2022-2023学年高一数学 人教A版2019必修第一册 同步讲义 第12讲 函数值域的六中常见求法 含解析

第12讲函数值域的六中常见求法

题型一：直接法(直接利用不等式的性质，由定义域X的取值范围，推出y的取值范围)

2

【例1】函数y=——的定义域是(—8,1)142,5),求值域。

x-1

【答案】(―8,0)0(g,2

22

【详解】解法一：图象法：由题意知函数y=-是由y=—向右平移1个单位得到，画出

x-17X

函数图象易得值域为(-s,0)u1g,2

解法二：直接利用不等式性质：因为x<l或2≤x<5,所以x—1<0或l≤x-1<4,所

以」一<0或,<—l-41,所以二一<0或L<」一≤2

X-14X—1X—12X—1

【例2】函数y=J16—尤2的值域是

(A)[0,+∞)(B)[0,4](C)[0,4)(D)(0,4)

【答案】B

【详解】因为χ2≥o,所以—f<o,所以0≤i6-χ24i6,所以0≤J16-尤2≤4

v∙-L1

【例3】(2022•全国•高三专题练习)函数y=当(x>3)的值域是()

A.(l,+∞)B.(0,+∞)C.(3,+∞)D.(4,+∞)

【答案】A

γ—4:444γ-L1

解：y=l又Λ>3.∙.-4>0.∙.>∙>1,所以函数y==(x>3)的值域为

x-3x-3x-3x-3

(l,+∞)

故选：A

[例4](2022.广东深圳.高一期末)(多选)世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、

高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数y=[x],[同表示不超过X的最大整

Γ9A--1-I

数，例如[1∙1]=1∙已知〃X)=—,xe(-∞,-3)52,+∞),则函数f(x)的值可能为()

A.0B.1C.2D.3

【答案】BCD

【分析】利用常数分离法知二2r-一1二2——3—,根据X的取值范围结合不等式的性质求出

x+1x÷l

2-777的取值范围，进而得到函数“X)的值.

2x+13

【详解】Qj£zl=()~=2__L,x∈(-∞,-3)u(2,+∞)

x+1x+1x+1

1133

当x>2时，x+1>3,/.O<---<-=>O<----<1,.,.1<2-----<2,

x+∖3x+lx+∖

此时〃x)的取值为1；

113337

当XV—3时，X÷1<—2,—<----<0=—<<0,.,.2<2-----<―,

2x÷l2x+lx+l2

此时F(X)的取值为2,3.

综上，函数"x)的值可能为1,2,3.

故选：BCD.

【例5】(2021.全国•高--课时练习)已知函数/(x)的定义域为值域为R,则()

A.函数/(V+1)的定义域为R

B.函数/(χ2+l)-l的值域为R

C.函数/(Y+2x+2)的定义域和值域都是R

D.函数/(f(X))的定义域和值域都是R

【答案】B

【分析】对于A选项：根据抽象函数的定义域令/+1>1,推出f(*+l)的定义域判断正

误；

对于B选项：因为/(x)的值域为R,所以/(Y+l)的值域为R,进而推导出/(f+l)-l的

值域，判断正误；

对于C选项：令f+2χ+2>l,求出函数/(V+2x+2)的定义域，即可判断正误；

对于D选项：若函数f(f(x))的值域为R,则/(x)>l,即可判断正误；

【详解】对于A选项：令f+ι>ι,可得XH0,所以函数/任+1)的定义域为{x∣XW0},

故A选项错误；

对于B选项：因为的值域为R,x2+l≥l,所以f(d+l)的值域为R,可得函数

/(V+ι)τ的值域为R,故B选项正确；

对于C选项：令V+2χ+2>l,得x≠T,所以函数/(f+2x+2)的定义域为{x∣x≠7},

故C选项错误；

对于D选项：若函数f(∕(x))的值域为R,则/(x)>l,此时无法判断其定义域是否为R,

故D选项错误.

