陕西省西安市第九十九中学2022-2023学年高二数学理测试题含解析

陕西省西安市第九十九中学2022-2023学年高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在△ABC中，若，则与的大小关系为

(

)

A.

B.

C.≥

D.、的大小关系不能确定参考答案：A略2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1=﹣14，a5+a6=﹣4，Sn取最小值时n的值为（）A．6 B．7 C．8 D．9参考答案：A【考点】8F：等差数列的性质．【分析】由等差数列的通项公式表示a5，a6，利用a5+a6=﹣4，求出公差d，可得通项公式an，令an=0，求解n即可Sn取最小值时n的值．【解答】解：由{an}是等差数列，设出公差为d，则a5=4d﹣14，a6=5d﹣14，∵a5+a6=﹣4，∴9d﹣28=﹣4，则d=故得an=﹣14+（n﹣1）×，令an=0，可得n=，∵n∈N*，∴当n＞6时，得an＞0．∴Sn取最小值时n的值为6．故选A．3.曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（

）Ａ、

Ｂ、

Ｃ、

Ｄ、

参考答案：A4.下面命题中，(1)如果，则a>b；(2)如果a>b，c<d，那么a-c>b-d(3)如果a>b，那么an>bn()(4)如果a>b，那么ac2>bc2．正确命题的个数是

(A)4

(B)3

(C)2

(D)1参考答案：C5.将长为1的小棒随机拆成3小段，则这3小段能构成三角形的概率为()A.

B.

C.

D.参考答案：C略6.在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b2+c2﹣a2=bc，则角A等于（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】余弦定理．【分析】利用余弦定理求出cosA，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出A的度数．【解答】解：△ABC中，b2+c2﹣a2=bc，根据余弦定理得：cosA===，又A∈（0，π），所以A=．故选：B．7.程序框图如右图所示，当时，输出的的值为（

）(A)

11

(B)12

(C)13

(D)14参考答案：B当k=1时，执行循环的结果是，不满足条件，继续执行循环，当k=2时，执行循环的结果是，不满足条件，继续执行循环，………………当k=12时，执行循环的结果是，满足条件，退出循环，此时k=12，故选B．8.若框图所给程序运行的结果为，那么判断框中应填入的关于的判断条件是（

）．A．

B．

C．

D．参考答案：D9.我们把底面是正三角形，顶点在底面的射影是正三角形中心的三棱锥称为正三棱锥。现有一正三棱锥放置在平面上，已知它的底面边长为2，高为，在平面上，现让它绕转动，并使它在某一时刻在平面上的射影是等腰直角三角形，则的取值范围是（

）A．

B．

C．.

D．参考答案：D10.已知函数，若，则a=A、

B、

C、1

D、2参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1有极大值又有极小值，则a的范围是．参考答案：{a|a＜﹣1或a＞2}【考点】函数在某点取得极值的条件．【专题】计算题．【分析】先对函数进行求导，根据函数f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1既有极大值又有极小值，可以得到导函数为0的方程有两个不等的实数根，从而有△＞0，进而可解出a的范围．【解答】解：f′（x）=3x2+6ax+3（a+2），要使函数f（x）有极大值又有极小值，需f′（x）=3x2+6ax+3（a+2）=0有两个不等的实数根，所以△=36a2﹣36（a+2）＞0，解得a＜﹣1或a＞2．故答案为：{a|a＜﹣1或a＞2}【点评】本题主要考查了函数的极值问题及导数的应用，利用导数作为工具去研究函数的性质非常方便．12.某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：7，现用分层抽样的方法抽出一个样本，样本中A型号的产品共有10件，那么此样本容量共件．参考答案：60【考点】分层抽样方法．【分析】求出抽样比，然后求解n的值即可．【解答】解：某工厂生产的A、B、C三种不同型号产品的数量之比为2：3：7，分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，则A被抽的抽样比为：=，A产品有10件，所以n==60，故答案为：60．13.以椭圆的焦点为焦点，离心率为2的双曲线方程为

