第三章 圆锥曲线的方程（知识归纳+题型突破）（解析版）

第三章圆锥曲线的方程（知识归纳+题型突破）1.了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用;2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程和简单几何性质;3.了解抛物线与双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质;4.通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想;5.了解椭圆、抛物线的简单应用.一、椭圆的定义、方程、图形及性质平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，定义用集合语言表示为：注意：当时，点的轨迹是线段；当时，点的轨迹不存在．椭圆的方程、图形与性质所示．焦点的位置焦点在轴上焦点在轴上图形标准方程统一方程参数方程第一定义到两定点的距离之和等于常数2，即（）范围且且顶点、、、、轴长长轴长，短轴长长轴长，短轴长对称性关于轴、轴对称，关于原点中心对称焦点、、焦距离心率准线方程点和椭圆的关系切线方程（为切点）（为切点）对于过椭圆上一点的切线方程，只需将椭圆方程中换为，换为可得切点弦所在的直线方程焦点三角形面积①，（为短轴的端点）②③焦点三角形中一般要用到的关系是焦半径左焦半径：又焦半径：上焦半径：下焦半径：焦半径最大值，最小值通径过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦）弦长公式设直线与椭圆的两个交点为，，，则弦长（其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式）二、双曲线的定义、方程、图形与性质平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为．注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支．（2）当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线．（3）时，点的轨迹不存在．在应用定义和标准方程解题时注意以下两点：=1\*GB3①条件“”是否成立；=2\*GB3②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定，的值），注意的应用．知识点二：双曲线的方程、图形及性质双曲线的方程、图形及性质标准方程图形A2A2焦点坐标，，对称性关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称顶点坐标，，范围实轴、虚轴实轴长为，虚轴长为离心率渐近线方程令，焦点到渐近线的距离为令，焦点到渐近线的距离为点和双曲线的位置关系共焦点的双曲线方程共渐近线的双曲线方程切线方程为切点为切点切线方程对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中换为，换成便得．切点弦所在直线方程为双曲线外一点为双曲线外一点点为双曲线与两渐近线之间的点弦长公式设直线与双曲线两交点为，，．则弦长，，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数．通径通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为焦点三角形双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形，设，，，则，，焦点三角形中一般要用到的关系是等轴双曲线等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为．三、抛物线的定义、方程、图形及性质平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．注：若在定义中有，则动点的轨迹为的垂线，垂足为点．抛物线的标准方程有4种形式：，，，，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向图形标准方程顶点范围，，，，对称轴x轴y轴焦点离心率准线方程焦半径四、直线与曲线的联立（1）椭圆与直线相交于两点，设，，椭圆与过定点的直线相交于两点，设为，如此消去，保留，构造的方程如下：，注意：=1\*GB3①如果直线没有过椭圆内部一定点，是不能直接说明直线与椭圆有两个交点的，一般都需要摆出，满足此条件，才可以得到韦达定理的关系．=2\*GB3②焦点在轴上的椭圆与直线的关系，双曲线与直线的关系和上述形式类似，不在赘述．（2）抛物线与直线相交于两点，设，联立可得，时，特殊地，当直线过焦点的时候，即，，因为为通径的时候也满足该式，根据此时A、B坐标来记忆．抛物线与直线相交于两点，设，联立可得，时，注意：在直线与抛物线的问题中，设直线的时候选择形式多思考分析，往往可以降低计算量．开口向上选择正设；开口向右，选择反设；注意不可完全生搬硬套，具体情况具体分析．总结：韦达定理连接了题干条件与方程中的参数，所以我们在处理例如向量问题，面积问题，三点共线问题，角度问题等常考内容的时候，要把题目中的核心信息，转化为坐标表达，转化为可以使用韦达定理的形式，这也是目前考试最常考的方式．根的判别式和韦达定理与联立，两边同时乘上即可得到，为了方便叙述，将上式简记为．该式可以看成一个关于的一元二次方程，判别式为可简单记．同理和联立，为了方便叙述，将上式简记为，，可简记．与C相离；与C相切；与C相交．注意：（1）由韦达定理写出，，注意隐含条件．（2）求解时要注意题干所有的隐含条件，要符合所有的题意．（3）如果是焦点在y轴上的椭圆，只需要把，互换位置即可．（4）直线和双曲线联立结果类似，焦点在x轴的双曲线，只要把b2换成－b2即可；焦点在y轴的双曲线，把a2换成－b2即可，b2换成a2即可．（5）注意二次曲线方程和二次曲线方程往往不能通过联立消元，利用判断根的关系，因为此情况下往往会有增根，根据题干的隐含条件可以舍去增根（一般为交点横纵坐标的范围限制），所以在遇到两条二次曲线交点问题的时候，使用画图的方式分析，或者解方程组，真正算出具体坐标．五、弦长问题设，根据两点距离公式．（1）若在直线上，代入化简，得；（2）若所在直线方程为，代入化简，得（3）构造直角三角形求解弦长，．其中为直线斜率，为直线倾斜角．注意：（1）上述表达式中，当为，时，；（2）直线上任何两点距离都可如上计算，不是非得直线和曲线联立后才能用．（3）直线和曲线联立后化简得到的式子记为，判别式为，时，，利用求根公式推导也很方便，使用此方法在解题化简的时候可以大大提高效率．（4）直线和圆相交的时候，过圆心做直线的垂线，利用直角三角形的关系求解弦长会更加简单．（5）直线如果过焦点可以考虑焦点弦公式以及焦长公式．中点弦问题（1）是椭圆（a＞b＞0）的一条弦，中点，则的斜率为，运用点差法求的斜率；设，，，都在椭圆上，所以，两式相减得所以即，故（2）运用类似的方法可以推出；若是双曲线（a＞b＞0）的弦，中点，则；若曲线是抛物线，则．题型一圆锥曲线的定义及方程【例1】已知圆锥曲线的方程：.当为正整数，且时，存在两条曲线、，其交点与点满足，则满足题意的有序实数对共有对.【答案】3【分析】本题主要考查圆锥曲线的定义，易得到，，是椭圆，，，，是双曲线，从而根据题意可得，.再结合椭圆与双曲线的定义与即可得，从而得到答案.【详解】由题意得，，是椭圆，，，，是双曲线，结合椭圆与双曲线的几何性质可知本题中的任意两椭圆与两双曲线均无公共点，从而时，存在两条曲线、有交点，必然有，.设，，则由椭圆与双曲线的定义可得，，且，，故，即，所以存在两条曲线、，且，，.故答案为：3.【例2】已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点，则的最小值为.【答案】【分析】根据三角形三边之间的不等关系可得，再结合椭圆定义将化为，结合以及图形的几何性质即可求得答案.【详解】由题意知为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点，故，

