历年高考数学（文）知识清单-专题08 平面向量（考点解读）（原卷+解析版）

1专题8平面向量考情解读高考侧重考查正、余弦定文与其他知识(如三角函数、平面向量等)的综合应用，试题一般为中档题，各种题型均有可能出现．高考仍将以正、余弦定文的综合应用为主要考点，重点考查计算能力及应用数学知识分析、解决问题的能力.重点知识梳理1．向量的基本概念(1)既有大小又有方向的量叫做向量.(2)零向量的模为0，方向是任意的，记作0.(3)长度等于1的向量叫单位向量.(4)长度相等且方向相同的向量叫相等向量.(5)方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共线向量．零向量和任一向量平行.2．共线向量定文向量a(a≠0)与b共线，当且仅当存在唯一一个实数λ,使b=λa.3．平面向量基本定文如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a=λ1e1+λ2e2.4．两向量的夹角已知两个非零向量a和b，在平面上任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫作a与b的夹角.5．向量的坐标表示及运算a±b＝(x1±x2，y1±y2)，λa＝(λx1，λy1).(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1).6．平面向量共线的坐标表示已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a与b共线.7．平面向量的数量积设θ为a与b的夹角.(1)定义：a·b＝|a||b|cosθ.(2)投影：＝|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影.8．数量积的性质(2)当a与b同向时，a·b＝|a|·|b|；当a与b反向时，a·b|a|·|b|；特别地，a·a＝|a|2；(4)cosθ=.9．数量积的坐标表示、模、夹角已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)x2＋y1y2；(2)|a|x＋y·x2＋y2(4)cosθ=x1x＋y·x2＋y2【误区警示】1．两向量夹角的范围是[0，π]，a·b>0与〈a，b〉为锐角不等价；a·b<0与〈a，b〉为钝角不等价.2．点共线和向量共线，直线平行与向量平行既有联系又有区别.3．a在b方向上的投影为，而不是.4．若a与b都是非零向量，则λa+μb＝0⇔a与b共线，若a与b不共线，则λa+μb＝0⇔λ=μ=0.高频者点突破高频考点一平面向量的概念及线性运算例1．(2018·高考全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝()A.－B.－C.＋D.＋【变式探究】2017山东，文11】已知向量a=（2,6）,b=(-1,λ),若a||b,则λ=.a||b【变式探究】已知向量a＝(m,4)，b＝(32)，且a∥b，则m＝.【方法技巧】平面向量线性运算的两种技巧(1)对于平面向量的线性运算问题，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，灵活运用三角形法则、平行四边形法则，紧密结合图形的几何性质进行运算.(2)在证明两向量平行时，若已知两向量的坐标形式，常利用坐标运算来判断；若两向量不是以坐标形式呈现的，常利用共线向量定理(当b≠0时，a∥b⇔存在唯一实数λ,使得a=λb)来判断.【变式探究】(1)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－43)，则向量＝()A．(－74)B．(7,4)C．(－1,4)D．(1,4)【举一反三】向量的三角形法则要保证各向量“首尾相接”；平行四边形法则要保证两向量“共起点”，结合几何法、代数法(坐标)求解.(2)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则()A.B.C.D.高频考点二平面向量数量积的计算与应用例2．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b1，则a·(2a－b)＝()【变式探究】(2017·高考全国卷Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是()A2BCD1【变式探究】(1)已知向量＝2，2，＝2，2C．60°D．120°【变式探究】(1)向量a＝(11)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝()A1B．0【方法规律】1．一般地，用向量方法解决模的问题的途径有三：一是利用公式|a|2＝a2，将模的平方转化为数量积问题；二是利用模的几何意义；三是坐标法．解决向量的夹角问题主要是利用公式“cos〈a，b〉＝”将向量的夹角问题转化为数量积及模的问题来解决.2．求解向量数量积最值问题的两种思路(1)直接利用数量积公式得出代数式，依据代数式求最值.(2)建立平面直角坐标系，通过坐标运算得出函数式，转化为求函数的最值.【举一反三】当向量以几何图形的形式(有向线段)出现时，其数量积的计算可利用定义法；当向量以坐标形式出现时，其数量积的计算用坐标法；如果建立坐标系，表示向量的有向线段可用坐标表示，计算向量较简单.(2)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·=.