参考答案：14.已知下列命题(表示直线，表示平面)：①若；②若；③若∥；④若∥．其中不正确的命题的序号是_______________．(将所有不正确的命题的序号都写上)参考答案：②略15.观察下列等式：（sin）﹣2+（sin）﹣2=×1×2；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+sin（）﹣2=×2×3；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×3×4；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×4×5；…照此规律，（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+（sin）﹣2=．参考答案：n（n+1）【考点】归纳推理．【分析】由题意可以直接得到答案．【解答】解：观察下列等式：（sin）﹣2+（sin）﹣2=×1×2；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+sin（）﹣2=×2×3；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×3×4；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×4×5；…照此规律（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+（sin）﹣2=×n（n+1），故答案为：n（n+1）16.设{an}是首项为1的正数项数列,且(n+1)-n+an+1an=0(n∈N*),经归纳猜想可得这个数列的通项公式为.

参考答案：an=(n∈N*)略17.按流程图的程序计算，若开始输入的值为，则输出的的值是

参考答案：

231

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）如图，在直角坐标系xOy中，点P到抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线

的距离为.点M(t,1)是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB被直线OM平分.（1）求p，t的值；（2）求△ABP面积的最大值.

参考答案：解：（1）由题意知得…………4分（2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为Q(m，m)，由题意知，设直线AB的斜率为k(k≠0).由得(y1－y2)(y1＋y2)＝x1－x2.故k·2m＝1.所以直线AB方程为y－m＝(x－m)，即x－2my＋2m2－m＝0.

…………6分由消去x，整理得y2－2my＋2m2－m＝0，所以Δ＝4m－4m2＞0，y1＋y2＝2m，y1·y2＝2m2－m.从而|AB|＝·|y1－y2|＝·.…………8分设点P到直线AB的距离为d，则d＝.设△ABP的面积为S，则S＝|AB|·d＝|1－2(m－m2)|·.

…………9分由Δ＝4m－4m2＞0，得0＜m＜1.令u＝，0＜u≤，则S＝u(1－2u2)，设S(u)＝u(1－2u2)，0＜u≤，则S′(u)＝1－6u2.由S′(u)＝0得u＝∈，所以S(u)max＝S＝.故△ABP面积的最大值为.…………12分

略19.已知，求下列各式的值（Ⅰ）（Ⅱ）参考答案：解：（Ⅰ），即则原式（Ⅱ），即则原式20.已知函数，．（I）设是函数图象的一条对称轴，求的值．（II）求函数的单调递增区间．参考答案：解：（I）由题设知．因为是函数图象的一条对称轴，所以，即（）．所以．………….3分当为偶数时，，当为奇数时，．

………..6分（II）．….9分当，即（）时，

……………..11分函数是增函数，故函数的单调递增区间是（）．……………..12分21.如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=4，点P为面ADD1A1的对角线AD1上的动点（不包括端点）．PM⊥平面ABCD交AD于点M，MN⊥BD于点N．（1）设AP=x，将PN长表示为x的函数；（2）当PN最小时，求异面直线PN与A1C1所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）参考答案：【考点】异面直线及其所成的角；函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）求出PM，AM，运用余弦定理，求得PN；（2）求出PN的最小值，由于MN∥AC，又A1C1∥AC，∠PNM为异面直线PN与A1C1所成角的平面角，通过解直角三角形PMN，即可得到．【解答】解：（1）在△APM中，，；其中；在△MND中，，在△PMN中，，；（2）当时，PN最小，此时．因为在底面ABCD中，MN⊥BD，AC⊥BD，所以MN∥AC，又A1C1∥AC，∠PNM为异面直线PN与A1C1所成角的平面角，在△PMN中，∠PMN为直角，，所以，异面直线PN与A1C1所成角的大小．22.已知椭圆C：的离心率为，连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为4．（1）求椭圆的方程；（2）设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为（﹣a，0），|AB|=，求直线l的倾斜角．参考答案：【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可知：根据椭圆的离心率及菱形的面积公式，即可求得a和b的值，求得椭圆的方程；（2）设直线l方程，代入椭圆方程，求得B点坐标，利用两点之间的距离公式，即可求得丨AB丨，即可求得k的值，求得直线l的倾斜角．【