故，当且仅当共线时取等号，所以，当且仅当共线时取等号，而,故的最小值为，故答案为：反思总结求椭圆的方程问题，一般有如下两种解决途径：（1）定义法：根据椭圆定义，确定a2,b2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程.（2）待定系数法：根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件列出a,b,c的方程组，解出a2,b2，从而求得标准方程.求双曲线的方程问题，一般有如下两种解决途径：（1）在已知方程类型的前提下，根据题目中的条件求出方程中的参数a,b,c，即利用待定系数法求方程．（2）根据动点轨迹满足的条件，来确定动点的轨迹为双曲线，然后求解方程中的参数，即利用定义法求方程．求抛物线的标准方程的步骤为：（1）先根据题设条件及抛物线定义判断它为抛物线并确定焦点位置：（2）根据题目条件列出p的方程（3）解方程求出p，即得标准方程巩固训练：1.已知是椭圆的左，右焦点，是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为，则与短轴端点的最近距离为.【答案】【分析】根据等腰三角形三线合一性质可确定为中点，结合椭圆定义和三角形中位线性质可确定点轨迹为以为圆心，为半径的圆，进而确定当位于轴时取得最近距离.【详解】由题意知：，设的延长线交的延长线于点，，为线段中点，

由椭圆定义知：，，分别为和中点，，点轨迹是以为圆心，为半径的圆，由椭圆方程知：短轴端点为，当点在轴上时，其到临近的短轴端点的距离最近，最近距离为.故答案为：.2.已知椭圆，点P是椭圆上的动点，定点A的坐标为，则的最小值为【答案】/【分析】令且，应用两点距离公式及点在椭圆上得到关于的函数，即可求最值.【详解】令且，则，而，故，所以，当时，.故答案为：3.已知椭圆方程是其左焦点，点是椭圆内一点，点是椭圆上任意一点，若的最大值为，最小值为，那么（

）A． B．4 C．8 D．【答案】C【分析】利用椭圆的定义转化为的最值问题，数形结合即可求解.【详解】由题意，设椭圆的右焦点为，连接，则，如图：

当点P在位置M时，取到最大值，当点P在位置N时，取到最小值，所以的取值范围是，即，所以的最大值，最小值，所以.故选：C.4．平面内有一个动点M及两定点A，B．设p：为定值，q：点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．那么（）A．p是q的充分不必要条件B．p是q的必要不充分条件C．p是q的充要条件D．p既不是q的充分条件，又不是q的必要条件【答案】B【分析】根据为定值，且定值大于时轨迹才是椭圆，从而得到答案.【详解】当为定值时，若定值大于时，点M轨迹是椭圆，若定值等于，点M轨迹是线段，若定值小于，则轨迹不存在；当点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆时，必为定值；所以，但，故p为q的必要不充分条件．故选：B5.分别求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点分别是，椭圆上的点P与两焦点的距离之和等于8；(2)两个焦点分别是，并且椭圆经过点．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据椭圆定义以及焦点坐标可计算出，，即可求得椭圆方程；（2）由焦点坐标可知且在y轴上，设出标准方程代入计算即可.【详解】（1）由已知得，因此．又因为，所以，易知椭圆的焦点在x轴上，所以所求椭圆的标准方程为．（2）因为椭圆的焦点在y轴上，设它的标准方程为．由已知得，又因为，所以．因为点在椭圆上，所以，即．从而有，解得或（舍去）．因此，从而所求椭圆的标准方程为．题型二圆锥曲线中的焦点三角形【例3】（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在C上，且的最大值为3，最小值为1，则（