高频考点三平面向量的坐标运算例3、(2019·高考全国卷Ⅱ)已知＝(2,3)，＝(3，t)，||＝1，则·=()A3B2【举一反三】(2018·高考全国卷Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(22)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ=.________【变式探究】平面向量a＝(1，m)，b＝(4，m)，若(2|a|－|b|)(a＋b)＝0，则实数m＝.真题感悟为2π5πCD2．【2019年高考全国II卷文数】已知向量a=(2，3)，b=(3，2)，则|a-b|=5C．5√2D．503．【2019年高考北京卷文数】已知向量a=（–4，3），b=（6，m），且a」b，则m=.点E在线段CB的延长线上，且AE=BE，则.=.6．【2019年高考江苏卷】如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CEAC_____------------------|λ1AB+λ2BC+λ3CD+λ4DA+λ5AC+λ6BD------------------1.（2018年浙江卷）已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2−4e·b+3=0，则|a−b|的最小值是A.−1B.+1C.2D.2−2.（2018年天津卷）在如图的平面图形中，已知,则的值为6A.-15B.-9C.-6D.03.（2018年全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足al=1，a·b=-l，则a·(2a-b)=A.4B.3C.2D.0=A.B.C.D.5.（2018年全国III卷）已知向量a=(1,2)，b=(2,-2)，c=(1,)．若cl(2a+b)，则.6.（2018年天津卷）已知函数f(x)=exlnx，f(x)为f(x)的导函数，则的值为.7.（2018年北京卷）设向量“=（1,0b=(−1,m）,若a⊥(ma-b)，则m=.8.（2018年江苏卷）在平面直角坐标系xoy中，A为直线ly=2x上在第一象限内的点，B(5,)，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若，则点A的横坐标为.1.【2017课标II，文4】设非零向量“，b满足“+b=“-b则A.“⊥bB.“=bC.“∥bD.2.【2017山东，文11】已知向量“=（2,6）,b=(一1,λ),若“||b,则λ=.“||b3.【2017北京，文12】已知点P在圆x2+y2=1上，点A的坐标为(-2,0)，O为原点，则.的最大值为.---------------5.【2017天津，文14】在△ABC中，经A=60O---------------且.=4，则λ的值为.6.【2017课标1，文13】已知向量“=（–1，2b=（m，1若向量“+b与“垂直，则m=.7.【2017江苏，12】如图,在同一个平面内，向量,,的模分别为1,1,,与的夹角为C,7------------------------------CBCOA（1）若a∥b,求x的值；（2）记f(x)=a.b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.（A8（B6（C）6（D）82.【2016高考江苏卷】如图，在ΔABC中，D是BC的中点，E,F是A,D上的两个三等分点，---------------------------------------DA3.【2016年高考四川文数】在平面内，定点A，B，C，D满足DA---------------------------=DB=DC,DA.DB=DB.DC=DC.DA=-2，动点---------------------------大值是()----BM----BM2（ABCD）4.【2016高考江苏卷】如图，在ΔABC中，D是BC的中点，E,F是A,D上的两个三等分点，------------------9专题8平面向量考情解读高考侧重考查正、余弦定文与其他知识(如三角函数、平面向量等)的综合应用，试题一般为中档题，各种题型均有可能出现．高考仍将以正、余弦定文的综合应用为主要考点，重点考查计算能力及应用数学知识分析、解决问题的能力.重点知识梳理1．向量的基本概念(1)既有大小又有方向的量叫做向量.(2)零向量的模为0，方向是任意的，记作0.(3)长度等于1的向量叫单位向量.(4)长度相等且方向相同的向量叫相等向量.(5)方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共线向量．零向量和任一向量平行.2．共线向量定文向量a(a≠0)与b共线，当且仅当存在唯一一个实数λ,使b=λa.3．平面向量基本定文如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a=λ1e1+λ2e2.4．两向量的夹角与b的夹角.5．向量的坐标表示及运算a±b＝(x1±x2，y1±y2)，λa＝(λx1，λy1).(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1).6．平面向量共线的坐标表示已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a与b共线.7．平面向量的数量积设θ为a与b的夹角.(1)定义：a·b＝|a||b|cosθ.(2)投影：＝|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影.8．数量积的性质(2)当a与b同向时，a·b＝|a|·|b|；当a与b反向时，a·b|a|·|b|；特别地，a·a＝|a|2；(4)cosθ=.9．