聚焦高考数学创新题周远方

聚焦高考数学创新题周远方第1页，课件共41页，创作于2023年2月研究高考数学创新题的意义和价值高校要选拔具有创新潜质的人才，高考数学就必须重视对学生创新意识的考查，因此，设计创新题是选拔高素质人才的必然要求.认真研究创新题的特点，可以揣摩命题教师的设计意图，深刻领会“能力立意”的命题指导思想，准确把握《考试大纲》的要求，对搞好高中数学教学和复习备考是十分有益的.特别是一些令人津津乐道的优秀创新题，还可研究其独特的教学功能，既可作为教学的例题、练习题、测试题，更可用作研究性教学的问题加以开发.第2页，课件共41页，创作于2023年2月怎样研究高考数学创新题？研究视角试题背景试题设问试题评价试题拓展试题立意试题解法研究宗旨——深刻领会能力立意的命题指导思想研究价值——对中学数学教学具有强力导向作用

第3页，课件共41页，创作于2023年2月考纲对考查创新意识是如何界定的？

对新颖的信息、情境和设问，选择有效的方法和手段分析信息，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法，进行独立的思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题.

创新意识是理性思维的高层次表现.对数学问题的“观察、猜测、抽象、概括、证明”，是发现问题和解决问题的重要途径，对数学知识的迁移、组合、融合的程度越高，显示出的创新意识也就越强.

高考数学创新题是指从测量考生的发展性学力和创造性学力着手，突出能力考查的新颖问题.第4页，课件共41页，创作于2023年2月高考数学创新题的命题指向何在？三是控制难度，体现“新题不难、难题不怪”的特点.一是加强创新意识的考查，有利于实现选拔功能.

二是深化课改，促进能力立意命题的实践和发展.

以数学内容为基点，以基本的推理和思维要求为立足点，突出考查学生一般能力的表现，测量学生的学习能力——选材与立意；

以多元化、多途径、开放式的设问背景，比较客观、全面地测量学生观察、试验、联想、猜测、归纳、类比、推广等思维活动的水平，激发学生探索精神和求异创新思维——背景与设问；

以源于社会、源于生活的问题考查学生，有效地测量学生抽象、概括以及建立数学模型的能力，促使学生认识世界、把握问题的本质、筹划应对的策略——实际与应用.其一是对能力的成分和要求进行了必要的调整.其二是在命题实践上进行了新的尝试.

其三是研究开发新的试题模式和考查方式.

第5页，课件共41页，创作于2023年2月知识过程探索型解题方法实验操作立意定义型信息型直观型推理型背景分类往往交叉渗透高考数学创新题有哪些常见类型？条件开放开放型策略开放设问结论开放条结双开放展现学习成果研究型彰显课改理念情境体现数学交流凸现数学思想第6页，课件共41页，创作于2023年2月一是立意的鲜明性；二是背景的深刻性；三是情境的新颖性；四是设问的巧妙性.高考数学创新题“新”在哪里？第7页，课件共41页，创作于2023年2月

立意是试题的考查目的，即以能力立意为中心，选择适当的考查内容，设计恰当的设问方式，把具有发展能力价值、富有发展潜力、再生性强的知识、方法、能力作为切入点，从测量考生的发展性学力和创造性学力着手突出能力考查.

一般以基础知识、基本方法和数学思想为载体，其立意的角度很多，如考查基础知识的灵活性应用，考查数学思想方法，考查以数学思维能力为重点的各种能力，考查数学应用意识和探究意识，考查进一步学习高等数学的潜能等.一、立意的鲜明性第8页，课件共41页，创作于2023年2月

立意的鲜明性—多考点想，少考点算第9页，课件共41页，创作于2023年2月

立意的鲜明性—多考点想，少考点算（2001全国卷理科第12题）如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联.连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递.则单位时间内传递的最大信息量为A.26B.24C.20D.19第10页，课件共41页，创作于2023年2月二、背景的深刻性一是高等数学背景.高等数学的基本思想和方法是考查学生进一步学习的良好素材，很难在复习资料和模拟试题中找到，解答往往没有现成的方法可套，会使一些考生感到难以入手，从而使其具有很好的区分度和甄别功能.二是新课程改革背景.新课标卷突出能力立意命题与时俱进的特点，围绕对数学知识、理性思维、数学应用与创新和数学人文价值等四个方面的考查设计试题，开发了一些融知识、方法、思想、能力与素质于一体的背景新颖、内涵深刻、富有新意的创新题，真正考查出考生的学习潜能和个性品质.三是实际生活背景.在坚持“贴近生活，背景公平，控制难度”的原则下，近几年应用题的编拟更加重视语言简洁、准确，背景清新、近人，模型具体、简明，方法熟悉、简便，突出了对数学思想方法和实践能力的考查.第11页，课件共41页，创作于2023年2月