故选：B

［例6］(2021・全国•高一课时练习)［多选题］函数/(x)=凶的函数值表示不大于X的最大整

17

数，当-]≤X≤]时，下列函数时，其值域与/(x)的值域相同的是()

A.y=x,x∈｛-l,0,1,2,31B.y=2x,x∈∣--,O,-,l,ʒ-ʃ-

C.y=LD.y=x2-1,x∈∣0,l,∖∕2,->^,2∣

【答案】ABD

【分析】根据取整函数的概念，求得函数“X)的值域为｛-1,0,1,2,3｝,再分别求得选项中函

数的值域，即可求解，得到答案.

【详解】当Xe-；，。)时，/(x)=T;

当xe[0,l)时，/(X)=O；当x∈[l,2)时,/(%)=1；

「71

当xe[2,3)时，/(x)=2;当Xe3,-时，/(χ)=3.

^ɪ7^

所以当Xe时，F(X)的值域为｛-1,0,1,2,3｝.

对于A选项，y=x,x∈｛-l,0,l,2,3｝,该函数的值域为｛—1,0,1,2,3｝；

对于B选项，y=2x,x∈∣-∣,θɪ,l,jj,该函数的值域为｛T,0,1,2,3｝；

对于C选项，y=Lɪeʃ-l,lɪɪ,4,该函数的值域为｛-1,1,2,3,4｝；

X[234J

对于D选项,y=x2-l,x∈｛0,l,√2,^,2｝,该函数的值域为｛TO,1,2,3｝.

故选：ABD.

【题型专练】

1.(2022・湖南・雅礼中学高一期中)函数y=1的值域是()

Jr+1

A.[h+∞)B.(0,l]C.(→o,l]D.(0,+oo)

【答案】B

因为％2+l≥l,所以0<*41,因此，函数y="的值域是(0,1].

故选：B.

2.(2021・全国•高一课时练习)若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，

则称这些函数为“挛生函数”，那么函数解析式为y=2f-3,值域为｛T5｝的“挛生函数”共

有()

A.7个B.8个C.9个D.10个

【答案】C

【分析】根据李生函数的定义，即函数的定义域不同而已，由2∕-3=T得，x=±l;由

2√-3=5,得x=±2,分别写出函数的定义域即可.

【详解】函数解析式为y=2χ2-3,值域为{T,5},由2d一3=-1得，x≈±l;

由2储一3=5,得x=±2,则定义域可以为{1,2},{l-2},{-l,2},{-l,-2},{1,-1,2},

{1,-1,-2},{-l,2,-2},{l,-2,2},{1,-1,2,-2),因此“挛生函数”共有9个.

故选：C

3.(2021・江苏•高一单元测试)下列函数中，值域是(0,+8)的是()

________2

A.y=√χ2-2x+lB.y=-x-+-(x∈(0,+oo))

Jx+1

11

X2+2x+l∣x+lI

【答案】CD

【分析】利用完全平方、常熟分离、绝对值的意义，即可得到结果.

【详解】对于A,y=∖∣x2-2x+∖=ʌ/(ɪ-l)2HX-11>0,值域为[0,+∞),∙,∙A不正确：

对于3,丁=七彳=1+—值域为(1,2),∙∙∙8不正确；

对于C,∙y=F+[+∣=77^7>°,值域为O+∞),'C正确；

对于ay=r⅛>°,值域为(0,+8),二。正确.

∣χ+l∣

故选:CD

4.(2021・全国•高一专题练习)函数/(x)=f+l(0<χ42且xeN*)的值域是()

A.{x∣x≥l}B.{x∣x>l}C.{2,3}D.{2,5}

【答案】D

【分析】根据函数性质及其定义域即可判断值域.

【详解】解：0<x42ILxwN*,∙∙∙x=l或χ=2..∙.41)=2,〃2)=5故函数的值域为{2,5}.

故选：D.