）A．椭圆C的圆心率为B．的周长为4C．若，则的面积为D．若，则【答案】ACD【分析】对A，根据题意可得，即可求解；对B，根据椭圆的定义判断即可；对C，根据余弦定理结合椭圆的定义判断即可；对D，根据余弦定理与椭圆的定义求解即可.【详解】对A，由题意，，故，故A正确；对B，的周长为，故B错误；对C，若，则，即，故，故，故C正确；对D，由余弦定理，即，解得，故，故D正确；故选：ACD【例4】已知点，是双曲线的左、右焦点，点P是双曲线C右支上一点，过点向的角平分线作垂线，垂足为点Q，则点和点Q距离的最大值为（

）A．2 B． C．3 D．4【答案】C【分析】延长，交于点T，则可得，再结合双曲线的定义得，连接，则，而为定值，所以由图可知，从而可求得结果.【详解】如图所示，延长，交于点T，则因为平分，，所以，，因为P在双曲线上，所以，所以，连接，则，因为，所以，当三点共线时取等号，即点和点Q距离的最大值为3，故选：C【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线的几何性质的应用，解题的关键是利用已知条件结合双曲线的性质可得，，考查数形结合的思想，属于中档题.反思总结焦点三角形的问题常用定义与解三角形的知识来解决，对于涉及椭圆上点到椭圆两焦点将距离问题常用定义，即|PF1|+|PF2|=2a.对于题中涉及双曲线上点到双曲线两焦点距离问题常用定义，即||PF1|－|PF2||=2a，在焦点三角形面积问题中若已知角，则用S△PF1F2=EQ\F(1,2)|PF1|·|PF2|sinθ，||PF1|－|PF2||=2a及余弦定理等知识；若未知角，则用S△PF1F2=EQ\F(1,2)·2c·|y0|．巩固训练1.（多选）双曲线具有如下光学性质：如图，，是双曲线的左、右焦点，从发出的光线射在双曲线右支上一点，经点反射后，反射光线的反向延长线过；当异于双曲线顶点时，双曲线在点处的切线平分.若双曲线的方程为，则下列结论正确的是（

）

A．射线所在直线的斜率为，则B．当时，C．当过点时，光线由到再到所经过的路程为5D．若点坐标为，直线与相切，则【答案】ACD【分析】求出双曲线渐近线方程，可判断A选项；利用勾股定理以及双曲线的定义可判断B选项；利用双曲线的定义可判断C选项；利用角平分线定理结合双曲线的定义可判断D选项.【详解】在双曲线中，，，则，故、，设，，对于A选项，因为双曲线的渐近线方程为，当点在第一象限内运动时，随着的增大，射线慢慢接近于直线，此时，同理可知当点在第四象限内运动时，，当点为双曲线的右顶点时，，综上所述，，A对；对于B选项，当时，，，所以，B错；对于C选项，，故过点时，光由到再到所经过的路程为，C对；对于D选项，若，，因为，且，所以，即，解得，D对.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：掌握双曲线的定义及理解双曲线的下光学性质是解决本题的关键.2.已知是椭圆的左焦点，过作直线交椭圆于两点，则的最小值为．【答案】【分析】设直线方程，联立方程组，根据根与系数的关系及弦长公式化简，利用均值不等式求解.【详解】如图，

由椭圆方程可知，，当直线斜率不为0时，设直线，，联立，得：，，弦长，，，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为；当直线斜率为0时，.综上，的最小值为.故答案为：3.已知双曲线的离心率为2，左、右焦点分别为、，且到渐近线的距离为3，过的直线与双曲线C的右支交于、两点，和的内心分别为、，则的最小值为.【答案】【分析】求出双曲线的方程，根据与的内心性质得到关系式和点的横坐标，设出直线的倾斜角，得到的表达式，即可求出的取值范围，则得到其最小值.【详解】由题意，，已知焦点到渐近线的距离为3，由对称性，不妨设焦点为，渐近线，即，则焦点到渐近线的距离为，又离心率为2，∴，解得，∴，∴双曲线的方程为.记的内切圆在边，，上的切点分别为，则，横坐标相等，且，，，由，即，得，即，由双曲线定义知点双曲线右支上，且在轴上，则，即内心的横坐标为.同理内心的横坐标也为，故轴.设直线的倾斜角为，则，（为坐标原点），在中，，由于直线与双曲线的右支交于两点，且的一条渐近线的斜率为，倾斜角为，∴，即，∴的范围是，当时，即直线垂直于轴时，取到最小值.故答案为：.