背景的深刻性—高观点型第12页，课件共41页，创作于2023年2月

背景的深刻性—高观点型第13页，课件共41页，创作于2023年2月立意要素：逆向推理与算法思想第14页，课件共41页，创作于2023年2月

背景的深刻性—实际应用型第15页，课件共41页，创作于2023年2月试题背景：“嫦娥一号”的轨道示意图第16页，课件共41页，创作于2023年2月试题背景：大纲版教材中相关素材第17页，课件共41页，创作于2023年2月①④③②立意要素：选项的几何性质第18页，课件共41页，创作于2023年2月试题研究：椭圆轨道的几何性质第19页，课件共41页，创作于2023年2月试题研究：几何性质的拓展PQF

第20页，课件共41页，创作于2023年2月2008年高考数学湖北卷选择题第10题考生选项比率分布科类答案选项分布（%）难度区分度ABCD空文科B6.4539.1316.4137.800.210.390.27理科B3.6955.746.1834.280.110.560.33从考生答卷的选项比率分布情况来看，本题非正确选项的选答率虽均属正常，但其中文科选择正确答案B的考生只占39.13％，而误选答案D的考生高达37.80％，两者十分接近；与文科相比，理科有超过半数以上的考生选择了正确答案B（占55.74％），但误选答案D的考生仍占有34.28％.表明这部分考生对③式与④式的识别存在着模棱两可的现象.若将原题中③式与④式的不等号互换一下，这样②④两式正确，正确答案变成选D，会降低此题的难度.试题评价：统计数据说明第21页，课件共41页，创作于2023年2月为了转播2008年北京奥运会，我国发射了“中星九号”广播电视直播卫星，它离地球表面的距离约为36000km.已知地球半径约为6400km，则“中星九号”覆盖区域内的任意两点的球面距离的最大值约为

km.（结果中保留反余弦的符号）（2009年湖北卷理科第13题）如图，卫星和地面之间的电视信号沿直线传播，电视信号能够传送到达的地面区域，称为这个卫星的覆盖区域.

卫星的覆盖区域图

背景的深刻性—实际应用型第22页，课件共41页，创作于2023年2月【原材料】我国为了转播2008北京奥运会,特地发射了电视卫星“中星九号”,它是一个地球同步卫星,定位在赤道上东经92.2度处（过东经92.2度的子午线大约通过哈密上空）.它的脚印（footprint）能够覆盖全国吗?（《遥望星空（一）、（二）》——齐民友著）【题1】我国第一颗人造地球卫星的远地点距地面2384km，在这时约有多少千米上的人能看到这颗卫星？（《立体几何》全一册P96习题第10题）【题2】要使电视卫星的电波，能直射到点球表面的三分之一，卫星要发射到多高？（《立体几何》全一册P122总复习参考题第7题）试题背景：相关素材第23页，课件共41页，创作于2023年2月试题评价：数学应用与数据说明题号满分最高分最低分平均分难度区分度135501.460.290.52第24页，课件共41页，创作于2023年2月三、情境的新颖性

情境是立意的材料与介质，情境与问题相伴，问题是情境的核心，情境因问题而存在.情境的新颖性是创新型试题的一个共同特点.

情境新颖的试题，对广大考生而言是全新的、公平的，靠“解题套路”、“猜题押题”、“密卷宝典”和“题海战术”是难以奏效的.

考生应对情境新颖的试题，一般需要具有自主学习的能力，即会搜集、提炼、加工信息，对阅读内容进行概括和理解，看清问题的本质，然后通过分析、演算、归纳、猜想、类比或论证等方法解决新的数学问题.第25页，课件共41页，创作于2023年2月

情境的新颖性—学习迁移型第26页，课件共41页，创作于2023年2月

情境的新颖性—定义、直观、推理型第27页，课件共41页，创作于2023年2月四、设问的巧妙性

设问是试题的呈现形式.高考创新题往往通过巧妙设问、精心设置问题，常常暗含着命题教师很深的设计意图，通常是为考生从不同角度、运用不同思维方法求解问题预设了多种解题途径，提供了充分展示能力的空间.