5.(2021・全国•高一专题练习)函数/(X)=一(x>0)的值域为()

x+∖

A.(-LDB.[-1>1)C.(-1,1]D.[-L1]

【答案】A

22

【分析】先分离常数，再求出-2<——-<0,从而得到-1<1——<l即可得到答案.

x÷lx+1r

【详解】f(ɪ)=---------=1---------'由于X>O'/.X+1>1»O<-------<2,-2<--------<O,

x+lx+lx+1x+1

2

于是7<1——-<1,故函数/3的值域为

x+∖

故选：A.

题型二：配方法(一般适用求二次函数的值域，一般看开口方向和对称轴即可)

【例1】已知/(x)=∙√-χ-2,定义域为[1,3],求其值域。

【答案】[—2,4]

【详解】由题意知函数/(x)=/—X—2的开口向上，对称轴为％=；,所以

/(X)=Vr-2在[1,3]上为单调递增函数，所以/(χ)n,hι=y■⑴=—2,

/Wmax=/(3)=4得值域为[-2,4]

(2022・全国•高三专题练习)函数/(X)=T^~^的值域为(

【例2】

X—LX+2

A.(0,1]B.(θ,ɪC.(0,1)D.

【答案】A

【详解】因为/(X)=VrH

且(X-I)2+l≥l,

所以/(x)∈(0,1],即/(x)=ττ⅛的值域为(0,1].

故选：A

【例3】(2022•全国高三专题练习)函数,f(x)=2-√≡?兀的值域是()

A.[-2,2]B.[1,2]C.[0,2]D.[-√2,χ^]

【答案】C

【详解】由-f+4χ≥o得f-4χ≤o,得0<χ≤4,

设t=-X2+4X=-(X—2)2+4,则0≤Z≤4,

所以y=2-"e[0,2∣,即函数y=2-，一f+4x的值域是【。，幻.

故选：C

[例4]已知函数y=Jl-X+Jx+3的最大值为Af,最小值为加,则的值为.

M

【答案】①

2

【详解】函数定义域何―3≤x≤l}

y~—(j]-X+Jx+3—1—x+x+3+2J(l-X)(X+3)=4+2,-x~-2x+3

设y1-24+4,〃=-X2-2x+3,u=-X2一2x+3开口向下，对称轴为〃=一1,

2

当“=_］时，Mιraxɪ-(-l)-2(-1)+3=4,当M=—3或〃=］时

%n=0所以丁=2«+4目4,8］，所以max=2后,％in=2,所以=义=坐

IVl2Λ∕2，

【例5】(2021.全国•高一单元测试)函数f(x)=Jαγ2+4尤+”的值域为［(),«»),则实数“的

可能取值是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】ABC

【分析】根据各选项中。的取值，依次判断了(x)的值域即可得到结果.

【详解】对于A,当α=0时，/(x)=2√^>0,则/(x)值域为［0,M),A正确；

对于B,当α=l时，/(x)=JX2+4χ+ι=J(X+2)2-3≥0,则f(力值域为［。,内)，B正确；

对于C,当α=2时，/(x)=√2X2+4X+2=√2(x+l)2≥0,贝∣］∕(x)值域为［θ,a),C正确；

对于D,当α=3时，X)=43*2+4x+3=J卜+∣∙)+g≥ɔʃ-,则/(x)值域为-^∙,+∞^»

D错误.

故选：ABC.

「25-

【例6】(2022・全国•高三专题练习)若函数y=f-3工-4的定义域为［0,向，值域为-彳,-4

则加的取值范围是()

"251「3］「3、

A.(0,4］B.4,—C.∣,3D.∣,+∞I

【答案】C

【详解】•「y=f_3工一4二卜一斗--»

325

当X=不时，y=---；当X=O或3时，y=-4.

24

因此当］≤m≤3时，函数尸龙2-31在区间［0,向上的最小值为-亍，

^3-

最大值为T，所以，实数，”的取值范围是-.3.

故选：C

【例7】(2020•上海高三)对于函数/(X)=y/ax'bx,其中b>0,若/(x)的定义域与值域

相同,则非零实数a的值为.