【点睛】双曲线焦点三角形内切圆问题结论点睛：双曲线上一点与两焦点若构成三角形，则焦点三角形的内切圆与实轴相切于实轴顶点，当点在双曲线左支时，切点为左顶点，且当点在双曲线右支时，切点为右顶点.4.已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的最小值为.【答案】/【分析】根据椭圆定义可将转化为，再根据可得的最小值为，结合两点间距离公式即得答案.【详解】由题意椭圆C：，M为椭圆C上任意一，N为圆E：上任意一点，

故，当且仅当共线时等号成立，故，当且仅当共线时等号成立，而，故，即的最小值为，故答案为：5.已知F1，F2分别为椭圆W：的左、右焦点，M为椭圆W上的一点．(1)若点M的坐标为（1，m）（m>0），求△F1MF2的面积；(2)若点M的坐标为（x0，y0），且∠F1MF2是钝角，求横坐标x0的范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）代入法求得值，然后求出焦点坐标后可得三角形面积；（2）由余弦定理可得．【详解】（1）因为点M（1，m）在椭圆上，所以，因为m>0，所以，因为a＝2，b＝1，所以，所以，，所以（2）因为点M在椭圆上，所以－2≤x0≤2，由余弦定理得cos∠F1MF2＝＝，因为∠F1MF2是钝角，所以，又因为，所以，解得，故横坐标x0的范围为.6．如图，双曲线的左、右焦点分别为，，P为C的右支上一点，且，求的面积．

【答案】48【分析】过点作边上的高，根据所给条件结合双曲线的定义可求出三角形的高，即可求出三角形的面积.【详解】如图，

由可得，，，，，过点作边上的高，则，，所以的面积为.题型三圆锥曲线的性质[例5]如图，把椭圆的长轴AB分成10等份，过每个分点作x轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点，，…，，F是左焦点，则（

）

A．16 B．18 C．20 D．22【答案】B【分析】设椭圆的右焦点为，且，根据椭圆的定义和椭圆的对称性，即可求解.【详解】因为把椭圆的长轴AB分成10等份，过每个分点作x轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点，，…，，设椭圆的右焦点为，且，可得，由椭圆的定义及椭圆的对称性，可得，所以.故选：B.反思总结圆锥曲线的性质是其自身固有的本质属性,涉及元素多,包括点(中心、顶点、焦点)、直线(对称轴、渐近线﹑准线等)取值范围、离心率等,公式多,关系杂,其中离心率问题是高考考查的热点之一-。使用椭圆的性质解决问题是注意是用椭圆的对称性解决问题，发现隐藏条件.处理双曲线的问题的时候，如果需要画图，注意作图规范，结合图象分析，另外因为双曲线有两条渐近线，所以要分清楚，到底是点在双曲线上还是渐近线上，切勿搞混．在处理抛物线的考题的时候，要更加注意定义优先原则，考察频率更高，很多问题用上抛物线定义可以简化计算．巩固训练1．椭圆与直线相交于A，B两点，C，D两点在椭圆上，如果四边形为平行四边形，则直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据椭圆和平行四边形的对称性，可知直线和直线关于原点对称，则可求出直线的方程.【详解】因为四边形为平行四边形，所以，设直线的方程为，依题意可知直线和直线关于原点对称，则原点到直线和到直线的距离相等，所以，解得（舍去），所以直线的方程为.故选：B.

2.在平面直角坐标系中，抛物线为轴正半轴上一点，线段的垂直平分线交于两点，若，则四边形的周长为（

）A． B．64 C． D．80【答案】A【分析】线段的垂直平分线交于两点,结合抛物线的对称性可得与互相平分,则四边形为菱形,可设点坐标,通过几何关系求出点坐标,在代入抛物线方程即可求解.【详解】因为线段的垂直平分线交于两点，所以结合抛物线的对称性可得与互相平分,则四边形为菱形.设点且则线段的垂直平分线方程为，令与轴交于点,又，则在直角三角形中继而可得，所以点坐标为，代入抛物线，可得，解得，直角三角形中,所以四边形的周长为.故选：A.3.如图，椭圆的中心在原点，长轴在x轴上．以、为焦点的双曲线交椭圆于C、D、、四点，且．椭圆的一条弦AC交双曲线于E，设，当时，双曲线的离心率的取值范围为．

【答案】【分析】由题意设，则可设，根据向量的共线求得点坐标，代入双曲线的方程，结合离心率化简可得，求出的表达式，结合条件可列不等式，即可求得答案.【详解】设，则设，(其中为双曲线的半焦距，为C.到轴的距离)，，则，即，，即点坐标为，设双曲线的方程为，将代入方程，得①，将，E代入①式，整理得，消去，得，所以，由于.所以，故，故答案为：4.如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分，过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上.由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点.已知，，.

