陕西省西安市含光中学高二数学理上学期摸底试题含解析

陕西省西安市含光中学高二数学理上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.给出以下四个数：6，-3，0，15，用冒泡排序法将它们按从大到小的顺序排列需要经过几趟（

）A．1B．2C．3D．4

参考答案：C2.若椭圆的离心率为，则实数m等于(

)A．3

B．1或3

C．3或

D．1或参考答案：C3.下列说法中，正确的个数是（

）(1)在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等。（2）与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多

的关于样本数据全体的信息。(3)如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这一组数的平均数改变，方差不改变。(4)一个样本的方差，则这组数据的总和等于60.(5)数据的方差为，则数据的方差为A.5

B.4

C.3

D.2

参考答案：A略4.已知命题p：?n∈N，n+＜4，则?p为（）A．?n∈N，n+＜4 B．?n∈N，n+＞4 C．?n∈N，n+≤4 D．?n∈N，n+≥4参考答案：D【考点】命题的否定．【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．【解答】解：命题为特称命题，根据特称命题的否定是全称命题得命题的否定为：?n∈N，n+≥4，故选：D．5.某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X(单位：分)的数学期望为()．A.0.9 B.0.8 C.1.2 D.1.1参考答案：A依题意得，得分之和X的可能取值分别是0、1、2，且P(X＝0)＝(1－0.4)(1－0.5)＝0.3，P(X＝1)＝0.4×(1－0.5)＋(1－0.4)×0.5＝0.5，P(X＝2)＝0.4×0.5＝0.2，∴得分之和X的分布列为X

0

1

2

P

0.3

0.5

0.2

∴E(X)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9.6.已知命题对于恒有成立；命题奇函数的图像必过原点，则下列结论正确的是（

）A．为真

B．为真

C．为真

D．为假参考答案：C7.已知x+2y=1，则2x+4y的最小值为（） A．8 B． 6 C． D． 参考答案：C8.已知三次函数f（x）=x3﹣（4m﹣1）x2+（15m2﹣2m﹣7）x+2在x∈（﹣∞，+∞）无极值点，则m的取值范围是（）A．m＜2或m＞4 B．m≥2或m≤4 C．2≤m≤4 D．2＜m＜4参考答案：C【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，问题转化为则f′（x）≥0或f′（x）≤0恒成立，即△≤0即可，求出m的范围即可．【解答】解：f′（x）=x2﹣2（4m﹣1）x+（15m2﹣2m﹣7）若f（x）在（﹣∞，+∞）上无极值点，则f′（x）≥0或f′（x）≤0恒成立，即△≤0即可，即[﹣2（4m﹣1）]2﹣4（15m2﹣2m﹣7）≤0，解得：2≤m≤4，故选：C．9.设，，若，则的取值范围是A．

B．

C．

D．参考答案：A略10.已知P为△ABC所在平面α外一点，PA=PB=PC，则P点在平面α内的射影一定是△ABC的

（

）A．内心

B．外心

C．垂心

D．重心参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.抛物线顶点为，焦点为，是抛物线上的动点，则的最大值为

．参考答案：略12.已知不等式解集为，则不等式的解集为____

.参考答案：13.已知a∈R，若在区间（0，1）上只有一个极值点，则a的取值范围为．参考答案：a＞0【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求导数，分类讨论，利用极值、函数单调性，即可确定a的取值范围．【解答】解：∵f（x）=（x+）ex，∴f′（x）=（）ex，设h（x）=x3+x2+ax﹣a，∴h′（x）=3x2+2x+a，a＞0，h′（x）＞0在（0，1）上恒成立，即函数h（x）在（0，1）上为增函数，∵h（0）=﹣a＜0，h（1）=2＞0，∴h（x）在（0，1）上有且只有一个零点x0，使得f′（x0）=0，且在（0，x0）上，f′（x）＜0，在（x0，1）上，f′（x）＞0，∴x0为函数f（x）在（0，1）上唯一的极小值点；a=0时，x∈（0，1），h′（x）=3x2+2x＞0成立，函数h（x）在（0，1）上为增函数，此时h（0）=0，∴h（x）＞0在（0，1）上恒成立，即f′（x）＞0，函数f（x）在（0，1）上为单调增函数，函数f（x）在（0，1）上无极值；a＜0时，h（x）=x3+x2+a（x﹣1），∵x∈（0，1），∴h（x）＞0在（0，1）上恒成立，即f′（x）＞0，函数f（x）在（0，1）上为单调增函数，函数f（x）在（0，1）上无极值．综上所述，a＞0，故答案为：a＞0．14.过抛物线C：y2=4x的焦点F作直线l将抛物线C于A、B，若|AF|=4|BF|，则直线l的斜率是