【答案】-4

【详解】函数的定义域为αχ2+bχZ0,即x(ax+b)≥0,若α>0,则/(x)的定义域为

D=I-oo--3°，”)，但/(x)的值域A=Io,4<≈),估O≠A,不合题意

Iβj

若α<0,对于正实数b,则/(x)的定义域为。=O,-?,/(χ)的最大值为

a

bb

由题意知一上=一=,由于J>0,

a2√-α

【例8】已知函数/(x)=x2+bx+2,xeR,若函数g(x)=∕(∕(X))与/(x)在XeR时

有相同的值域，则实数〃的取值范围为

【答案】b<-2^tb≥4

2

∕7Ij

【详解】由于函数/(x)=d+bχ+2,χ∈R,则当*=一上时，/(%)min=2--,又函数

g(x)=/(/(X))与/(χ)在XeRn寸有相同的值域，则函数g(x)必须能够取到最小值，即

∕2h

7解得b≤-2或6≥4

42

【例9】已知/(x)=∕-2χ+2,在IL加2—加+2]上任取三个数a,b,c,均存在以

4

/(α),/S),/(c)为三边的三角形，则m的取值范围为()

A.(0,1)B.[θ,ɔɛ)C.D.[-^-,√2]

【答案】A

【详解】由于函数/(x)=f-2x+2的对称轴为χ=l,因为

、7(I、27

22

m-m+2=m-m+—+—=m——+—>1.则当X=I时，/Mmi∏=1，又

4412；4

、I3(IA2331

m2-m+2—l=m2-mH----1•—=m—H—≥—=1—即加？一根+2与对称轴的距

44L2j444

离较远，所以当x=m2-m+2时，

222

f(x)nιax=^m-m+2)-2(m-m+2^+2=^m-m+∖^+1

不妨设/(«)=/⑹=1,/(c)=(m2f+i)2+l,由以/(α)"S)J(C)为三边的一角形，

由构成三角形的条件可得1+1>(m?—m+11+1,解得0<相<1

【题型专练】

1.(2022・全国•高三专题练习)函数y=J-d+2χ+3定义域和值域分别为M、N,则MCN

=()

A.[-1,3]B.[-1,4]C.[0,3]D.[0,2]

【答案】D

解:要使函数y=y∣-x2+2x+3有意义,则-χ2+2x+3≥0解得T≤X<3,故M=[-1,3]；

由y=J-(*-l)2+4e[0,2],所以N=[O,2].故MCN=[O,2].

则选：。

2.J(3-a)(α+6)(-6≤a≤3)的最大值为.

9

【答案】一

2

【详解】

解法一：均值不等式：J(3”)(α+6)≤3艺α+6=［

解法二：二次函数思想：因为>=4,以=(3-。)(。+6)=-。2-3。+18,开口向下，对

33Q1

称轴为。=一式,当Q=-不时∙，u=———3—+18=—，所以y=J7的最

mdx

22Ik2J{2)4

大值为旧V

1Q

3.(2022,全国•高三专题练习)若函数/(x)=^χ2-χ+］的定义域和值域都是［1,句，则

()

A.1B.3C.-3D.1或3

【答案】B

141

因为函数f。)=］/-*+］=3χ-l)2+l在口,句上为增函数，且定义域和值域都是［1,历，

2

所以f(x)ms=F(I)=I，f(x)max=f(b)=^b-b+^=b,解得b=3或6=1(舍)，

故选：B

4.(2022∙全国福三专题练习)已知函数"x)=d-4x在［0,〃力上的值域为［TO］,则实数相

的取值范围是()

A.(0,2］B.［2,4］C.(0,4］D.(-∞,2］

【答案】B

函数/(力=/一4X在［0,2］上单调递减，在［2,+8)上单调递增，

/(())=l,/(2)=-4,/(4)=0,x>4时/(x)>0,0<x<4时T≤/(x)≤0,

函数〃力=石-4X的部分图象及在［0,加］上的的图象如图所示.

所以为使函数"K)=/-4X在［0,回上的值域为［-4,0］,实数m的取值范围是［2,4］,

5.(2022・全国•高一课时练习)设/(小)=&+2依+3的值域为［()，”)，则实数”的值组成

的集合是.

