a.=10—2(〃—1)=-2n+12,

吆山」(10_2"+12)f+n“,

"22

所以S=T6+44=28,S7=-49÷77=28,

所以选项A正确；

S√⅛5=-n2+lln=-(«——ɔ+ɪ^ɪ,

I2)4

根据二次函数的对称性及开口向下可知：

S“取得最大值为Ss=$6=詈-；=30,故选项B错误；

记M|｝的前10项和为几，

因为q=-2〃+12,当a”=-2"+12≥°时，解得"≤6,

当a”=-2"+12<0时，解得〃>6,

所以看O=M+∣∙∣++∣fl9∣+∣0l0∣

=al+a2++a6-a-,-ai-a9-α∣0

=S6-(S10-S6)=2S6-S10,

因为S,=-〃2+11〃，所以品>=10,

所以Zo=2x3O-lO=5O,故选项C正确；

记粼=3根+10,因为4=-2〃+12,n≤2023,

所以《023=-4034,所以当〃W2023时，¾≥-4034,

由%=-2"+12,n≤2023,可知。“为偶数,

若或与M互为相反数，则仇“≤4034,且以为偶数，

由勾=3m+10,所以九-10为偶数,即3帆为偶数，即加为偶数，

B∣J3m≤4024,即∕n≤券4024，且加为偶数，所以机41341,且为偶数，

故这样的，〃有670个，故选项D错误.

故选：AC

11.已知数列｛%｝满足4=1，4川=谈]("eN"),则()

A.为等比数列

l¾

B.｛a“｝的通项公式为4=研二

Z一ɔ

C.]L∣的前”项和S,,=2"+2-3”-4

lan]

D.■的前“项和7>(”-1)2"2_3〃(；+1)+4

【正确答案】ACD

【分析】利用取倒数构造法、等比数列的通项公式、求和公式、以及错位相减法、分组求和法进行

计算.

a12+3〃“2r

【详解】因为4=1,fl所以==F~^=1+3,

aaa

乙十n+∖nn

所以一!-+3=2仕+3]，(neN*),

βa

n÷ι｛,,；

所以数列l'+3∣是以4为首项，2为公比的等比数列，故A正确；

l¾

因为数列+3是以4为首项，2为公比的等比数列，

所以_L+3=4X2"T=2"\所以故B错误；

an2-J

因为'+3=2。所以_L=2”M-3,

an4

所以的前〃项和S=(2?+23+L+2叫-3〃=4°-2)=2"+2_3〃-4,故C正确；

IAJ〃')1-2

因为一=2"”—3,所以2=〃.*一3〃,

M册

H

所以一的前〃项和

lan)

23,+l23,,t3n+1

Tn=(∖×2+2×2+.+n∙2,)-3(l+2++/?)=(1×2+2×2++∕¾∙2')-^∖

4-Λ,,=l×22+2×23++小2””，则2R,,=1X23+2X2"++n-2π+2,

两式错位相减得：-R=22+2?++2向-"∙2'"2=402)-"∙2"2,

"1-2

所以4=4+("T)2"+2,所以Z,=("T)2"+2-型”11+4,故D正确.

故选：ACD.

12.若正整数机，〃只有1为公约数，则称，力〃互素，欧拉函数以外(keN*)的函数值等于所有不

超过正整数鼠且与左互素的正整数的个数，例如：e(2)=l,奴3)=2,¢(6)=2,0(8)=4.下列说

法正确的是()

A.9(4)=e(6)B.数列®(〃)｝为递增数列

C.φ(2")=2"-'D.数列1赤的前〃项和为S“，则S“<4

【正确答案】ACD

【分析】根据欧拉函数的定义可判断ABC,求出S,,可判断D.

【详解】与4互素的正整数有L3,所以夕(4)=洌6)=2,故A正确；

因为9(4)=夕(6)=2,所以数列®(〃)｝不为递增数列，故B错误；

与2"互素的正整数有1,3,5,,2"τ,共有2"一个，所以e(2")=2"τ,

n_n

因为夕(2")一尸'

-∣c123n

所rc以rS,=吩+或+^++Fi^,

1123n

所ccιs以l尹c=丁齐+»++-)

两式相减得H+**+*+⅛^F

IxLfif

∖2√n+2

=—L——：~λ——n=2--------'

1nT

1------2

2

所以用=4一尹<4,故D正确,

故选：ACD

三、填空题

13.若5是。与的等差中项，4是4与匕的等比中项，则ɑ?+/=；

【正确答案】68

【分析】根据等差中项与等比中项的性质得到。+"外的值，再结合完全平方公式即可得到结果.

【详解】因为5是4与b的等差中项，则字=5nα+6=10

2

又因为4是。与匕的等比中项，则αλ>=42=16

则(。+域=IOOn/+/+2而=ι00

所以/+从=IOO-2x16=68

故答案为：68

14.在等差数列｛叫中，q=-2018,其前“项和为"，若*强=2,则邑侬的值为.