数量积的坐标表示、模、夹角已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)x2＋y1y2；(2)|a|(4)cosθ=x1x2＋y1y2【误区警示】1．两向量夹角的范围是[0，π]，a·b>0与〈a，b〉为锐角不等价；a·b<0与〈a，b〉为钝角不等价.2．点共线和向量共线，直线平行与向量平行既有联系又有区别.3．a在b方向上的投影为，而不是.4．若a与b都是非零向量，则λa+μb＝0⇔a与b共线，若a与b不共线，则λa+μb＝0⇔λ=μ=0.高频考点突攻高频考点一平面向量的概念及线性运算例1．(2018·高考全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则E→B＝(【解析】如图，【答案】A【变式探究】2017山东，文11】已知向量“=（2,6）,b=(-1,λ),若“||b,则λ=.【答案】-3【解析】由“||b可得-1题6=2λ牵λ=-3.【变式探究】已知向量“＝(m,4)，b＝(32)，且“∥b，则m＝.【解析】基本法：∵“∥b，∴“=λb即(m,4)=λ(32)＝(3λ,-2λ)∴速解法：根据向量平行的坐标运算求解：∵“=(m,4)，b＝(32)，ℼ∥b∴m×(－2)－4×3＝0∴-2m－12＝0，∴m6.【答案】－6【方法技巧】平面向量线性运算的两种技巧(1)对于平面向量的线性运算问题，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，灵活运用三角形法则、平行四边形法则，紧密结合图形的几何性质进行运算.(2)在证明两向量平行时，若已知两向量的坐标形式，常利用坐标运算来判断；若两向量不是以坐标形式呈现的，常利用共线向量定理(当b≠0时，a∥b⇔存在唯一实数λ,使得a=λb)来判断.A．(－74)B．(7,4)C．(－1,4)D．(1,4)x4，→y2，所以从而BC＝(－42)－(3,2)x4，→y2，【答案】A【举一反三】向量的三角形法则要保证各向量“首尾相接”；平行四边形法则要保证两向量“共起点”，结合几何法、代数法(坐标)求解.A.ADB.2ADC.BCD.2BC-1a＋b1→ 2＝2(a＋-1a＋b1→=2AD＝=2AD＝AD.2【答案】A高频考点二平面向量数量积的计算与应用例2．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b1，则a·(2a－b)＝()【解析】a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2－(－1)＝3.【答案】B---122). 3而A→E2＝22 322×.法二：以AB所在直线为x轴，AB的中点为原点建立平面直角坐标系，如图，11－xy)·－xy1=2(x＋1·xy·y－= ∵BA= 24.x＋2＋y ∵BA= 24.442442【答案】B1 →,21 →,2，BC＝22，则∠ABC＝()C．60°D．120°【解析】通解：根据向量的夹角公式求解. 2 2,BC===3BA==32.2.1 2.优解：如图，以B为原点建立平面直角坐标系，则A1 2.2 2 【答案】A【变式探究】(1)向量a＝(11)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝()A1B．0【解析】基本法：因为2a＋b＝2(11)＋(－1,2)＝(22)＋(－1,2)＝(1,0)，所以(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，-1)＝1×1＋0×(－1)＝1.故选C.【答案】C【方法规律】1．一般地，用向量方法解决模的问题的途径有三：一是利用公式|a|2＝a2，将模的平方转化为数量积问题；二是利用模的几何意义；三是坐标法．解决向量的夹角问题主要是利用公式“cos〈a，b〉＝”将向量的夹角问题转化为数量积及模的问题来解决.2．求解向量数量积最值问题的两种思路(1)直接利用数量积公式得出代数式，依据代数式求最值.(2)建立平面直角坐标系，通过坐标运算得出函数式，转化为求函数的最值.【举一反三】当向量以几何图形的形式(有向线段)出现时，其数量积的计算可利用定义法；当向量以坐标形式出现时，其数量积的计算用坐标法；如果建立坐标系，表示向量的有向线段可用坐标表示，计算向量较简单.2速解法：(坐标法)先建立平面直角坐标系，结合向量数量积的坐标运算求解.如图，以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，D(0,2)，E(1,2)，【答案】2高频考点三平面向量的坐标运算A3B2故选C.【答案】C【举一反三】(2018·高考全国卷Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(22)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ=.________【解析】由题意得2a＋b＝(4,2)，因为c＝(1，λ)，c∥(2a＋b)，所以4λ-2＝0，解得λ=.【答案】【变式探究】平面向量a＝(1，m)，b＝(4，m)，若(2|a|－|b|)(a＋b)＝0，则实数m＝.【解析】由题意可得a＋b＝(5,2m)，则2|a|－|b|＝0，即2|a|＝|b|，亦即＝2，解得m=±2.【答案】±2真题感悟为2π5π【答案】B cosθ==2=，所以“cosθ==2=，所以“与b的夹角为-，故选B.“.b“.b2．【2019年高考全国II卷文数】已知向量“=(2，3)，b=(3，2)，则|“-b|=C．5√2D．