(1)如图建立平面直角坐标系，求截口所在的椭圆的方程；(2)写出与（1）中所求形状相同，焦点在y轴上的椭圆G的方程（直接写出，不需要写过程）；(3)设过点的直线l与椭圆G交于不同的两点M，N，且M，N与坐标原点O构成三角形，求面积的最大值.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据题意得出，，设出椭圆方程，根据已知得出方程组，求解即可得出答案；（2）根据（1）的方程，交换的位置，即可得出答案；（3）联立直线与椭圆的方程，根据韦达定理表示出弦长.根据点到直线的距离求出点到直线的距离，即可代入面积公式，整理化简得出.然后令，根据基本不等式即可得出答案.【详解】（1）由已知可得，，，，设椭圆的方程为，由已知可得，，解得，所以，截口所在的椭圆的方程为.（2）根据（1）的方程，交换的位置，即可得出椭圆G的方程为.（3）易知直线的斜率存在，设斜率为，则直线的方程为，设，，联立直线与椭圆的方程，可得，，解得或.又由韦达定理可得，，所以，.又点到直线的距离，所以，.设，则，所以.因为，所以，当且仅当，即时等号成立，取得最小值6.所以，，所以，面积的最大值为.

题型四离心率问题[例6]已知椭圆：的上顶点为，两个焦点为，，线段的垂直平分线过点，则椭圆的离心率为．【答案】/【分析】求出线段的中点坐标，根据两直线垂直斜率关系可得，再结合可求得离心率.【详解】

如图，设的垂直平分线与交于点，由题，，，，则，，，，，化简得，，由，解得，，即.故答案为：.反思总结求离心率的本质就是探究a,c之间的数量关系，知道a,b,c中任意两者间的等式关系或不等关系便可求解出e的值或其范围.具体方法为方程法、不等式法、定义法和坐标法.巩固训练1.已知圆与椭圆，若在椭圆上存在一点，使得由点所作的圆的两条切线的夹角为，则椭圆的离心率的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】设椭圆上任意点(与上下顶点不重合)作圆的切线，且，根据题意问题化为保证时，进而得到关于椭圆参数的不等式，结合椭圆离心率范围及求法确定离心率的取值范围.【详解】由题设，圆与椭圆在上下顶点处相切，椭圆上任意点(与上下顶点不重合)作圆的切线，如下图，

若且，要所作的圆的两条切线的夹角最小，只需最大，所以，当与左右顶点重合时，此时最小；靠近上下顶点时无限接近；在椭圆上存在一点，使得所作的圆的两条切线的夹角为，所以，保证时，即，由题意及图知：，故，而，所以椭圆的离心率的取值范围是.故选：A2.设点为双曲线的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的渐近线交于两点（均异于点）．若，则双曲线的离心率为（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】作出图形，分析可知，四边形为正方形，可得出，求出的值，进而可求得该双曲线的离心率的值.【详解】如下图所示：连接、，设，由对称性可知，为的中点，，因为，则线段是以为直径的圆的一条直径，则为圆心，故为的中点，又因为，且、互相垂直且平分，所以，四边形为正方形，则，所以，，所以，该双曲线的离心率为.故选：A.3.已知斜率为的直线经过双曲线的上焦点，且与双曲线的上、下两支都相交，则双曲线的离心率的取值范围是．【答案】【分析】根据已知直线的斜率，求出渐近线的斜率范围，推出，的关系，然后求出离心率的范围．【详解】由题意可得双曲线的渐近线方程为，过双曲线上焦点且平行于渐近线的方程为，此直线只与双曲线的上支有一个交点，要使斜率为的直线经过双曲线的上焦点的直线与与双曲线的上、下两支相交，则，所以，因此，故答案为：

4.椭圆和圆，（为椭圆的半焦距），对任意的恒有四个交点，则椭圆的离心率的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由圆的半径大于椭圆的短半轴长且小于椭圆的长半轴长得不等关系，从而得的不等关系，再结合可得离心率的范围．【详解】由题意对于恒成立，∴，由得，，，，又，即，整理得，又，∴．故选：B．题型五直线与圆锥曲线的位置关系[例7]已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，过且垂直于轴的直线被椭圆所截得的线段长为3．(1)求椭圆的方程；(2)直线与椭圆交于两点，射线交椭圆于点，若，求直线的方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）利用椭圆的通径公式以及离心率求出椭圆的方程即可；（2）设直线的方程为，将直线与椭圆方程联立，根据弦长公式求出，利用三角形面积公式用表示出，由可求得，即可求直线的方程.【详解】（1）由已知得，设过且垂直于轴的直线与椭圆交于点,则点的横坐标为，将其代入得，解得，即，所以，因为椭圆的离心率，所以．因为，所以．故椭圆的方程为．（2）由题意知，直线不垂直于轴，设直线的方程为，设，联立方程组消去并整理得，其中，所以，，所以，因为点到直线的距离，且是线段的中点，所以点到直线的距离为，所以．由，解得或（舍去），所以，故直线的方程为，即或．

【点睛】如果直线过轴上一点，则直线方程可以设为，当时直线与轴垂直，但是不包含与轴平行的情况，此种情况需要单独说明.【例8】（多选）已知抛物线的准线为，焦点为F，过点F的直线与抛物线交于，两点，于，则下列说法正确的是（

）A．若，则B．以PQ为直径的圆与准线l相切C．设，则D．过点与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条【答案】ABC【分析】根据过焦点的直线与抛物线的相交的交点坐标关系、圆的几何性质逐项判断即可.【详解】由题意，抛物线的准线为，所以，抛物线C的方程为，焦点为，过作于，