【答案】［3,+8)

【分析】根据值域为［0,+∞),分析可得，函数Kr)=〃/+2以+3开口向上，且最小值要小

于等于0,列出方程，即可得结果.

【详解】因为函数y=Jd√+2αv+3的值域为［0,+∞),

设函数1x)=0r2+2以+3,当α=0时，/(x)=3显然不成立：

当。<0,二次函数开口向下，有最大值，值域不为［0,+∞),不成立；

当4>0,二次函数开口向上，要保证值域为［0,+∞),则最小值要小于等于0

∙∙fo∙>lO-w≥o,解得3

故答案为：［3,+∞)

ab

6.(2021∙重庆市璧山中学校高一阶段练习)定义运算=ad-bc若函数

cajf

x-l2

"x)=Tχ+3，则“X)的最小值为()

A.-3B.-7C.1D.3

【答案】B

【分析】根据定义写出函数解析式，配方即可得最小值.

x-l2,

［详解］/(x)==(x-l)(x+3)+2x=x2+4x-3=(x+2)-7≥-7.

/(-2)=-7.

故选：B

7.(2021.全国.高一课时练习)求函数y=√Γ7+√iT7-l的值域.

【答案】[√2-l,l]

【分析】首先求出函数的定义域，然后将函数平方，利用二次函数的性质即可求解.

[l-x≥O

【详解】由，、八，得T4x≤l∙

[l+x≥0

•y—y∕∖~-~x+Jl+X-1,∙∙y+l=ʌ/l—x+Jl+x,

∙*∙(y+l)2=I-X+2Λ∕1-父+l+χ=2+2λ∕l-χ2.

V-l≤x≤l,∙∙∙O≤χ2≤ι,

ʌ2≤2÷2√1-X2≤4»即2≤(y+l>≤4∙

XVy+l>O,Λ√2≤j+l<2,Λ√2-l≤γ≤l,

・,・函数的值域为[及-1,1].

题型三：换元法(适用于形如/(x)=6zx+∕?÷∖[cxTd{ac≠0),以及y=力"⑴+好⑴+。)

如：函数/(x)=αx+⅛+yfcx-Γd(acWO),可以令1=∖∣cx+d«≥0),得到x=-------,

c

函数/(%)=以

+b+y∕cx+d(ac≠0)可以化为y=""二，)+f+b(t≥O),接下来求解关于/的二次

C

函数的值域问题，求解过程中要注意t的取值范围的限制.

【例1].求函数/(x)=d+3%2τ的值域。

【答案】

【详解】设χ2=r(f≥o),则/(t)=/+3/—1的对称轴为r=—：,所以f(r)=∕+3f-1

在[0,+8)上单调递增，所以当/=0时，/(t)mκ=-1，所以/(x)=∕+3χ2-1的值域为

[-1,400)

【例2】求函数y=2x-1一J13-4x的值域。

…小(13-

【答案】I-c0,-^^

1O_'

【详解】设J13-4x=f(f≥0),则尤=二^―,函数可化为

[3—产1]§

y=2--―t=--t2-t+-(t≥Q),对称轴为/=—1,所以函数在[0,+8)上单调递

减，所以当f=O时，∕0)max=y.所以原函数的值域为(一8,1

【例3】(2021.全国.高一课时练习)求函数y=f+4ji-2χ2的值域.

【答案】；，4

【分析】令f=√i≡*,换元可得y=-5/+4,+5(0≤∕<l),转化为二次函数在给定区

间的值域问题，利用二次函数的性质即得解

【详解】令f=√ΓM,则V='

由χ2≥0及i-2f≥o,得0W/W；,所以O≤tVl,

1_≠211

则y=------+4，=一一r2÷4∕t+-(0≤r≤l),

222

为开口向下的二次函数，对称轴为，=4,故在f∈[0,l]单调递增

因此当UO时，‰in=∣;当f=l时，‰=4

故函数的值域为.

【例4】(2019・重庆.高一)函数/(x)=-gj2x-χ2+√^+√Γ⅛最大值为().

