中考数学二轮复习考点提分特训专题07 五大最值问题模型（原卷版）

专题07五大最值问题模型一、【知识回顾】（1）将军饮马模型：①一定两动②一定两动③两定两动（2）费马点模型：（如图：求PA+PB+PC最小值，图3CD为所求最小值）（3）阿氏圆模型：（4）胡不归模型：（5）隐圆最值模型：①四点共圆：②动点到定点等定长：③直角所对的是直径：④定弦对定角：二、【考点类型】考点1：将军饮马模型典例1：（2022春·全国·九年级期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，弦AD平分∠BAC，过点D作射线AC的垂线，垂足为M，点E为线段AB上的动点．(1)求证：MD是⊙O的切线；(2)若∠B＝30°，AB＝8，在点E运动过程中，EC+EM是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，说明理由；(3)若点E恰好运动到∠ACB的角平分线上，连接CE并延长，交⊙O于点F，交AD于点P，连接AF，CP＝3，EF＝4，求AF的长．【变式1】（2023春·八年级课时练习）如图，在等边SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．点SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0上的两个定点且SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0上一动点，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为______SKIPIF1<0．【变式2】（2023春·山东青岛·九年级专题练习）如图，点P是SKIPIF1<0内任意一点，SKIPIF1<0，点M和点N分别是射线SKIPIF1<0和射线SKIPIF1<0上的动点，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0周长的最小值是______．【变式3】（2022春·贵州铜仁·八年级统考期末）如图，已知一次函数y＝kx＋b的图像经过A（1，4），B（4，1）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．(1)求该一次函数的表达式；(2)若y轴存在一点P使PA＋PB的值最小，求此时点P的坐标及PA＋PB的最小值；(3)在x轴上是否存在一点M，使△MOA的面积等于△AOB的面积；若存在请直接写出点M的坐标，若不存在请说明理由．考点2：费马点模型典例2：（2021秋·四川成都·九年级成都实外校考阶段练习）如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，P是SKIPIF1<0内一点，求SKIPIF1<0的最小值为______．【变式1】（2022秋·全国·九年级专题练习）在正方形ABCD中，点E为对角线AC（不含点A）上任意一点，AB=SKIPIF1<0；（1）如图1，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DCF，连接EF；①把图形补充完整（无需写画法）；

②求SKIPIF1<0的取值范围；(2)如图2，求BE+AE+DE的最小值．【变式2】（2022春·全国·九年级专题练习）如图，正方形SKIPIF1<0的边长为4，点SKIPIF1<0是正方形内部一点，求SKIPIF1<0的最小值．【变式3】（2022春·江苏·九年级期末）如图，在平面直角坐标系xoy中，点B的坐标为(0，2)，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴的正半轴上，SKIPIF1<0，OE为△BOD的中线，过B、SKIPIF1<0两点的抛物线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴相交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点（SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的左侧）.（1）求抛物线的解析式；（2）等边△SKIPIF1<0的顶点M、N在线段AE上，求AE及SKIPIF1<0的长；（3）点SKIPIF1<0为△SKIPIF1<0内的一个动点，设SKIPIF1<0，请直接写出SKIPIF1<0的最小值,以及SKIPIF1<0取得最小值时，线段SKIPIF1<0的长.考点3：阿氏圆模型典例3：（2023春·江苏·九年级校考阶段练习）如图，正方形SKIPIF1<0的边长为4，SKIPIF1<0的半径为2，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的动点，则SKIPIF1<0的最大值是______．【变式1】（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则SKIPIF1<0PA＋PB的最小值为________．【变式2】（2023秋·重庆九龙坡·九年级重庆市育才中学校考期末）已知SKIPIF1<0与SKIPIF1<0有公共顶点C，SKIPIF1<0为等边三角形，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．(1)如图1，当点E与点B重合时，连接AD，已知四边形ABDC的面积为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；(2)如图2，SKIPIF1<0，A、E、D三点共线，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0中点M，连接SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0；(3)如图3，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0以C为旋转中心旋转，取SKIPIF1<0中点F，当SKIPIF1<0的值最小时，求SKIPIF1<0的值．【变式3】（2021·全国·九年级专题练习）如图1，在RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圆C的半径为2，点P为圆上一动点，连接AP，BP，求：①SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0，③SKIPIF1<0，④SKIPIF1<0的最小值．考点4：胡不归模型典例4：（2023秋·四川乐山·九年级统考期末）如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，若D是SKIPIF1<0边上的动点，则SKIPIF1<0的最小值是（

）A．6 B．8 C．10 D．12【变式1】（2022春·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x＋c的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（0，﹣3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，则SKIPIF1<0PD＋PC的最小值是（

