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文档简介

数学探究杨辉三角的性质与应用学习任务1.经历发现数学关联、提出数学问题、得到数学结论、推理论证、综合应用的过程,掌握数学探究活动的方法,提升数学学科核心素养.2.经历从类比模仿到自主创新、从局部实施到整体构想的过程,初步掌握数学课题研究的基本方法.杨辉三角是我国数学史上的一个伟大成就,从数学角度体现了中华优秀传统文化.阅读《详解九章算法》一书中的开方作法本源图,如图,其中蕴藏着许多数学的奥秘.此图为开方作法本源图,现在杨辉算书的传本中都没有这个图,只在明朝《永乐大典》(1407)抄录的《详解九章算法》中还保存着这份宝贵遗产.《详解九章算法》由杨辉所著,他在书中提到“出释锁算书,贾宪用此术”.这说明,在我国至迟贾宪时期就已经发明了这个数字三角形.关于贾宪的生平,所知甚少.根据一些记载,只能推定贾宪著书的年代是在1023年至1050年这段时期.知识点杨辉三角的性质1.如图所示,结合杨辉三角与二项式(a+b)n的展开式的二项式系数可发现如下性质:第n行的n+1个数是二项式(a+b)n的展开式的系数;当行数n为偶数时,C当行数n为奇数时,Cnn2.杨辉三角中各数字之间存在的性质(1)对称性:每行中与首末两端“等距离”之数相等,即Cnr=Cn(2)递归性:除1以外的数都等于肩上两数之和,即Cnr=Cn(3)第n行奇数项之和与偶数项之和相等,即Cn0+Cn2+Cn4+…=Cn1+(4)第n行数的和为2n,即Cn0+Cn1+Cn2(5)第n行各数平方和等于第2n行中间的数,即Cn02+Cn12+Cn22+…+C1.下面是当n=1,2,3,4,5时,(a+b)n(n∈N*)的展开式的二项式系数表示图.借助上图,判断λ,μ的值分别是()A.5,9B.5,10C.6,9D.6,102.如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒,a,b是某行的前两个数,当a=7时,b等于()A.20B.21C.22D.23【例】(多选)我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》中给出了著名的杨辉三角,以下关于杨辉三角的猜想中正确的有()A.由“在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和”猜想:Cn+1r=B.C32+C42+CC.第34行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3D.由“第n行所有数之和为2n”猜想:Cn0+Cn1+Cn2+解决与杨辉三角有关的问题的一般思路(1)观察:对题目要横看、竖看、隔行看、连续看,多角度观察.(2)找规律:通过观察找出每一行的数之间,行与行之间的数据的规律.(3)将数据间的这种联系用数学式表达出来,使问题得解.[跟进训练]杨辉三角,又称帕斯卡三角,是二项式系数在三角形中的一种几何排列.在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年)一书中用如图所示的三角形解释二项式乘方展开的系数规律.现把杨辉三角中的数从上到下,从左到右依次排列,得数列:1,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1,…,记作数列{an}.若数列{an}的前n项和为Sn,则S47等于()A.235B.512C.521D.1033数学探究杨辉三角的性质与应用[必备知识·情境导学探新知]课前自主体验1.D[观察题图可分析出“杨辉三角”中的数的特点如下:(1)每一行有(n+1)个数字,每一行两端的数字均为1;(2)从第二行起,每一行中间的数字等于它上一行对应(即两肩上)的两个数字的和,即Cn+1m=Cnm所以λ=3+3=6,μ=4+λ=10.故选D.]2.C[观察题图可知,从第三行开始,每一行除开始和末尾的两个数外,中间的数分别是其两肩上相邻两个数的和,当a=7时,b的两肩上的两个数分别为6,16,所以b=6+16=22.][关键能力·合作探究释疑难]例ACD[对于A:显然Cn+1对于B:C32+C42+C52+…+C102=C3对于C:易知第n行从左到右第k个数是Cnk-1,则第34行从左到右第14与第15个数分别为对于D:第n行所有数之和为2n,即Cn0+Cn1+Cn2+…+Cn跟进训练C[根据题意杨辉三角前9行共有1+2+3+4+

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