则由抛物线的定义可得，故A正确；，则以PQ为直径的圆的半径，线段PQ的中点坐标为，则线段PQ的中点到准线的距离为，所以以PQ为直径的圆与准线l相切，故B正确；抛物线的焦点为，，当且仅当M，P，F三点共线时取等号，所以，故C正确；对于D，当直线斜率不存在时，直线方程为，与抛物线只有一个交点，当直线斜率存在时，设直线方程为，联立消去x，并整理得，当时，方程的解为，此时直线与抛物线只有一个交点，当时，则，解得，综上所述，过点与抛物线C有且仅有一个公共点的直线有3条，故D错误．故选：ABC．反思总结方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算△；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为x1＋x2、x1x2（或y1＋y2、y1y2）的形式；（5）代入韦达定理求解.巩固训练1.已知椭圆，直线依次交轴、椭圆轴于点四点．若，且直线斜率．则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意分析可知：的中点即为弦的中点，利用点差法运算求解.【详解】设直线：，可得，设的中点为，连接OM，则，，因为，则，即为弦的中点，设，则，因为，可得，两式相减得，整理得，可得，即，可得，所以椭圆的离心率为.故选：D.

2．设A，B为双曲线右支上的两点，若线段AB的中点为，则直线AB的方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用点差法，结合一元二次方程根与系数关系进行求解判断即可.【详解】设，则有，两式相减，得，因为线段AB的中点为，所以，因此由，即直线AB的斜率为，方程为，代入双曲线方程中，得，因为，所以线段AB存在，故选：C3．已知直线与抛物线相交于两点，若线段的中点坐标为，则直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用点差法可求得直线斜率，由直线点斜式方程可整理得到结果.【详解】设，由得：，线段的中点为，，，，即直线的斜率为，直线的方程为：，即.故选：A.4．设抛物线C：的焦点为F，准线l与x轴的交点为D，A，B两点在C上，直线依次经过点A，B，D，直线AF与C的另一个交点为E，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】对于A，由直线求出D点坐标即可得；对于B、C，联立抛物线与直线方程，求出A、B点坐标即可得；对于D，求出直线AF的方程，进而求出E点坐标，用两点距离公式即可.【详解】解：直线经过D点，令，则，所以，则，故，A正确；所以C：，联立，解得，，所以，B正确；，C错误；直线AF的方程为，即，与抛物线联立，可得，解得,，则，D正确.故选：ABD5．已知椭圆，左右焦点分别为，，直线与椭圆交于A，两点，弦被点平分．(1)求直线的方程；(2)求弦的长．【答案】(1)(2)5【分析】（1）利用点差法计算直线的斜率，再用点斜式求直线方程即可；（2）利用弦长公式计算即可.【详解】（1）设交点坐标，因为弦被点平分，所以又，两式相减得：），所以直线的斜率，故直线的方程为（2）由（1）可知，与椭圆方程联立，所以，由弦长公式可知.6．已知双曲线的焦距为6，且虚轴长是实轴长的倍.(1)求双曲线的方程；(2)过双曲线的右焦点F且倾斜角为的直线l与双曲线交于A，B两点，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意可知得，且，再结合求出，进而可得双曲线的方程；（2）由题意可得直线的方程为，设，然后将直线方程与双曲线方程联立方程组，消去，利用根与系数的关系，再利用弦长公式可得结果.【详解】（1）由双曲线的焦距为6，且虚轴长是实轴长的倍.得，且，又，解得,所以，所以双曲线方程为.（2）由（1）可知双曲线的右焦点为，所以直线的方程为，设，由，得，所以，所以.

7．如图，椭圆与过，的直线有且只有一个公共点P，且椭圆的离心率，求该椭圆的方程.

【答案】【分析】首先联立直线与椭圆方程，并根据直线与椭圆的位置关系，得到的关系式，再根据离心率，即可求解椭圆方程.【详解】由题意可知，直线方程为，联立，消去，得，因为直线与椭圆相切，所以，得，又，联立上面两式，解得：，，所以椭圆方程为.8．已知双曲线的离心率为2，右焦点到一条渐近线的距离为.(1)求双曲线的方程；(2)已知点，过点作直线与双曲线相交于两点，若，求直线的方程.【答案】(1)(2)，或.【分析】（1）先利用焦点到渐近线的距离求得，再根据离心率求得，从而求出双曲线方程；（2）分类讨论，当直线的斜率为0时，满足题意，当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，与双曲线联立，韦达定理，结合及点在直线上求解方程即可.【详解】（1）由题知，双曲线的一条斩近线为，则，又，所以，所以双曲线的方程为.（2）由（1）知，，，由题易知直线的斜率存在，当直线的斜率为0时，直线的方程为，此时直线与双曲线的交点为和，满足，符合题意；当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，设，线段的中点为，联立，整理得，所以，即，所以，，，，因为，所以，所以，所以，又点在直线上，所以，所以，解得或，满足，所以直线的方程为或.综上，直线的方程为，或.

