高中数学必修1-5常用公式定理总结

高中数学必修1-5常用公式(定理)

1.集合的交集、并集、补集.

(取A、3的公共元素)；AB(取A、3的所有元素但不重复);

为A全集。中除了A中元素之外的元素

2.子集与真子集：若集合A中有77个元素，则集合A有2〃个子集，2"-1个真子集.0

是任何集合的子集.

3.二次函数丁=。%2+公+。(力()).可化为y=a(x+3y+”士(心0)

2a4a

它的图象是抛物线，对称轴为-，顶点坐标为(-白，竺?2);

2a2a4a

二次函数的3种解析式：

(1)—4殳式：/(x)=ax2+bx+c(«^o);

(2)顶点式：f{x}=a{x-h)2+k(a^o)；

(3)零点式:/(%)="(%-再)(%-％2)(470)•

4,函数的单调性.

(1)设西・玉£[。,可，-wj,则

(七一九2)[/(%)-/(%2)]>°O/("[J(々)>0O/⑶在&句上是增函数；

石一工2

(占一％2)[/(%)一/(%2)]<。0小在["力]上是减函数.

(2)函数y=f(x)在某个区间内可导,若广⑺>0,则/(x)为增函数；若/。)<0,

则/(%)为减函数.

5.函数y=/(x)的图象的奇偶性.

(1)函数的定义域必须关于原点对称;

(2)若/(x)是奇函数，那么/(-x)=-/(x),若/(x)是偶函数，那么

/(—X)=/(%)=，(|%|)

(3)定义域含零的奇函数必过原点,即/(O)=o.

(4)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.

6.函数y=/(x)的图象的对称性.

函数V=/(%)的图象关于直线％。对称

<=>f(a+x)=f(a—x)<^>f(2a—x)=/(x).

7.两个函数图象的对称性.

(1)函数y=/(x)与函数y=/(-X)的图象关于直线％=0(即y轴)对称；

(2)函数k/(X)与函数户-/(%)的图象关于直线y=0(即X轴)对称；

(3)函数y=/(X)与函数尸-/(-X)的图象关于原点对称;

X4周数y=/(%)和y=Tx(x)的图象关于直线y=%对楸广'(%)是/(x)的反函数).

8.函数y=/(©的周期性：若/(犬+7)=/(%),7V0,则/(尤)是以T为周期的函数.

fn_一”|

9.分数才旨数鬲：an=W7(a>O,m,neN",且〃>1)"=—(a>O,m,tieN*,

疯

且〃>1).

10.指数的运算公式：屋优=am+n;勺=a'"-n;("")"=V;{abyn=ambm

11.对数的运算公式：

log“N=bo/=N(a>。且aW1,N>0).a砥N=N(a>0且aw1,N>0).

\oga(MN)=log„M+logaN;log"(义)=log“log.N.

losNft

换底公式：log.N=产一.log,"b"=一log。h.

log,"am

12.零点：函数y=/（x）的图象与x轴交点的横坐标（当y=0时，X的值）.

零点存在定理：若函数y=/（%）在区间3,b］上的图象是连续的，且有/⑷•f（b）＜0,

则/（X）在（“/）内至少有一个零点.

13.棱柱、棱锥、棱台的侧面积和体积：

1

S圆柱侧；S圆锥侧=〃"；S圆台侧="（4+弓）/；S直棱柱侧=c〃;S正棱锥侧;

11

S正棱台侧=］（c+c）A；V柱体=S/z;%体=§S/z;

/体=；（S上+S下+JS上・5下）〃.

、4；

14.球的表面积和体积：设球的半径是R,则其表面积S=4»R2,体积丫=耳乃*.

15.线面平行判定定理：若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此

平面平行.

线面平行性质定理：若一条直线与一个平面平行，过该直线的平面和此平面相交，

则该直线和交线平行.

16.面面平行判定定理：若一个平面内有两条相交的直线都平行于另一个平面，则这两

个平面平行.

面面平行性质定理：若两个平行平面同时与第三个平面相交，则它们的交线平行.

17.线面垂直判定定理：若平面外的一条直线垂直于平面内的两条相交直线，则该直线

垂直于这个平面.

线面垂直性质定理：若一条直线垂直于一个平面，则该直线垂直于此平面内的任意

一条直线.

垂直于同一个平面的两条直线平行；垂直于同一条直线的两个

平面平行.

18.面面垂直判定定理：若一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直.

面面垂直性质定理：若两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线

垂直于另一个平面.

19.三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么

它也和这条斜线垂直.

在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和

这条斜线的射影垂直.

20.斜率公式：左=tana=,x,x).

X?一%2

21.直线的方程：

(1)点斜式：y-y0=Kx-x0)；

(2)斜截式：y=kx+b(〃为直线/在y轴上的截距)；

XV

(3)截距式：-+看=1(注意：①截距不是距离；②过原点的直线也具有横、纵

ab

截距相等的特征)；

「八y-Vix—Xi

(4)两点式：--—(玉wz,y);

了2一%/一%

(5)一般式：Ax+By+C=0(其中A、3不同时为0).

22.两条直线的平行与垂直.

(1)若［：y=匕％+2,l2：y=k2x+b2,①/J/"o占=k?,b\手b?；

②4_L4o%1k2=—1.