．参考答案：【考点】KN：直线与抛物线的位置关系．【分析】由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，设出直线l的方程，和抛物线方程联立，化为关于y的一元二次方程后利用根与系数的关系得到A，B两点纵坐标的和与积，结合|AF|=3|BF|，转化为关于直线斜率的方程求解．【解答】解：∵抛物线C方程为y2=4x，可得它的焦点为F（1，0），∴设直线l方程为y=k（x﹣1），由，消去x得y2﹣y﹣k=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），可得y1+y2=，y1y2=﹣4①．∵|AF|=4|BF|，∴y1+4y2=0，可得y1=﹣4y2，代入①得﹣3y2=，且﹣4y22=﹣4，解得y2=±1，解，得k=±．故答案为：．15.过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A，B两点（点A在y轴左侧），则=．参考答案：3【考点】抛物线的简单性质．【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】作AA1⊥x轴，BB1⊥x轴．则可知AA1∥OF∥BB1，根据比例线段的性质可知==，根据抛物线的焦点和直线的倾斜角可表示出直线的方程，与抛物线方程联立消去x，根据韦达定理求得xA+xB和xAxB的表达式，进而可求得xAxB=﹣（）2，整理后两边同除以xA2得关于的一元二次方程，求得的值，进而求得．【解答】解：如图，作AA1⊥x轴，BB1⊥x轴．则AA1∥OF∥BB1，∴==，又已知xA＜0，xB＞0，∴=﹣，∵直线AB方程为y=xtan30°+即y=x+，与x2=2py联立得x2﹣px﹣p2=0∴xA+xB=p，xA?xB=﹣p2，∴xAxB=﹣p2=﹣（）2=﹣（xA2+xB2+2xAxB）∴3xA2+3xB2+10xAxB=0两边同除以xA2（xA2≠0）得3（）2+10+3=0∴=﹣3或﹣．又∵xA+xB=p＞0，∴xA＞﹣xB，∴＜﹣1，∴=﹣=3．故答案为：3【点评】本题主要考查了抛物线的性质，直线与抛物线的关系以及比例线段的知识．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．16.设等比数列的公比，前n项和为，则

参考答案：17.

一个长方体的各顶点均在同一个球的球面上，且过同一个顶点的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积是

；参考答案：14π三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣3|．（1）作出函数图象，并求不等式f（x）＞2的解集；（2）设g（x）=，若对于任意的x1，x2∈[3，5]都有f（x1）≤g（x2）恒成立，求正实数m的取值范围．参考答案：【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）去掉绝对值，化简函数的解析式，作出函数的图象．（2）由题意可得当x∈[3，5]时，f（x）max≤g（x）min，由于当x∈[3，5]时，f（x）max=3，故g（x）的最小值大于或等于3．分当∈[3，5]、当∈（0，3）、当＞5三种情况，分别求得m的范围，综合可得结论．【解答】解：（1）函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣3|=，如图所示：令=2，求得x=，故结合图象，由f（x）＞2可得x＜，或x＞3．（2）设g（x）=，若对于任意的x1，x2∈[3，5]，都有f（x1）≤g（x2）恒成立，故当x∈[3，5]时，f（x）max≤g（x）min．由于当x∈[3，5]时，f（x）max=5﹣2=3，故g（x）的最小值大于或等于3．∵m＞0，g（x）=x+≥2，当且仅当x=∈[3，5]时取等号，显然满足2≥3，故有m∈[9，25]．当∈（0，3），即0＜m＜9时，＜3，g（x）=x+在[3，5]上单调递增，g（x）的最小值为g（3）=3+＞3，满足条件．当＞5，即m＞25时，＞5，g（x）=x+在[3，5]上单调递减19.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，，，60°，，E是PC的中点.（1）证明：AE⊥平面PCD；（2）求二面角A-PD-C的正弦值.参考答案：（1）证明：在四棱锥P－ABCD中，因PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，故CD⊥PA

……………2分由条件CD⊥AC，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.又AE平面PAC，∴AE⊥CD

……………4分由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.又PC∩CD＝C，综上得AE⊥平面PCD

……………6分（2）解过点E作EM⊥PD，垂足为M，连接AM，如图所示.由(1)知，AE⊥平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，则AM⊥PD.因此∠AME是二面角A－PD－C的平面角

……………8分由已知，可得∠CAD＝30°.设AC＝a，可得PA＝a，AD＝a，PD＝a，AE＝a.在Rt△ADP中，∵AM⊥PD，∴AM·PD＝PA·AD，则AM＝＝＝a

……………10分在Rt△AEM中，sin∠AME＝＝.所以二面角A－PD－C的正弦值为

……………12分方法二：∵AB=BC且∠ABC=60°

∴AB=BC=AC又∴AB⊥AD

且AC⊥CD∴∠DAC=30°，∠ADC=60°

……………2分不妨令

PA=AB=BC=AC=a分别以AB、AD、PA所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系则A（0,0,0）

B（a,0,0）P（0,0,a）

D（0,,0）C（）

E（）

……………4分（1）

且∴AE⊥面PCD

……………6分（2）为面PAD的一个法向量

……………7分

由（1）知为面PCD的一个法向量

……………8分∴二面角的余弦值

…………10分∴二面角的正弦值为

…………12分20.已知椭圆（a＞b＞0）的离心率，焦距是． （1）求椭圆的方程； （2）若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点，，求k的值． 参考答案：【考点】椭圆的简单性质． 【专题】计算题；整体思想；设而不求法；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（1）由题意知，，从而求椭圆的方程即可． （2）设出交点坐标，联立方程化简得（1+3k2）x2+12kx+9=0，从而结合韦达定理及两点间的距离公式求解即可． 【解答】解：（1）由题意知， 故c2=2， 又∵， ∴a2=3，b2=1， ∴椭圆方程为． （2）设C（x1，y1），D（x2，y2）， 将y=kx+2代入， 化简整理可得，（1+3k2）x2+12kx+9=0， 故△=（12k）2﹣36（1+3k2）＞0， 故k2≥1； 由韦达定理得， ， 故， 而y1﹣y2=k（x1﹣x2）， 故； 而代入上式， 整理得7k4﹣12k2﹣27=0， 即（7k2+9）（k2﹣3）=0， 解得k2=3，故． 【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系的应用及学生的化简运算能力． 21.已知动点P与双曲线x2－y2＝1的两个焦点F1，F2的距离之和为定值，（1）求动点P的轨迹方程；（2）设M(0，－1)，若斜率为k(k≠0)的直