题型六圆锥曲线的定点、定值问题【例9】已知椭圆的对称中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点在轴上，离心率，且过点．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线与椭圆交于两点，且直线的倾斜角互补，判断直线的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】(1)(2)是定值，定值为2【分析】（1）利用离心率求得之间的关系，结合点在椭圆上，解方程即可得答案；（2）设出直线方程，联立椭圆方程，得到根与系数的关系，利用直线的倾斜角互补，可得，结合根与系数关系化简即可得结论.【详解】（1）设椭圆的标准方程为，由题意知，故椭圆的标准方程又为，即，又椭圆过点，，椭圆的标准方程为；（2）由题意可知直线的斜率存在且不过点，设直线的方程为，，由，消去整理得，需满足，则，，直线的倾斜角互补，，，，将，代入得，整理得，而，，所以直线的斜率为定值，其定值为2.反思总结（1）瞄准图象“对称”的特征,让视角从客观走进微观（2）抓住“点在直线上”的特点,让问题从发现走向解决（3）善于“溯本求源”,让问题从解决走向贯通解决直线和圆锥曲线位置关系中的定值、定点问题，解答时困难在于计算的复杂性，且都是关于字母参数的计算，计算量较大，要十分细心才可以.巩固训练1.已知椭圆C：过点，且C的右焦点为．(1)求C的离心率；(2)过点F且斜率为1的直线与C交于M，N两点，P直线上的动点，记直线PM，PN，PF的斜率分别为，，，证明：．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据条件求出椭圆方程再求离心率；（2）设，，，将直线MN的方程与椭圆方程联立得，，代入斜率公式验证成立即可.【详解】（1）由得C的半焦距为，所以，又C过点，所以，解得，所以，．故C的离心率为．（2）

由（1）可知C的方程为．设，，．由题意可得直线MN的方程为，联立，消去y可得，则，，则，又，因此．2．如图，已知点和点在双曲线上，双曲线的左顶点为，过点且不与轴重合的直线与双曲线交于，两点，直线，与圆分别交于，两点.

(1)求双曲线的标准方程；(2)设直线，的斜率分别为，，求的值；(3)证明：直线过定点.【答案】(1)(2)(3)直线过定点,证明见解析.【分析】（1）根据双曲线上的点求标准方程；（2）利用韦达定理运算求解即可；（3）利用联立方程组，结合韦达定理求得的坐标，猜想过定点，并用三点共线与斜率的关系证明求解.【详解】（1）因为点和点在双曲线上，所以，解得，所以双曲线的标准方程为.（2）由题可知，直线的斜率不等于零，故可设直线的方程为，设，联立，整理得，若，即，直线的斜率为，与渐近线平行，此时直线与双曲线有且仅有一个交点，不满足题意，所以，所以，，因为,所以，所以.（3）（i）当轴时，且，所以，则，联立，整理得，即，解得或，当时，，所以，由于对称性，，此时直线过定点；（ii）当不垂直于轴时，以下证明直线仍过定点设为，因为，所以联立，即，所以，解得或，当时，，所以,同理，将上述过程中替换为可得，所以，，因为，所以，所以，所以三点共线，即此时直线恒过定点，综上直线过定点.3．已知抛物线上有两点，且直线过点．(1)求抛物线的标准方程；(2)若抛物线上有一点，纵坐标为4，抛物线上另有两点，且直线与的斜率满足重心的横坐标为4，求直线的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，再由，即可得到结果；（2）根据题意，由三角形重心坐标公式结合，代入计算，即可得到结果.【详解】（1）

由题意知直线的斜率不可能为0，设，直线的方程为，由得，，即，即，即，将代入，得，则，则，则，由，解得，故所求抛物线的标准方程为．（2）

由抛物线方程可得点坐标为，设，则，则，且，则，故．又，则，又，可得直线的中点坐标为，故由点斜式得直线的方程为5），即．4．已知F是抛物线C：的焦点，是抛物线上一点，且.(1)求抛物线C的方程；(2)直线l与抛物线C交于A，B两点，若（O为坐标原点），则直线l否会过某个定点？若是，求出该定点坐标.【答案】(1)；(2)恒过定点.【分析】（1）根据给定条件，利用抛物线的定义求出值作答.（2）设出直线的方程，与的方程联立，利用韦达定理及数量积的坐标表示计算作答.【详解】（1）由知，抛物线的准线方程为，而是该抛物线的焦点，又，因此，解得，所以抛物线C的方程为.（2）显然直线不垂直于y轴，设直线l：，，，由消去x并整理得，，即，于是，，，由，得，则有，即，因此，则，解得，满足，直线过定点，所以直线恒过定点.