(2)若小3耳丁+4=04：4%+%+。2=0,且A、4、与、鸟都不为零,

①/1///,=。;(2)/1_LZ24Al+用为=0.

23.平面两点间的距离公式：若A(x，y),BG，%),则|AB|=J(5%)2+(y2f了.

24.空间两点间的距离公式：若A(玉,%，4),B(%2，%*2),则

|AB|=J(%2-九1)2+(%-X)2+仁2-Z])2.

25•点到直线的距离：d」号+为。：°(点P(%o，%),直线/:Ajc+By+C=0);

，A~+8~

平行线间的距离：d=(直线4：Ax+为+£=。，直线4：

Ax+By+C2=0).

26.圆的方程：(1)圆的标准方程：(x-a)?+(y-A)?=r*12*4,圆心为(〃/),半径为r;

(2)圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(£)2+E2-4F>0).

27.直线心+为+。=0与圆(x-4+⑶-32=产的位置关系的判定方法：

(1)d>ro相离oA<0；(2)d=ro相切。A=0；(3)d<ro

相交oA>0.

28.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为。一。2，半径分别为：4，2,|。。2卜d.

(l)d>4+2=外离；(2)。二4+2=外切；(3)人一』<4<《+弓。

相交；

(4)”二|弓一目=内切；(5)。<4<卜一寸=内含.

29.直线与圆锥曲线相交的弦长公式:

|阴=Ja-%2)‘+(y=k-zI,《i+匕=J(i+F)[(%i+工2)2-44工21・

1___

22

30.方差:S=—[(%1-x)2+(x-x/+---+(x-x)]；标准差：

n2/?

S=《[(—尸+(ZF+…+(X“F].

31.古典概型的概率P(A)=一()表示随机事件A包含的基本事件数，"表示试验的所

n

有基本事件数).

32.几何概型的概率尸缶)=9(4表示事件A发生区域的几何度量，〃表示试验中总

区域的几何度量，如长度、面积、体积等).

33.任意角(逆时针旋转一正角，顺时针旋转一负角)：与？终边相同的角的集合：

{/3\/3=a+2kji,k&Z].

34.弧度制：(1)\a\=-,l=\a\-r；(2)180=兀rad;1rad«57.3;(3)扇形

r

面积5=；〃=3国产.

35.任意角的三角函数：一般地，设角a终边上任意一点的坐标为(％,y),它与原点的

距离为r(r>0),

则sina=，cosa--tan«=-(x0).

rrx

sin8

36•同角三角函数的基本关系式：，图+.一，tane:砧，tane—.

37.诱导公式(口诀：纵变横不变，符号看象限)：如sin(〃+a)=-sina,

JT

sin(y+a)=COSCl等.

38.两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角、降幕公式:

sin(<7±/3}=sinacos/3±cosasin(3;cos(a±/?)=cosacos/?.sintzsin(3

/,八、tana±tan0

tan(a±£)=---------—

17tanatan(3

sin2a=2sinacosacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

c2tan。

tan2a--------~~

1-tan-a

2l+cos2tz.2l-cos2cz2tana

cosa=-------,sin-a=*(sin2a----------

22'1+tan*-a

c1-tan2a、

cos2a=--------).

1+tan2a)

39.辅助角公式(合一思想)：<2sindf+Z?COSdf=y/a2+b2sin(tz+(p)(其中tan。=2)

a

40.正余弦"三兄妹"sinx±cosx、sinxcosx的内在联系：

(sinx±cosx)2=1±2sinA:cos%=1±sin2x.

41.正弦定理：-^-=-^-=-£-=2R(R为外接园的半便)、「

sinAsinBsinC忘了大+3+C="

Z,2,2_2

42.余弦定理：cr=b2+c2-2bccosA;cosA=---------.

2bc

43.三角形的面积公式：S^MinC制叫=4"a+"c)(其中厂为三角形内切圆半

径).

44.中点的坐标公式与△ABC的重心坐标公式：若A（x，y）,B（%，%）,C（七,％）,

则AB的中点为尸（岩二江产），△ABC的重心坐标为

G（-5-'—3）•

45.已知两点求向量坐标：若A（±，X）,B（x2,y2），则AB=（9-8，％-/）・

46.向量的模公式：已知。=（玉,y）,同二疗二心：+川,/.

47.向量的数量积与夹角公式：已知。=（不,%），》=（々，%），

ab=|«|-|Z>|cos^=%1X2+；

cos<a,Z>>=cos/=i^=/.

同•例收+城.&2+%2

48.向量的平行与垂直:（1）平行：。一/M=。（。。。）;

（2）垂直：a。•方=0<=>%]%2+%%=。­

S.,n=l

49.已知前〃项和S〃求通项公式：

〔。一5,1，心2.

50.等差数列的通项公式：an=a}+（n-l）d;a,”+a“=%,+%（其中加+〃=〃+q）.

2

等差数列的前〃项和公式：S,,==na1+〃0；1）d=-1H+（a1-gn.

5i.等比数列的通项公式：%=4gl；4"•%=4・%（其中根+〃=p+q）.

a,（\-q"}a,-anq

等比数列的前〃项和公式：S,=1-q~\-q冯

〃q=1.

52.