【正确答案】2020

【分析】由已知结合等差数列的性质及通项公式即可求解.

【详解】解：由等差数列的性质可知，为等差数列，设公差为d,

4=-2018,二1=-2018,

√%-迎=2d=2,

1210

.*.J=1T

.∙.⅛-≈-2018+2019×l=l,

2020

则S2020=2020

故2020

本题主要考查了等差数列的性质及通项公式的简单应用，属于基础题.

15.已知函数/1+g)为奇函数，且g(x)=∕(x)+l,若4=g(念］则数列｛%｝的前2022项和

为.

【正确答案】2022

【分析】由/μ+；)为奇函数，可得/(x)+∕(lT)=0,再由g(x)=∕'(x)+l,得g(x)+g(l-x)=2,

然后利用倒序相加法可求得结果.

【详解】由于函数/卜+1为奇函数，贝

即/[g-x)+∕(g+x)=0,所以/(χ)+∕(l-χ)=0,

所以g(x)+g(lr)=[/(X)+l]+[∕(lτ)+l]=2,

所以2(—+联)=21(盛卜(盖)++g(翳)

盛/g(露HgI⅛)+g(黑)卜2022](1Y

2023J+12023J=2×2022,

因止匕数歹U｛%｝的前2022项和为q+4++a2022=2022,

故2022

16.对于一个给定的数列｛4｝,把它的连续两项”,向与。”的差。向一凡记为"，得到一个新数歹∣J他,｝,

把数列也｝称为原数列｛4｝的一阶差数列.若数列也｝为原数列｛4｝的一阶差数列，数列｛cn｝为原数

列也｝的一阶差数列，则称数列｛%｝为原数列｛an｝的二阶差数列.已知数列｛4｝的二阶差数列是等比

数列，且q=2,4=3,%=6,4=13,则数列｛4｝的通项公式％=.

【正确答案】2"-n+l

【分析】运用等比数列通项公式及累加法可求得结果.

（详解】设数列｛〃,｝为原数列｛%｝的一阶差数列，｛g｝为原数列｛aπ｝的二阶差数列.

aa

则由题意可知a=ι-∖=Vb2=a3-a2=3,⅛3=a4-α3=7,cl=⅛2-⅛1=2,c2=b3-b2=4.

又｛q,｝为等比数列，故公比4=8=2,所以c“=2",即时|-2=2".

CI

当〃≥2时，N=(%-%)+(%-%)++(HW)+自=2~+2修++2'+l=2n-l,

将〃=1代入勿=2一得伉=2'-l=l,符合,

所以a=2〃-1,weN*.

所以q+「4=2〃一1,

当〃≥2时，

a,

n=(α〃一¾-1)+(¾-ι-¾-2)÷+(。2一q)+4=(2'1-1)+(2〃一2-1)+÷(2-l)÷2

=2Π",÷2N^2++2'-(∕∕-l)÷2=2,,-n÷l,

将M=I代入％=2"-〃+1得ɑɪ=2∣-1+1=2,符合,

所以%=2"-〃+1,〃eN".

故答案为.2"-〃+1

四、解答题

17.已知等差数列｛勺｝的公差为d(d>D,等比数列也｝的公比为4,且…,d=q,%=5,

%+%=6灯.

⑴求数列｛a,J,｛2｝的通项公式;

1,、

(2)记%=一ɪ~~--,求数列｛c,｝的前∏项和T11.

anT°g2%H∙2

【正确答案】(l)a“=2〃-l，N=2"T,〃eN

(2)7；,ɪɪ

2〃+1

【分析】(1)利用等差数列的通项公式和等比数列的通项公式求解即可;

(2)利用裂项法求和即可.

【详解】(I)¾=5,a2+a5=6⅛2,tzl=b^d=q,d>1

_25

4+2d=56[⅛∣=1

,∙J,,解得，J,或，:(舍)••・,

[2a^5d=6ald=』[4=2

12

l

:.an=at+(«—1)J=2n-l,bll=blq"~=2"^',π∈N*

c二1_1Jji_____!—)

c

⑵"απ∙log2⅛2,,+2(2n-l)(2tt+l)212〃-12n+↑)

-

.-.T11=lfι-l+l-l+---------」|=单-「|=」—

"2(3352〃-12n+∖)2(2M+1)2n+l

18.已知正项数列｛q｝的前〃项和为S“，4S.=a；+24,(〃eN)

(1)计算％，七，生，4,根据计算结果猜想的表达式.

(2)用数学归纳法证明你的结论.

【正确答案】⑴q=2〃

(2)见解析

【分析】⑴把〃=123,4分别代入4S,,+24(〃eN.)依次计算,根据结果容易猜想册

的表达式；

(2)按照用数学归纳法证明命题的两个步骤，利用为+1=51-5«=；(片7+2%+「d-24),对该

式朝目标化简整理即可.

