湖南省娄底市新化县第十四中学高二数学理测试题含解析

湖南省娄底市新化县第十四中学高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.从圆:上任意一点向轴作垂线,垂足为,点是线段

的中点,则点的轨迹方程是

A．

B．

C．

D．参考答案：D2.双曲线3x2﹣y2=3的离心率为（）A．1 B． C． D．2参考答案：D【考点】双曲线的简单性质．【分析】将双曲线3x2﹣y2=3化成标准形式，得，从而得出出a、b的值，用平方关系算出c==2，再用双曲线的离心率公式，可得离心率e的值．【解答】解：双曲线3x2﹣y2=3化成标准形式为∴a2=1，b2=3，得c==2由此可得双曲线的离心率为e==2故选D3.设双曲线的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D，若D到直线BC的距离小于，则该双曲线的渐近线的斜率的取值范围是（

）． A． B． C． D．参考答案：A解：如图，轴于点，，，点在轴上，由射影定理得，，，解得，解得，则，即且．故选．4.已知命题p：存在x0∈R，使得x0﹣10＞lgx0；命题q：对任意x∈R，都有x2＞0，则（）A．p∨q是假命题 B．p∧q是真命题 C．￢q是假命题 D．p∧￢q是真命题参考答案：D【考点】2E：复合命题的真假；2B：逻辑联结词“且”．【分析】命题p：是真命题，例如取x0=100；命题q：是假命题，例如取x=0时不成立．【解答】解：命题p：存在x0∈R，使得x0﹣10＞lgx0，是真命题，例如取x0=100，则100﹣10=90＞2=lg100；命题q：对任意x∈R，都有x2＞0，是假命题，例如取x=0时不成立，因此是假命题．可得：p∧（￢q）是真命题．故选：D．5.已知点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该椭圆的离心率e的取值范围是（）A．（0，﹣1） B．（﹣1，1） C．（0，﹣1） D．（﹣l，1）参考答案：B【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】由题设知F1（﹣c，0），F2（c，0），A（﹣c，），B（﹣c，﹣），由△ABF2是锐角三角形，知tan∠AF2F1＜1，所以，由此能求出椭圆的离心率e的取值范围．【解答】解：∵点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，∴F1（﹣c，0），F2（c，0），A（﹣c，），B（﹣c，﹣），∵△ABF2是锐角三角形，∴∠AF2F1＜45°，∴tan∠AF2F1＜1，∴，整理，得b2＜2ac，∴a2﹣c2＜2ac，两边同时除以a2，并整理，得e2+2e﹣1＞0，解得e＞，或e＜﹣，（舍），∴0＜e＜1，∴椭圆的离心率e的取值范围是（）．故选B．【点评】本题考查椭圆的离心率的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．6.下列叙述中正确的是（）A．“m=2”是“l1：2x+（m+1）y+4=0与l2：mx+3y﹣2=0平行”的充分条件B．“方程Ax2+By2=1表示椭圆”的充要条件是“A≠B”C．命题“?x∈R，x2≥0”的否定是“?x0∈R，x02≥0”D．命题“a、b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题为“a+b不是偶数，则a、b都是奇数”参考答案：A【考点】命题的真假判断与应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】A．根据充分条件的定义进行判断B．根据椭圆的定义进行判断．C．根据含有量词的命题的否定进行判断．D．根据逆否命题的定义进行判断．【解答】解：A．当m=2时，两直线方程为“l1：2x+3y+4=0与l2：2+3y﹣2=0”此时两直线平行，即“m=2”是“l1：2x+（m+1）y+4=0与l2：mx+3y﹣2=0平行”的充分条件正确．B．若A2+By2=1表示椭圆，则A＞0，B＞0，且A≠B，则“方程Ax2+By2=1表示椭圆”的充要条件是“A≠B”错误．C．命题“?x∈R，x2≥0”的否定是“?x0∈R，x02＜0”，故C错误，D．命题“a、b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题为“a+b不是偶数，则a、b不都是偶数”，故D错误，故选：A7.在长方体，底面是边长为的正方形，高为，则点到截面的距离为

(

)

A

B

C

D

参考答案：C略8.当x∈[﹣2，﹣1]，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣5，﹣3] B．（﹣∞，﹣] C．（﹣∞，﹣2] D．[﹣4，﹣3]参考答案：C【考点】函数恒成立问题．【分析】根据x的范围，不等式可整理为a≤﹣﹣，构造函数f（x）=﹣﹣，通过导函数得出函数的单调性，求出函数的最小值即可．【解答】解：x∈[﹣2，﹣1]，ax3﹣x2+4x+3≥0，∴ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≤﹣﹣，令f（x）=﹣﹣，f'（x）=﹣，当﹣2≤x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，∴f（x）≥f（﹣1）=﹣2，∴a≤﹣2．故选C．9.设等差数列的前n项和为，已知前6项和为36，＝324，最后6项和为180，（n>6），则该数列的项数n的值是（

