第五章解析函数的罗朗展式

第五章解析函数的罗朗展式第1页，课件共30页，创作于2023年2月第一节、解析函数的洛朗展式1、定义形如被称为关于的双边幂级数。一、双边幂级数第2页，课件共30页，创作于2023年2月则有在H内绝对收敛且内闭一致收敛于在H内逐项求导p次，p=1,2,……2、性质定理5.1设双边幂级数的收敛圆环为第3页，课件共30页，创作于2023年2月rRp展开式是唯一的可展开成双边幂级数（关于即其中若则二、定理5.2(Laurent定理)(*)第4页，课件共30页，创作于2023年2月注：（1）若在内能展开成Laurent级数;*（3）若则展开式必为如下形式：表示成（4）展开法------根据展开式唯一，只须将(*)即为Laurent展开式。（2）Taylor级数与Laurent级数的关系;第5页，课件共30页，创作于2023年2月（1）（2）解：例1.求函数在下列区域内的罗朗展式（1）在内解析内可展开成罗朗级数，即在第6页，课件共30页，创作于2023年2月在在（1）内解析内可展开成罗朗级数，即第7页，课件共30页，创作于2023年2月同理可得第8页，课件共30页，创作于2023年2月其级数形式为令则（2）在内解析在内可展成罗朗级，第9页，课件共30页，创作于2023年2月即(1)又因第10页，课件共30页，创作于2023年2月(2)由（1）、（2）可知第11页，课件共30页，创作于2023年2月在处的去心邻展成罗朗级数。解：以和为奇点的的去心邻域为令则有且例2.将第12页，课件共30页，创作于2023年2月对于有第13页，课件共30页，创作于2023年2月第14页，课件共30页，创作于2023年2月设a为的孤立奇点，即使在去心邻域内可以展开成Laurent级数。此时，为在a的正则部分。为在点a处的主要部分。第二节、解析函数的孤立奇点及其分类若在点a处的主要部分为零，的可去奇点；则称为若在点a处的主要部分为的m级极点；则称为若在点a处的主要部分有无穷多项，的本性奇点；则称为1、定义5.3第15页，课件共30页，创作于2023年2月定理5.3为设的孤立奇点，则的可去点;为在的主要部分为0;在点a的去心邻域内有界。2、各类孤立奇点的特征第16页，课件共30页，创作于2023年2月解：的可去奇点为解：例1.判别下列函数在指定奇点处的类型为的可奇点。第17页，课件共30页，创作于2023年2月设以为孤立奇点，则下列命题等价以为m级极点;在处的主要部分：定理5.4在点a处解析，为m级零点;以第18页，课件共30页，创作于2023年2月解：仅以为奇点例2.判断下列函数在指定点处的性质在处解析，且记的孤立奇点。为为的一级极点。第19页，课件共30页，创作于2023年2月解：以z=0,1为奇点为的孤立奇点。例2.判断下列函数在指定点处的性质我们有对于为的二级极点。在处解析，第20页，课件共30页，创作于2023年2月在处解析，同理我们有对于为的一级极点。定理5.5设的某邻域内不恒等于零，则在以为m级极点以为m级零点第21页，课件共30页，创作于2023年2月解：记则所以存在为一级零点以处解析，且在处的函数值不等于零的函数使得为的二级零点。在处解析，且为故为二级极点。第22页，课件共30页，创作于2023年2月不存在且不为定理5.7为的本性奇点，且在点a的充分小去的本性奇点心邻域内不为零，则也必为定理5.6为的本性奇点本性奇点的特征：第23页，课件共30页，创作于2023年2月不存在且不为为故的本性奇点。不存在且不为的本性奇点所以由定理5.7可知为即也为的本性奇点。均为与的本性奇点.证明:为的本性奇点.例3.证明：第24页，课件共30页，创作于2023年2月分析：在关键是讨论是存在使内解析。解：下列函数是否以例4.为孤立点？在有限复平面上仅以为奇点在内解析为的孤立奇点。为的孤立奇点的定义：内解析，则称为的一个孤立奇点。定义5.4若函数在无穷远点（去心）邻域第三节、解析函数在无穷远点的性质第25页，课件共30页，创作于2023年2月为奇点在有限复平面内以解：而时,的非孤立奇点故为第26页，课件共30页，创作于2023年2月(2)无穷远点的分类与判定方法在为孤立奇点，则设以内解析，令则在函数为的孤立奇点。在内解析，即的可去奇点，m级极点和本性奇点，则相应地的可去奇点，m级极点和本性奇点。为为第27页，课件共30页，创作于2023年2月在的性质判定下列函数解：令则且例5.的可去奇点为的可去奇点.为第28页，课件共30页，创作于2023年2月例5.判定无穷远点的类型

(2)解:则令则的二级极点为的二级极点。为第29页，课件共30页，创作于2023年