L35

A.y/2B.-C.-D.2

22

【答案】B

【分析】先求解函数定义域，然后分析等式发现：(6+√Γ7)2=2+2亚二7,由此可通

过换无法令√7+√Γ7=f来构造二次函数求解最大值，注意取等号条件.

x≥0

【详解】因为，2-x≥0,所以xe[0,2],即"x)定义域为[0,2]；

2X-X2>0

设G+∖∣2-X=T且*=2+2∖∣2x-x1，又因为产=2+2∖∣2X-X2=2+2^-(x-l)2+1∈[2,4]，

所以止[&,2],

所以/(x)=-=+t=J(f-2)2+3,当且仅当f=2时/(X)有最大值)当f=2时，

4422

∖∣x+∖∣2-x=2,所以X=I满足；

故选B.

【点睛】本题考查利用换元法求解函数的最值，难度一般.使用换元法后要注意到新函数定

义域，同时要注意与用换元法求解函数解析式作对比.

【题型专练】

1.(重庆市巴蜀中学高一上期中)函数/(x)=2x-3I,xe[-],3)的值域为(

)

A.[—2,0)B.(—3,0)C.——,θjD.——

【答案】C

【详解】设而I=则X=产—1，函数可化为丁=2(/—1)-3/=2/-3/-2,

对称轴为，=],所以当r=3时，函数Xnin=—"，当∙=2时，/(∕)max=0,所以原函

448

数的值域为—

2.(2022.全国•高一课时练习)函数/(x)=√^T-x的值域是()

A.(一。0,；B.C.(→o,l]D.[∣,+∞)

【答案】C

【分析】令f=0ΓΓT,转化为二次函数y=三士丝担Q≥0)在定区间的值域，即得解

【详解】由题意，函数的定义域为

----/一]

令t=√2x+1X=-----(t≥0)

2

故/(ɪ)=V2x+1-X<=>y=t-~~='[\"IQ-0)

由于y=±产L(f≥O)为开口向下的二次函数，对称轴为f=l

故当t=l时，ymax=i,无最小值

故函数/O)=侬+1的值域是(5]

故选：C

3.(2021・江苏•高一单元测试)若函数y=生?的值域是A,函数)，=2x-JTT的值域是B,

x-3

则AB=.

【答案】*2)U(2,+s)

【分析】先求出集合A8.再求A8得解.

【详解】由题得y=a⅛=热二半Z=2+-^≠2,所以函数的值域为A={y∣y*2}.

X—3X-3X—3

对于函数y=2x-J有，函数的定义域为[1,+8),

设Jx-1=f(z≥O),所以x=/+1,所以y=2广+2—r=2〃—，+2,(fN0),

-11is

函数的对称轴为“丁屋所以函数的值域为片

所以AB=U(2,+oo).

故答案为:y,2ju(2,+∞)

4.(2022•江西省定南中学高二阶段练习(文))函数y=2x-√Γ斤的值域

为()

A.卜8,TB.卜考C.传TD∙p+∞)

【答案】D

【分析】本题通过换无法求值域，先令G万=f,将函数y=2x-√Γ斤转化成二次函数进

行求解.

【详解】函数的定义域是{χ∣χNl},令√∏=r,则rv[0,E),x=t-+∖,所以

y=1(t2+l)-f=2『-f+2=2Q-；)2+£,

因为f≥0,所以丫堂，所以原函数的值域为白收).

OO

故选：D.

5.(2022・福建三明•高一期末)已知函数/(x)=zHJ-X2-2x+3+Jl-x+∕3+x,其中，〃为

实数.

⑴求/(X)的定义域；

(2)当机=0时，求f(x)的值域;

⑶求/(尤)的最小值.