）A．18

B．20

C．36

D．180参考答案：A略10.已知每项均大于零的数列{an}中，首项a1=1且前n项的和Sn满足（n∈N*，且n≥2），则a81=（）A．638 B．639 C．640 D．641参考答案：C【考点】数列的应用．【分析】等式两边同除以，可得}是以1为首项，2为公差的等差数列，从而得到Sn=4n2﹣4n+1，利用n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，即可求得结论．【解答】解：∵，∴=2（n∈N*，且n≥2），∵a1=1，∴=1∴{}是以1为首项，2为公差的等差数列∴=1+2（n﹣1）=2n﹣1∴Sn=4n2﹣4n+1．∴n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（4n2﹣4n+1）﹣[4（n﹣1）2﹣4（n﹣1）+1]=8n﹣8．∴a81=8×81﹣8=640故选C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.“”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0互相垂直”的_____________条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）参考答案：充分不必要12.参考答案：略13.（5分）（2015?福州校级模拟）如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3中的任何一个，允许重复．若填入A方格的数字大于B方格的数字，则不同的填法共有种（用数字作答）．A BC D参考答案：27【分析】根据题意，先分析A、B两个方格，由于其大小有序，则可以在l、2、3中的任选2个，大的放进A方格，小的放进B方格根据分类计数原理可得．【解答】解：若A方格填3，则排法有2×32=18种，若A方格填2，则排法有1×32=9种，根据分类计数原理，所以不同的填法有18+9=27种．故答案为：27．【点评】本题考查了分类计数原理，如何分类是关键，属于基础题．14.已知有一组数据，他们的方差为，平均数为，则数据的标准差为

；平均数为

。

参考答案：略15..现将甲、乙、丙、丁四个人安排到座位号分别是1，2，3，4的四个座位上，他们分别有以下要求：甲：我不坐座位号为1和2的座位；乙：我不坐座位号为1和4的座位；丙：我的要求和乙一样；丁：如果乙不坐座位号为2的座位，那么我就不坐座位号为1的座位.那么坐在座位号为3的座位上的是________.参考答案：丙【分析】根据题意，分类讨论，即可得出符合题意的结果，得到答案．【详解】由题意，若乙坐3号位置，则丁坐2号或4号位置，甲、丙两人必定有1人坐1号位置，与题意矛盾，若乙坐2号位置，则丙坐3号位置，甲坐4号位置，丁坐1号位置，符合题意，故答案为：丙．【点睛】本题主要考查了合情推理的应用，其中解答中认真审题，合理分类讨论是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．16.如果直线与曲线有公共点，那么的取值范围是

参考答案：17.在如图所示的十一面体ABCDEFGHI中，用3种不同颜色给这个几何体各个顶点染色，每个顶点染一种颜色，要求每条棱的两端点异色，则不同的染色方案种数为

．参考答案：6空间几何体由11个顶点确定，首先考虑一种涂色方法：假设A点涂色为颜色CA，B点涂色为颜色CB，C点涂色为颜色CC，由AC的颜色可知D需要涂颜色CB，由AB的颜色可知E需要涂颜色CC，由BC的颜色可知F需要涂颜色CA，由DE的颜色可知G需要涂颜色CA，由DF的颜色可知I需要涂颜色CC，由GI的颜色可知H需要涂颜色CB，据此可知，当△ABC三个顶点的颜色确定之后，其余点的颜色均为确定的，用三种颜色给△ABC的三个顶点涂色的方法有种，故给题中的几何体染色的不同的染色方案种数为6.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列，求证：a2+b2+c2＞（a﹣b+c）2．参考答案：【考点】不等式的证明；基本不等式；等比数列的性质．【分析】左边减去右边等于2（ab+bc﹣ac），用等比数列的定义以及基本不等式可得a+c＞b，进而推出2（ab+bc﹣ac）＞0，从而证得不等式成立．【解答】证明：∵a2+b2+c2﹣（a﹣b+c）2=2（ab+bc﹣ac）．∵a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列，∴b2=ac≤，开方可得，故a+c≥2b＞b．∴2（ab+bc﹣ac）=2（ab+bc﹣b2）=2b（a+c﹣b）＞0，∴a2+b2+c2﹣（a﹣b+c）2＞0，∴a2+b2+c2＞（a﹣b+c）2．19.（本题满分12分）抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线的一个焦点,且与双曲线实轴垂直,已知抛物线与双曲线的交点为.求抛物线与双曲线的方程.参考答案：解:由题意知,抛物线焦点在轴上,开口方向向右,可设抛物线方程为,将交点代入得,故抛物线方程为,双曲线的焦点坐标为,则.又点也在双曲线上,因此有.又,因此可以解得,因此,双曲线的方程为.

略20.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点（1，），椭圆C的离心率e=．（1）求椭圆C的方程；（2）△ABC的三个顶点都在椭圆上，且△ABC的重心是原点O，证明：△ABC的面积是定值．参考答案：解：（1）由已知可得：，，

∴，…………………2分

又由已知得：，∴，

∴椭圆的方程为，……………5分

（2）设、、，则因重心是原点可得：

，

∴，………6分

当直线的斜率不存在时，或，此时………7分当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由可得：，∴……………………8分∴∵在椭圆上，∴∴，，∴，……………