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文档简介
江苏省无锡市宜兴茗岭中学2022-2023学年高二数学理模拟试卷含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.的展开式中含项的系数为(
)A.70 B.-70 C.14 D.-14参考答案:A【分析】先求得的展开式的通项公式为,再令求解.【详解】因为的展开式的通项公式为,令,,所以展开式中含的系数为.故选:A【点睛】本题主要考查二项定理的通项公式,属于基础题.2.给出下列四个命题:①若,则;②已知,则是且的必要不充分条件③若,则;④若,则的最小值为8;真命题的个数为(
)A.
1个
B.2个
C.3个
D.4个参考答案:B3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是AA1和B1B的中点,则D1F与CE所成角的余弦值为(
)
A.
B.
C.
D.
参考答案:A4.若方程表示圆,则实数的取值范围是( )A. B. C. D.参考答案:B略5.五位同学站成一排照相,甲、乙两同学不相邻有(
)种排法
A.12
B.120
C.90
D.72参考答案:D略6.函数函数f(x)=(x﹣3)ex的单调递增区间是()A.(﹣∞,2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2,+∞)参考答案:D【考点】利用导数研究函数的单调性.【分析】首先对f(x)=(x﹣3)ex求导,可得f′(x)=(x﹣2)ex,令f′(x)>0,解可得答案.【解答】解:f′(x)=(x﹣3)′ex+(x﹣3)(ex)′=(x﹣2)ex,令f′(x)>0,解得x>2.故选:D.7.如图,正方体绕其体对角线旋转之后与其自身重合,则的值可以是(
)A.
B.
C.
D.参考答案:A8.已知实数x,y满足,则目标函数z=2x﹣y的最大值为()A.﹣3 B. C.5 D.6参考答案:C【考点】简单线性规划.【分析】作出题中不等式组表示的平面区域,得如图的△ABC及其内部,再将目标函数z=2x﹣y对应的直线进行平移,可得当x=2,y=﹣1时,z取得最大值5.【解答】解:作出不等式组表示的平面区域,得到如图的△ABC及其内部,其中A(﹣1,﹣1),B(2,﹣1),C(0.5,0.5)设z=F(x,y)=2x﹣y,将直线l:z=2x﹣y进行平移,当l经过点B时,目标函数z达到最大值∴z最大值=F(2,﹣1)=5故选:C9.已知集合A={x︱},B={x︱},若,则实数a的取值范围为(
)A.
(-,0]
B.[0,+)
C.(-,0)
D.(0,+)参考答案:10.已知,则等于
A.0
B.-4
C.-2
D.2参考答案:B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.下列命题:①;②;③;④;⑤
⑥.其中所有真命题的序号是
。参考答案:①③12.已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=
.参考答案:813.如图,在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD的边长为7,BD1与底面所成角的大小为,则该正四棱柱的高等于.参考答案:【考点】直线与平面所成的角.【分析】根据正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的侧棱D1D⊥底面ABCD,判断∠D1BD为直线BD1与底面ABCD所成的角,即可求出正四棱柱的高.【解答】解:∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的侧棱D1D⊥底面ABCD,∴∠D1BD为直线BD1与底面ABCD所成的角,∴tan∠D1BD=,∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD的边长为3,∴BD=7,∴正四棱柱的高=7=,故答案为:14.设函数f(x)=lnx+,则函数y=f(x)的单调递增区间是.参考答案:(1,+∞)【考点】利用导数研究函数的单调性.【分析】求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可.【解答】解:∵,(x>0),∴f′(x)=﹣=,令f′(x)>0,解得:x>1,故函数的递增区间是(1,+∞),故答案为:(1,+∞).【点评】本题考查了函数的单调性问题,考查导数的应用,是一道基础题.15.以下五个命题中:①若两直线平行,则两直线斜率相等;
②设、为两个定点,为正常数,且,则动点的轨迹为双曲线;③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;④对任意实数,直线:与圆的位置关系是相交;⑤为椭圆上一点,为它的一个焦点,则以为直径的圆与以长轴为直径的圆相切.其中真命题的序号为_____________.写出所有真命题的序号)参考答案:③④⑤略16.焦点在(﹣2,0)和(2,0),经过点(2,3)的椭圆方程为.参考答案:【考点】椭圆的简单性质.【分析】根据题意,由焦点的坐标分析可得其焦点在x轴上,且c=2,可以设其标准方程为:+=1,将点(2,3)坐标代入椭圆方程计算可得a2的值,即可得答案.【解答】解:根据题意,椭圆的焦点坐标为(﹣2,0)和(2,0),则其焦点在x轴上,且c=2,设其标准方程为:+=1,又由其经过点(2,3),则有﹣=1,解可得a2=16,则其标准方程为:;故答案为:.17.点O在内部且满足,则的面积与凹四边形.的面积之比为________.参考答案:三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分)设复数,若,求实数的值。参考答案:略19.已知函数,其中a>0.(Ⅰ)求f(x)的单调区间;(Ⅱ)若f(x)的最小值为1,求a的取值范围.参考答案:【考点】6E:利用导数求闭区间上函数的最值;6B:利用导数研究函数的单调性.【分析】(Ⅰ)求导函数,可得,由于分母恒正,故由分子的正负,确定函数的单调区间;(Ⅱ)根据(Ⅰ)的讨论,分别可求得f(x)的最小值,根据f(x)的最小值为1,可确定a的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)求导函数,可得,∵x≥0,a>0,∴ax+1>0.①当a≥2时,在区间(0,+∞)上,f'(x)>0,∴f(x)的单调增区间为(0,+∞).②当0<a<2时,由f'(x)>0解得,由f'(x)<0解得x<,∴f(x)的单调减区间为,单调增区间为.(Ⅱ)当a≥2,由(Ⅰ)①知,f(x)的最小值为f(0)=1;当0<a<2时,由(Ⅰ)②知,f(x)在处取得最小值<f(0)=1,综上可知,若f(x)的最小值为1,则a的取值范围是[2,+∞).20.椭圆C:过点,离心率为,左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线l交椭圆于A,B两点.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)点M的坐标为(2,0),设直线AM与BM斜率分别为,求证:.参考答案:(Ⅰ)因为椭圆:过点,所以.①又因为离心率为,所以,所以.②解①②得,.所以椭圆的方程为.
………………5分法一:(Ⅱ)当直线斜率不存在时,因为,所以当直线斜率存在时,设直线,设与椭圆交点,联立得即,,
………………8分=因为综上:命题得证.
…………12分法二:(Ⅱ)当直线斜率为0时,因为,所以当直线斜率不为0时,设直线,设与椭圆交点,联立得即,,
………………8分综上:命题得证.
…………12分21.如图,已知圆O的圆心在坐标原点,点是圆O上的一点.(Ⅰ)求圆O的方程;(Ⅱ)若过点的动直线与圆O相交于A,B两点.在平面直角坐标系内,是否存在与点P不同的定点Q,使得恒成立?若存在,求出点Q的
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