湖南省长沙市国防科大附属中学高二数学理测试题含解析

湖南省长沙市国防科大附属中学高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知数列{an}为等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝3，a4＋a5＋a6＝6，则S12＝A．15

B．30

C．45

D．60参考答案：C2.从12个同类产品（其中有10个正品，2个次品）中任意抽取3个，下列事件是必然事件的是

A.3个都是正品

B.至少有一个是次品

C.3个都是次品

D.至少有一个是正品

参考答案：

D3.右图是正方体平面展开图，在这个正方体中k*s*5uk*s*5u①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60o角；④DM与BN垂直..

以上四个命题中，正确命题的序号是

（

）（A）①②③

（B）②④

（C）③④

（D）②③④

参考答案：C略4.已知正六边形，在下列表达式①；②；③；④中，与等价的有（

）

A．个

B．个

C．个

D．个参考答案：D5.已知，函数,则（

）A. B. C. D.参考答案：A略6.已知双曲线C的两焦点为F1，F2，离心率为，抛物线y2=16x的准线过双曲线C的一个焦点，若以线段F1F2为直径的圆与双曲线交于四个点Pi（i=1，2，3，4），|PiF1|?|PiF2|=（）A．0 B．7 C．14 D．21参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线、圆的方程，联立求出|y|=，利用面积关系，即可得出结论．【解答】解：由题意，c=4，a=3，b=，双曲线的方程为=1，与圆x2+y2=16，可得|y|=，∴|PiF1|?|PiF2|==14，故选C．7.已知偶函数在区间单调增加，则满足＜的取值范围是（

）A.（，） B.［，） C.（，） D.［，）参考答案：A8.已知随机变量ξ，η满足ξ+η=8，且ξ服从二项分布ξ～B（10，0.6），则E（η）和D（η）的值分别是（）A．6和2.4 B．2和2.4 C．2和5.6 D．6和5.6参考答案：B【考点】二项分布与n次独立重复试验的模型．【分析】根据变量ξ～B（10，0.6）可以根据方差的公式做出这组变量的方差，随机变量ξ+η=8，知道变量η也符合二项分布，即可得出结论．【解答】解：∵ξ～B（10，0.6），∴Eξ=10×0.6=6，Dξ=10×0.6×0.4=2.4，∵ξ+η=8，∴η=8﹣ξ∴Eη=E（8﹣ξ）=8﹣6=2，∴Dη=D（8﹣ξ）=2.4．故选：B．9.满足条件的正整数n的个数是（）A.10 B.9 C.4 D.3参考答案：C【分析】根据组合数的计算公式化简不等式，解一元二次不等式求得的取值范围，由此得出正确选项.【详解】解：∵，∴∴∴解得由题意，可取的值是6，7，8，9，共四个故选：C．【点睛】本小题主要考查组合数的计算公式，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.10.已知点，则点关于轴对称的点的坐标为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设函数，若，则

．参考答案：12.已知且满足,则的最小值为

.参考答案：1813.若对任意的正数x使（x－a）≥1成立，则a的取值范围是____________参考答案：a－114.函数的定义域是

。参考答案：15.若a,b,c成等比数列,则函数f(x)=ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数为.

参考答案：0略16.已知长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为、、，则这个长方体的外接球的表面积为

.参考答案：因长方体对角线长为，所以其外接球的表面积17.若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数k的取值范围___.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：零件的个数x(个)2345加工的时间y(小时)2.5344.5(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；(2)求出y关于x的线性回归方程＝bx＋a，并在坐标系中画出回归直线；(3)试预测加工10个零件需要多少时间？参考答案：解:(1)散点图如上图．……………