【答案】(l){x∣-3效k1},(2)[2,2√2]

⑶当〃Jl-血时，/(x)的最小值为2；当“<1-0时，/(x)的最小值为2m+2√Σ

【分析】(1)根据函数的解析式列出相应的不等式组，即可求得函数定义域；

(2)令r=√Γ7+国7,采用两边平方的方法，即可求得答案；

(3)仿(2),令t=<l-x+y]3+x，可得J_X2_2x+3=，——,从而将

2

/(X)=my∣-x2-2x+3+√Γ7+向M变为关于f的二次函数，然后根据在给定区间上的二

次函数的最值问题求解方法，分类讨论求得答案.

l-x≥O,

⑴由∙3+x≥O,解得-3≤x≤l.所以/(x)的定义域为｛X-3烈1).

3-2X-X2≥O,

(2)当W=O时，/(%)=√l-x+>∣3+x.设t=√l-x+j3+x，则r=-x,-2x+3+4.

=2J-(X+I):+4+4.当X=-I时，产取得最大值8；当x=-3或x=l时，*取得最小值4.

所以*的取值范围是[4,8].所以/Cr)的值城为[2,2√2].

⑶设f=Jl-x+j3+x,由(2)知，fe[2,2>∕∑],且J—x?—2x+3=’24，

贝∣Jm∖∣-x2-2Λ+3+JI-X+j3+x=-(t2-4∖+t=-t2+t-2m.

2172

令夕Q)=5厂+r—2/”,t∈[2,2-^2].

若机=O,φ(t)=t,此时*(。的最小值为此2)=2；

当初>0时，夕⑺在［2,2√Σ］上单调递增，

此时φ(t)的最小值为8(2)=2；

当———N1+,即1—∕w<O时，

m

此时9。)的最小值为8(2)=2；

当O<<1+&■,即m<∖-∖∣2.时，

m

此时。⑺的最小值为^(2√2)=2m+2√2.

所以，当M.1-√Σ时，/(x)的最小值为2；当w<l-√∑时，/(x)的最小值为2加+2&

题型四：分离常数法反解法(利用函数有界性)

分离常数法：

ex+d

将形如y=一(α≠0)的函数分离常数，变形过程为：

ax-∖-rb

c讣TbC,bebe

cx+da［aX+)+ac,",再结合X的取值范围确定"的取值范

ax-jrbax+baax+bax+b

围，从而确定函数的值域.

【例D求函数y=2的值域

X-3

【答案】(V,2)D(2,M)

【详解】方法一：分离常数法：设y=丝I=生二⅛±N=2+--，因为工力0,

X—3X—3X—3X—3

所以yw2,所以原函数的值域为(YO,2)U(2,+8)

2χ+l

方法二：反解法：由y=-可得

x—3

y(x-3)=2x+lnyx-2x=3y+lnx(y-2)=3y+l,所以当时，X=所

>-2

以原函数的值域为(-∞,2)U(2,+8)

l-r2

【例2】求函数y=L~⅛的值域

1+x

【答案】(-川

2

(详解】方法一：分离常数法：y=匕三=一Y+W+因为

-∖+x2X2+\%2+1

92

%2≥O=>%2+l≥l=>O<-——≤2=>-l<-l+———≤1.所以原函数的值域为(一15

X2+1X2+1

方法二：反解法：由y=∙J~二，可得W+/)=1-/=>y+y∕=]_/,

1—y

所以y?+/=i-ynχ2(y+])=i-ynχ2=]_^,因为/≥o,所以.―^≥0

y+ι，解

y+ι

y+l≠0

得一1<y≤1,所以原函数的值域为(一1,1]

【例3】求函数y=--”0)的值域

-3'+1

【答案】(0,1)

【详解】方法一：分离常数法：y=^^=3*+lT=ι一L,因为

3r+l3v+l3r+l

ΛΛ

3>0=>3+1>1=>0<-!—<l^>0<l———<1,所以原函数的值域为(0,1)

3v+l3Λ+1

方法二.：反解法：由y=-^—,可得y(3*+l)=3"=>3'(y-l)=-y=>3"=―

Λ3A+1ʃ-l

所以，因为3'>0,所以消>°，解得0<y<l,所以原函数的值域为(0,1)

【题型专练】

1∙求函数y=产的值域

4-x

【答案】(7,—1)5T的)