【点睛】思路点睛：与圆锥曲线相交的直线过定点问题，设出直线的斜截式方程，与圆锥曲线方程联立，借助韦达定理求出直线斜率与纵截距的关系即可解决问题.题型七圆锥曲线的定直线问题【例10】已知椭圆的离心率为．(1)求椭圆C的方程；(2)当椭圆的焦点在x轴上时，直线与椭圆的一个交点为P（点P不在坐标轴上），点P关于x轴的对称点为Q，经过点Q且斜率为的直线与l交于点M，点N满足轴，轴，求证：点N在直线上．【答案】(1)或(2)证明见解析【分析】（1）分焦点在轴和轴上两种情况求椭圆方程即可；（2）联立椭圆和直线的方程得到点的坐标，根据点和点的对称关系得到点的坐标，即可得到经过点的直线方程，然后联立直线方程得到点的横坐标，即可得到点的坐标，最后根据点横纵坐标的关系即可证明点在直线上.【详解】（1）当椭圆的焦点在轴上时，，解得，，所以此时椭圆方程为；当椭圆的焦点在轴上时，，所以，解得，所以此时椭圆方程为.（2）

由题意得，椭圆方程为，联立得，设点，则，所以，故，，所以经过点且斜率为的直线方程为，联立得，所以，，,又，所以点在直线上.反思总结直线与圆锥曲线综合应用中的定直线问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与双曲线方程联立，整理为关于x或y的一元二次方程的形式；②利用△＞0求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系，消掉变量后可得定直线方程.巩固训练1．已知椭圆：的短轴长为，离心率为．(1)求椭圆的方程；(2)过点的动直线与椭圆相交于不同的两点，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据题意得，再结合可求出，从而可求得椭圆方程，（2）设，，，，设的方程为，代入椭圆方程化简，利用根与系数的关系，由可得，再结合前面的式子化简可求出关于的方程，从而可证得结论.【详解】（1）由题意可知，因为，所以解得，．所以所求椭圆的方程为（2）设，，，，直线的斜率显然存在，设为，则的方程为．因为，，，四点共线，不妨设，则，，，，由，可得，化简得．（*）联立直线和椭圆的方程，得，消去，得，，得，由韦达定理，得，．代入（*）化简得，即．又，代入上式，得，化简得．所以点总在一条定直线上．

【点睛】关键点睛：本题解题的关键是设出直线的方程，利用弦长公式表示出，代入化简，再将直线方程代入椭圆方程化简，利用根与系数的关系，几个式子相结合可证得结论.2．已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线．(1)求曲线的方程；(2)过点的直线与曲线交于两点，直线与相交于．求证：点在定直线上．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）利用可整理得到轨迹方程；（2）设，，表示出直线的方程，联立后可整理得到，联立与双曲线方程可得韦达定理的结论，利用可整理得到所求定直线.【详解】（1），，，整理可得：，又，曲线的方程为：.（2）

由题意知：直线斜率不为，则可设，设，则直线，直线，由得：，由得：，则，即，，，，，解得：，即点在定直线上.3．已知曲线上任意一点满足，且.(1)求的方程；(2)设，若过的直线与交于两点，且直线与交于点.证明：点在定直线上.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据双曲线的定义进行求解；（2）设出经过的直线方程，且，利用的坐标表示出的横坐标，然后结合韦达定理求解.【详解】（1）由于，符合双曲线的定义，于是，即，故，注意到，且焦点在轴上，故曲线的方程为（2）若过的直线与交于两点，则斜率不会是，否则和右支只有一个交点，

设该直线为，和双曲线联立可得，则，故，设，则方程可写作：，的方程可写作：，联立的方程可得，，整理可得，，则，利用在直线上，于是，于是，故，即，故交点一定落在上.4．过抛物线内部一点作任意两条直线，如图所示，连接延长交于点，当为焦点并且时，四边形面积的最小值为32

(1)求抛物线的方程；(2)若点，证明在定直线上运动，并求出定直线方程.【答案】(1)(2)证明见解析，【分析】（1）设直线，联立方程组求得，利用弦长公式，分别求得，得到，结合基本不等式，即可求解；（2）由和共线，得到，，又由和共线，得到和，进而得到，即可求解.【详解】（1）解：设，设直线，联立方程组，整理得，可得，所以，同理可得，所以，当且仅当时取等号，所以，所以抛物线的方程为.（2）解：当为时，，由共线，可得，可得

①，同理由共线

②又由共线，可得，所以

③同理由共线，可得

④由①③得，即

⑤又由②④得，即

⑥由⑤⑥得，即，即，所以在上.

题型八圆锥曲线的最值、范围问题【例11】（1）已知A，B为椭圆长轴上的两个端点，Q为椭圆上任意一点，证明：当点Q为椭圆短轴的端点时，最大；（2）设A，B是椭圆长轴的两个端点，若C上存在点M满足，求m的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）假设，从而可得再利用两角和的正切公式表示，讨论其最大值即可；（2）根据（1）所得结论分椭圆的焦点在轴分类讨论求解.【详解】（1）如图，不妨设，

则，所以,又因为，所以，因为，所以，所以当时，最大，此时最大，所以点Q为椭圆短轴的端点时，最大.（2）（i）若椭圆焦点在轴上，则，设椭圆的短轴的一个顶点为，由（1）可知，，所以，则，所以，解得；（ii）若椭圆焦点在轴上，则，设椭圆的短轴的一个顶点为，由（1）可知，，所以，则，所以，解得；综上，的取值范围是：.反思总结