）A．4 B．2＋2SKIPIF1<0 C．2SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式2】（2022·湖北武汉·校联考一模）如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0的SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是圆SKIPIF1<0的切线，且圆的直径SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上，设点SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0上任意一点SKIPIF1<0不含端点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为______．【变式3】（2022秋·浙江·九年级专题练习）如图，四边形ABCD是菱形，AB＝8，且∠ABC＝60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，则AM+SKIPIF1<0BM的最小值为_____．考点5：隐圆最值模型典例5：（2023秋·浙江金华·九年级统考期末）如图，正方形SKIPIF1<0的边长为4，点E是正方形SKIPIF1<0内的动点，点P是SKIPIF1<0边上的动点，且SKIPIF1<0．连结SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式1】（2022·山东泰安·统考中考真题）如图，四边形SKIPIF1<0为矩形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．点P是线段SKIPIF1<0上一动点，点M为线段SKIPIF1<0上一点．SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式2】（2023秋·广东广州·九年级统考期末）如图，四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是四边形SKIPIF1<0内的一个动点，满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0面积的最小值为______．【变式3】（2022春·全国·九年级专题练习）△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D是BC的中点，E为AB上一动点，点B关于DE的对称点SKIPIF1<0在△ABC内（不含△ABC的边上），则BE长的范围为______．巩固训练一、单选题1．（2022秋·安徽池州·九年级统考期末）如图，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点P为AC边上的动点，过点P作SKIPIF1<0于点D，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．5 D．SKIPIF1<02．（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆市凤鸣山中学校联考期末）如图，SKIPIF1<0为正方形SKIPIF1<0边SKIPIF1<0上一点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为对角线SKIPIF1<0上一个动点，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．5 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．103．（2022秋·浙江杭州·九年级杭州外国语学校校考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，二次函数SKIPIF1<0的图像与x轴交于A、C两点，与x轴交于点SKIPIF1<0，若P是x轴上一动点，点D的坐标为SKIPIF1<0，连接PD，则SKIPIF1<0的最小值是（

）A．4 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2022·河南·校联考三模）如图1，正方形SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，点SKIPIF1<0是对角线SKIPIF1<0上的一个动点，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当点SKIPIF1<0从SKIPIF1<0向点SKIPIF1<0运动时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的函数关系如图2所示，其中点SKIPIF1<0是函数图象的最低点，则点SKIPIF1<0的坐标是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2022秋·河北邢台·九年级统考期末）如图，SKIPIF1<0的半径是SKIPIF1<0，P是SKIPIF1<0上一动点，A是SKIPIF1<0内部一点，且SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（

）①PA的最小值为SKIPIF1<0；②PA的最大值为SKIPIF1<0；③当SKIPIF1<0时，△PAO是等腰直角三角形；④△PAO面积最大为SKIPIF1<0．A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．②③④7．（2022秋·北京海淀·九年级校考期中）如图，如图，SKIPIF1<0的半径为2，圆心SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的任意一点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与x轴分别交于A，B两点，若点A、点B关于原点O对称，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．3 B．4 C．5 D．68．（2023春·九年级课时练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则SKIPIF1<0AP＋BP的最小值为（

）A．7 B．5SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．（2022·福建厦门·福建省厦门集美中学校考一模）如图，在平面直角坐标系中，直线SKIPIF1<0分别与x轴、y轴相交于点A、B，点E、F分别是正方形OACD的边OD、AC上的动点，且SKIPIF1<0，过原点O作SKIPIF1<0，垂足为H，连接HA、HB，则SKIPIF1<0面积的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．12 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<010．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0边上的动点，则SKIPIF1<0的最小值（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、填空题11．（2022秋·山东菏泽·九年级校考阶段练习）如图，在周长为SKIPIF1<0的菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0为对角线SKIPIF1<0上一动点，则SKIPIF1<0的最小值为______．12．（2023秋·山东东营·九年级校考期末）如图，SKIPIF1<0是⊙O的弦，点C在⊙O内，SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，若⊙O的半径是4，则SKIPIF1<0长的最小值为______．13．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一点，且CD＝3，E是BC边上一点，将△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为_______．14．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线l分别交x、y轴于B、C两点，点A、C的坐标分别为(3，0)、(0，﹣3)，且∠OCB＝60°，点P是直线l上一动点，连接AP，则SKIPIF1<0的最小值是______．15．（2022秋·浙江·九年级专题练习）如图，直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，点C（0，1）在y轴上，点P在x轴上运动，则SKIPIF1<0PC＋PB的最小值为___．三、解答题16．（2023秋·江西宜春·八年级统考期末）如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0边的垂直平分线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点D，若SKIPIF1<0，(1)求SKIPIF1<0的长；(2)若点P是直线SKIPIF1<0上的动点，直接写出SKIPIF1<0的最小值为_________．17．（2022秋·河北保定·八年级统考期末）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0延长线上一点，点SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的垂直平分线的交点，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)如图1，当SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0______°；(2)当SKIPIF1<0时，①如图2，连接SKIPIF1<0，判断SKIPIF1<0的形状，并证明；②如图3，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0．SKIPIF1<0为直线SKIPIF1<0上一动点．当SKIPIF1<0的值最大时，用等式表示SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间的数量关系为______，并证明．18．（2022春·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系，SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0经过SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上运动，求SKIPIF1<0最小值．19．（2021春·江苏苏州·八年级校考期中）定义：既相等又垂直的两条线段称为“等垂线段”，如图1，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别在边SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中点，且连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0．(1)观察猜想线段SKIPIF1<0与SKIPIF1<0______填（“是”或“不是”）“等垂线段”．(2)SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0按逆时针方向旋转到图2所示的位置，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，试判断SKIPIF1<0与SKIPIF1<0是否为“等垂线段”，并说明理由．(3)拓展延伸把SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0在平面内自由旋转，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，请直接写出SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的积的最大值．20．（2022秋·山东济南·九年级山东师范大学第二附属中学