【详解】由题意，函数可化为y=卢=T-三，可得定义域为{χ∣χ*4},所以三wo,

可得y≠τ,所以值域为(ro,T)u(—1,+∞)∙

2.(2022•全国•高三专题练习)设XeR,函数INT(X)表示不超过X的最大整数，例如

1NT(-O.1)=-1,1NT(2.8)=2,若函数/食)=七二，则函数y=!NT(f(x))的值域是()

X+1

A.{2}B.{0,1,2}

C.{-l,0,1,2}D.{0,1}

【答案】C

3

【分析】/(x)=-l+√-∏IW-l<∕U)≤2,分-l<∕(x)<0∖0≤∕(x)<Ll≤∕(x)<2∖

X+1

F(X)=2根据定义可得答案.

【详解】f(x)=⅛^-=3~V-+ŋ=-1+ɪ,因为f+ι≥ι,所以0<上≤3,

%+1X+1X+1X+1

所以-l<∕(x)≤2,当-l<∕(x)<0时，y=∕ΛT(∕(X))=T；

当O≤f(x)<l时，y=∕NT(∕(X))=0；

当l≤∕(x)<2时，y=ZΛT(∕(x))=l;

当f(χ)=2时，y=∕NT(∕(x))=2,所以函数y=∕NT("x))的值域为{—l,0,l,2},

故选：C.

ax^+bx+c

题型五：判别式法(适用于函数y)

dx^+ex+f

2x2+3尤+2

【例11函数〃X)=的值域为.

X2+x+l

7

【答案】1.-

【详解】方法一：分离常数法：y="上3£±2=2(x/X+1)+%=2+4-------当

x~+X+1x~+X+1x~+X+1

V=2_________—ɔ_1_________I

X=O时，y=2,当χ≠0时，X2χι~1,当x>0时，x+-≥2

++XH-----F1X

X

*-％+,+123=>0<—\—≤-=>2<2+—!—≤-,zIc

所以X1313，当X<O时，工+一〈一2所

%+—+11X+—+1X

XX

..x+-+∖≤-↑=>-l≤一：—<0=>l≤2+―--<27

,原函数的值域为L-

XX+1+1x+i+l

XX

2χ2+3x+2

方法二：判别式法：设y="十DX十J可得

X+X+1

y(x2+X+1)=2x2+3x+2^>(j-2)%2+(^-3)x+ʃ-2=0,因为函数的定义域为R,

当y-2=0时，即y=2时，得一X=O=X=0,满足题意，当当y-2wθ时,

77

△=(y—3)--4(y-2,y-2)≥0,解得l≤y≤^，所以原函数的值域为b-

【例2】(2021・上海复旦附中高一期末)若函数/(X)=丝二詈1"的定义域为(一8,”)，

值域为[1,9],求〃7,〃的值.

m=5

<

【答案】〔〃=5

mx2+8x+π

y~2~\

【详解】判别式法：设*+1,得

y(x2+1)=IWC2+8x+〃=(y-/??*-Sx+y-n-0

因为函数的定义域为R,所以△=(一8)j4(y-"∕)(y-")≥0,即

2

y-(m+n)y+(mn-l6)<0t由l≤y≤9知，关于V的-元二次方程

m-∖-n=10

<

)，2-何+力+(%-1620的两个根分别为1和9,由根与系数的关系得W/T6=9,

m=5

<

解得〔〃=5

【题型专练】

1.(2022•全国・高三专题练习)函数〃X)=亡土ɪ的最大值与最小值的和是()

X+X+1

【答案】B

【分析】令y=x「T，可得(y—l)d+(y+l)χ+y+l=O,可知关于X的方程

χ-+x+l

(y-l)d+(y+ι)χ+y+ι=o有解，分y=l、"1两种情况讨论，结合已知条件可求得y的

取值范围，即可得解.

【详解】设y="τT,则有(y-l"+(y+l)χ+y+I=O,

x-+x+l

当y=i时，代入原式，解得X=T.

当y#[时，∆=(y+l)2-4(y-l)(y+l)=(y+l)(-3