50【答案】A2故选A.3．【2019年高考北京卷文数】已知向量“=（–），），【答案】8【答案】【解析】22 22点E在线段CB的延长线上，且AE=BE，则.=.【答案】1【解析】建立如图所示的直角坐标系，∠DAB=30°,AB=2,AD=5,则B(2,0)，D(,).|√3所以直线BE的斜率为，其方程为y=(x一2|√3y6．【2019年高考江苏卷】如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CEAB交于点O.若AB.AC=6AO.EC，则AC的值是_____.【答案】√3.【解析】如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC的中点，知BF=FE=EA,AO=OD.6A.E=3A.(A-A)=A+A).(A-A)，=A.A-A2+A2=A.A-A2+A2=A.A，232AB232AB|λ1A+λ2B+λ3C+λ4D+λ5A+λ6B|的最小值是；最大值是.【答案】0；2.【解析】以AB,AD分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图.令所以当λ1=λ3=λ4=λ5=λ6=1,λ2=-1时，有最小值ymin=0.因为(λ1-λ3+λ5)和(λ2-λ4+λ5)的取值不相关，λ6=1或λ6=-1，所以当(λ1-λ3+λ5)和(λ2-λ4+λ5)分别取得最大值时，y有最大值，所以当λ1=λ2=λ5=λ6=1,λ3=λ4=-1时，有最大值ymax=222+42.=20=25.故答案为0；2.1.（2018年浙江卷）已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2−4e·b+3=0，则|a−b|的最小值是A.−1B.+1C.2D.2−【答案】A【解析】设a=(xy),e=(1,0),b=(m,n)，则由得，由b2-48·b+3=0得因此的最小值为圆心(2,0)到直线y=±5x的距离减去半径1，为5-1.选A.2.（2018年天津卷）在如图的平面图形中，已知,则的值为A.-15B.-9C.-6D.0【答案】C【解析】如图所示，连结MN，由BiM=2iA,CN=2NA可知点M,N分别为线段AB,AC上靠近点A的三等分点，由题意可知：OM2=2=1结合数量积的运算法则可得：.本题选择C选项.3.（2018年全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足al=1，a·b=-l，则a·(2a-b)=A.4B.3C.2D.0【答案】B【解析】因为，所以选B.=A.B.C.D.【答案】A【解析】根据向量的运算法则，可得,所以，故选A.5.（2018年全国III卷）已知向量a=(1,2)，b=(2,-2)，c=(1,)．若cl(2a+b)，则.【答案】【解析】由题可得…,故答案为6.（2018年天津卷）已知函数f(x)=exlnx，f(x)为f(x)的导函数，则的值为.【答案】e【解析】由函数的解析式可得：，则：f0-(-.值为e.7.（2018年北京卷）设向量“=（1,0b=(−1,m）,若a⊥(ma-b)，则m=.【答案】-1【解析】=(1,0).5=(-1m)，·md-3=(m,0)-(-1,m)=(m+1,-m)，由得：ä·(m3-)=0，,即m=-1.8.（2018年江苏卷）在平面直角坐标系xoy中，A为直线ly=2x上在第一象限内的点，B(5,)，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若，则点A的横坐标为.【答案】3【解析】设A(a,2a)(a>0)，则由圆心为AB中点得易得，与y=2x联立解得点D的横坐标所以D(1,2).所以，由得或a=-l，因为a>0，所以a=3.1.【2017课标II，文4】设非零向量“，b满足“+b=“-b则A.“⊥bB.“=bC.“∥bD.【答案】Aa-b|平方得(a)2a-b|平方得(a)2+2ab+(b)2------------A.2.【2017山东，文11】已知向量a=（2,6）,b=(一1,λ),若a||b,则λ=.【答案】-33.【2017北京，文12】已知点P在圆x2+y2=1上，点A的坐标为(-2,0)，O为原点，则.的最大值为.【答案】6【解析】所以最大值是6.【答案】2---------------5.【2017天津，文14】在△ABC中，经A=60O，AB=3，AC=2.若BD=2DC，AE=λAC一---------------且.=4，则λ的值为.【答案】 6.【2017课标1，文13】已知向量a=（–1，2b=（m，1若向量a+b与a垂直，则m=.【答案】77.【2017江苏，12】如图,在同一个平面内，向量,,的模分别为1,1,,与的夹角为C,------------------------------CBCOA【答案】3【解析】由tanc=7可得sinc=，cosc=，根据向量的分解，5 45 47,48.【2017江苏，16】已知向量n=(cosx,sinx),b=(3,_),xe[0,π].（1）若n∥b,求x的值；（2）记f(x)=n.b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.【解析】f(x)取到最小值_2.2x又xe[0,π]，所以x=5π.6(π)(π)(x)取到最小值_2.------------------（A8（B6（C）6（D）8------------------【答案】D2.【2016高考江苏卷】如图，在ΔABC中，D是BC的中点，E,F是A,D上的两个三等分点，7878---2---2------1---1---1---1---4FD一