创新型的解答题，往往采用分步设问（如递进式、并列式、类比式、开放式等），或问与问之间相互独立，彼此并列，互不包含，互不影响，前一问做错，不影响后一问的正确解答；或问与问之间相互衔接、递进排列、拾级而上，使优秀考生能够脱颖而出.第28页，课件共41页，创作于2023年2月

设问的巧妙性—课改导向型请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M、N间的距离的步骤.

【例5】（2009年海宁卷理科第17题）如图，为了测量两山顶M、N间的距离，飞机沿水平方向在A、B两点进行测量，A、B、M、N在同一个铅垂平面内，飞机能够测量的数据有俯角和A、B间的距离.第29页，课件共41页，创作于2023年2月一缕陈年老窖深港飘香闻香和畅饮皆回味悠长立意的鲜明性：考查算法思想和实践能力；背景的实际性：两个不可到达点的距离测量问题；选材的文本性：源于课本，活于课本，高于课本；设问的开放性：开放有度，解决方案灵活多样.试题评价：紧贴课改，彰显理念第30页，课件共41页，创作于2023年2月问渠哪得清如许，唯有活水源头来（人教A版必修5，1.2应用举例）例2如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），请设计一种测量A、B两点间距离的方法.分析：可计算出河的这一岸的一点C到对岸两点的距离，再测出∠BCA的大小，借助余弦定理可计算出A、B两点间距离.第31页，课件共41页，创作于2023年2月问渠哪得清如许，唯有活水源头来（人教A版必修5，1.2应用举例复习参考题A组第5题）

如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B、C的俯角分别为，，如果这时气球的高度是h，求河流的宽度BC.分析：可计算出AC、AB和∠BAC的大小，借助余弦定理可计算出河流的宽度BC；设过点A的垂线与BC的延长线交于点D，则可算出BD和CD后，直接求出河流的宽度BC.第32页，课件共41页，创作于2023年2月

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2d②【方案1】选择三角形AMN.第一步：由正弦定理分别计算AM，AN；第二步：由余弦定理计算MN.【方案2】选择三角形BMN.第一步：由正弦定理分别计算BM，BN；第二步：由余弦定理计算MN.

【方案3】等积法.第一步：利于三角形面积公式分别计算BM，BN；第二步：由余弦定理计算MN.一览庐山真面目，方知身在此山中第33页，课件共41页，创作于2023年2月

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2xy【方案6】解析法.第一步：建系设点；第二步：求出点M、N的坐标；第三步：由距离公式求出MN.【方案4】构造直角三角形.第一步：作辅助线添辅助量；第二步：由余弦定理计算MN.

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设问的巧妙性—研究性学习型第35页，课件共41页，创作于2023年2月

值得提到的是，试题语言表述上有所缺陷，与评价标准形成矛盾.一是所举的两个例子是并列关系，并没有反映出“价值倾向”；二是“有意义”（客观存在的、有研究价值）的涵义过于宽泛，指向性不够明确，改为“有价值”（涵盖价值高低之意）更有利于评价标准的制定，即根据问题提出的优劣、解决问题的难易、研究价值思维层次的高低等进行评价.为此，可将原题修改如下：

该题要求考生类比提出问题并解决问题，考核考生提出问题的思维水平和解决问题的策略方法，具有很好地甄别思维水平的功能，是上海对研究型问题考查的一种有益的尝试（五级评价标准）.试题研究：评价标准与改进建议第36页，课件共41页，创作于2023年2月

设问的巧妙性—研究性学习型第37页，课件共41页，创作于2023年2月试题开发：再编制研究性学习问题【说明】由于两小题都是完全开放性问题，且没有给出具体评价的角度，因此，学生可从逆向问题的难度、价值大小以及与原问题的关联程度等角度进行评价.第38页，课件共41页，创作于2023年2月

一是立足基础、回归课本—着力凸现新课改理念

改变“重教辅、轻教材”的教学倾向，挖掘教材的创新功能，提高教材的使用效率，突出“一个核心”.

二是优化知识的学习过程—有效改进课堂教学

改变“重方法和技巧、轻理解和体验”的做好，关注“两个过程”.

三是强化数学的理解性学习—倡导为迁移而教

改变“大容量、快节奏、高密度、超强度”的机械模仿训练，回归数学课堂教学本原意义的“三个理解”.

四是全面培养思维能力—让创新意识在课堂中流淌

改变“重题型套路训练，轻创新意识培养”的老路，加大对“考纲”所要求的“五大数学能力”和“两种数学意识”的培养和提升.

高考数学创新题