2分(2)由表中数据得iyi＝52.5，＝3.5，＝3.5，＝54，……

4分∴b＝0.7.∴a＝1.05.∴＝0.7x＋1.05.回归直线如图所示．……

1分(3)将x＝10代入回归直线方程得，y＝0.7×10＋1.05＝8.05(小时)，∴预测加工10个零件需要8.05小时．……………

2分

略19.如图，已知多面体PABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形，PA⊥底面ABCD，，且．（1）证明：直线BD∥平面PCE；（2）证明：平面PAC⊥平面PCE；（3）若直线PC与平面ABCD所成的角为45°，求二面角的余弦值．参考答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【分析】（1）连接，交于，设中点为，连接，通过证明四边形是平行四边形，证得，由此证得平面.（2）通过证明，证得平面，由此证得平面，进而有平面平面.（3）以点或者点建立空间直角坐标系，通过平面和平面的法向量，计算二面角的余弦值.【详解】（1）证明：连接BD，交AC于点O，设PC中点为F，连接OF，EF.因为O，F分别为AC，PC的中点，所以，且，因，且，所以，且，所以四边形OFED为平行四边形，所以，即，又平面，面，所以面；（2）因为平面，平面，所以.因为是菱形，所以.因为，所以平面，因为，所以平面，因为平面，所以平面平面

；（3）解法1：因为直线与平面所成角为，所以，所以，所以，故△为等边三角形.设BC的中点为M，连接AM，则.以A为原点，AM，AD，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系（如图）.则，，设平面PCE的法向量为，则,即，令则所以

，设平面CDE的法向量为，则即，令则所以

，设二面角的大小为，由于为钝角，所以．所以二面角的余弦值为．解法2：因为直线与平面所成角为，且平面，所以，所以．因为，所以为等边三角形．因为平面，由（1）知，所以平面．因为平面，平面，所以且．在菱形中，．以点为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系（如图）．则，则，设平面的法向量为，则即，令，则，则法向量．设平面的法向量为，则，即，令，则则法向量．设二面角的大小为，由于为钝角，则．所以二面角的余弦值为．【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，考查利用空间向量法求二面角的余弦值，考查运算求解能力，属于中档题.

20.某儿童节在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．记两次记录的数分别为x、y．奖励规则如下：①若xy≤3，则奖励玩具一个；②若xy≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶．假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动．（1）求小亮获得玩具的概率；（2）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．参考答案：（1）两次记录的数为（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），共16个，----------------------------2分满足xy≤3，有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（3，1），共5个，----------4分∴小亮获得玩具的概率为；-------------------------------------------------------6分（2）满足xy≥8，（2，4），（3，4），（4，2），（4，3），（3，3），（4，4）共6个，----8分∴小亮获得水杯的概率为；--------------------------------------------------------9分小亮获得饮料的概率为，----------------------------------------------11分∴小亮获得水杯大于获得饮料的概率．-------------------------------------------------12分21.设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|（1）解不等式f（x）≥3（2）若不等式|a+b|+|a﹣b|≥af（x）（a≠0，a，b∈R）恒成立，求实数x的范围．参考答案：【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）由已知条件根据x≤1，1＜x＜2，x≥2三种情况分类讨论，能求出不等式f（x）≥3的解集．（2）由不等式|a+b|+|a﹣b|≥af（x），得≥f（x），从而得到2≥|x﹣1|+|x﹣2|，由此利用分类讨论思想能求出实数x的范围．【解答】解：（1）当x≤1时，f（x）=1﹣x+2﹣x=3﹣2x，∴由f（x）≥3得3﹣2x≥3，解得x≤0，即此时f（x）≥3的解为x≤0；当1＜x＜2时，f（x）=x﹣1+2﹣x=1，∴f（x）≥3不成立；当x≥2时，f（x）=x﹣1+x﹣2=2x﹣3，∴由f（x）≥3得2x﹣3≥3，解得x≥3，即此时不等式f（x）≥3的解为x≥3，∴综上不等式f（x）≥3的解集为{x|x≤0或x≥3}．（2）由不等式|a+b|+|a﹣b|≥af（x），得≥f（x），又∵≥=2，∴2≥f（x），即