【详解】(1)根据也｝为正项数列，则

当〃=1时，4q=a；+2%,解得4=2或0(舍)，

当〃=2时，4“+4d⅛=蜡+2%，解得的=4或一2(舍)，

当〃=3时，44+44+4%=〃；+26,解得%=6或Y(舍)，

当〃=4时，4q+4/+4%+44=。：+2%,解得。4=8或-6(舍)，

故猜想〃〃=2〃.

(2)①当，=1时，显然成立

②假设当〃=Z,左≥2,左∈N*时4=2%,则当〃=%+1时，%+∣=S〃+1-54=；(无]+2%+]-a；-2%)

=:(""2%∣-4公-4k)

4矶=。3+2矶-软2-4.

,

..⅛+I-⅛-4Λ(⅛+1)=0

即：(¾+1+2⅛)[¾+,-2(Λ+l)]=0

∙.∙α<,>0,.∙.α*+∣+2A>0,.∖%+∣=2(Z+l),即当”=4+1时，结论成立.

综上所述，由①②可知见=2".

19.已知数列｛叫满足4=1,%+∣-5+l)q,=〃(〃+1),设a="

⑴求证数列也｝为等差数列，并求也｝的通项公式；

(2)若q,=(为-1)+2%,求数列｛g｝的前n项和S

【正确答案】(1)证明见解析，bn=n

(2)n2+2π+,-2

【分析】(1)将条件等式两边同时除以〃(〃+1)后即可证明；

(2)代入"=〃，然后用分组求和法求和.

【详解】(1)由也用-(〃+1)4,="("+1)得央一组=1,

即b“+i-b“=1,又瓦=%=I,

数列｛2｝是以1为首项，1为公差的等差数列，

.∙.⅛=1+(∏-1),g∣Jbn=n.

(2)由(1)得ς,=(2〃-1)+2",

.∙.S,,=(1+2)+(3+22)+(5+2)++(2π-l)+2,,

=(1+3+5++2H-1)+(2+22+23++2”)

(l+2n-l)n2(l-2")

=ʌ---------L+」----L=n22+2n+l1-2-

21-2

20.已知数列｛《,｝为等差数列，5“是数列也｝的前"项和，且生=3,Ss=25,数列他｝满足

,

aybλ+a2b2+∙∙∙+aπbn=(2∕ι-3)×2'+3.

⑴求数列｛《,｝、也｝的通项公式;

(2)令G啜,证明：cl+c2+∙∙∙+cn<6.

π

【正确答案】(IM=2〃-1,bn=2-'

⑵证明见解析

【分析】(1)利用等差数列基本量代换求出4=2〃-1,利用前〃项和的定义求出勿=2"T；

(2)用错位相减法求和后即可证明.

【详解】(1)设等差数列｛4｝的公差为d

%=4+d=3

因为的=3,£=25,所以5×4,

S5=5a,+^γd=25

解得：H'L所以a,=4+(〃T”=2〃T.

∖a-λ

因为数列也｝满足3+«A+…+α也=(2"-3)x2"+3,

所以"=1时，⅛aλbi=(2×l-3)×2'+3=1,解得.4=1

当“22时，a,,b,,=[(2π-3)×2π+3]-[(2n-5)×2"-1+3]=(2n-l)×2,'-1,

因为4=2〃-IK0,所以2=2"τ.

经检验，"=2"τ对〃=1也成立，所以"=2∙τ.

a2n-1,、

(2)由(1)知，％=,n=9^.记],是数列｛£,｝的前”项和.

则(=4+0+,,,+%/+[++^zrɪ①，

①式同乘以T得：；北=:+1++勺」•②，

乙LLLL

C内3ITl2222n-∖

①-②得：-5τn=-+-+-+

1×[1√1Γ'

所以TɔɪɔL'2JJ2rt-l2rt+3

切以[,=2+2χj—ɪ—4-｝k=6-三「

1—

2

因为〃eN∙,所以簧＞0,所以7＞6-竽＜6.

21.已知等差数列｛%｝的前〃项和为S“，且卬=13,S6=72,数列出｝的前〃项和为7；,且

37L=4⅛-4.

⑴求数列｛4,,｝,也｝的通项公式.

⑵记q,="⅛能%,若数列｛g｝的前〃项和为。“，数歹U｛m｝的前〃项和为此，探究：旦旦是

2SJ

否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

【正确答案】（IM=2"+5,⅛=4"

（2）是定值，定值为2

【分析】（1）求出等差数列｛%｝的首项与公差，即可求得数列｛q,｝的通项公式，再根据

Tt,n=]

b“=即可求得｛勿｝的通项公式;

Tn~Tn.l,n≥2

(2)根据等比数列前〃项和公式可求得数列｛m｝的前n项和为(，利用错位相减法求得数列｛cl,｝的

前〃项和为从而可得出