第三章 圆锥曲线的方程（单元重点综合测试）（解析版）

第3章圆锥曲线的方程（单元重点综合测试）一、单项选择题：每题5分，共8题，共计40分。1．若点到直线的距离比它到点的距离小1，则点的轨迹为（）A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线【答案】D【详解】依题意，点P到直线x＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P的轨迹是抛物线2．已知抛物线上一点到焦点的距离为，则其焦点坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由抛物线的定义可求的值，进而可求焦点坐标.【详解】解：抛物线上一点到焦点的距离为，由抛物线的定义知，即，所以，所以，抛物线的焦点坐标为，故选：A.3．已知双曲线的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据题意可得，，再由即可求出，得出方程.【详解】∵双曲线1(a>0，b>0)的焦距为，，，又双曲线的一条渐近线与直线2x+y+1=0平行，∴，结合，可解得，∴双曲线的方程为.故选：B.4．已知实数，满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】实数，满足，通过讨论，得到其图象是椭圆、双曲线的一部分组成的图形，借助图象分析可得的取值就是图象上一点到直线距离范围的2倍，求出切线方程根据平行直线距离公式算出最小值，和最大值的极限值即可得出答案.【详解】因为实数，满足，所以当时，，其图象是位于第一象限，焦点在轴上的椭圆的一部分（含点），当时，其图象是位于第四象限，焦点在轴上的双曲线的一部分，当时，其图象是位于第二象限，焦点在轴上的双曲线的一部分，当时，其图象不存在，作出椭圆和双曲线的图象，其中图象如下：任意一点到直线的距离所以，结合图象可得的范围就是图象上一点到直线距离范围的2倍，双曲线，其中一条渐近线与直线平行通过图形可得当曲线上一点位于时，取得最小值，无最大值，小于两平行线与之间的距离的倍，设与其图像在第一象限相切于点，由因为或（舍去）所以直线与直线的距离为此时，所以的取值范围是．故选：C．5．已知斜率为1的直线与椭圆相交于A、B两点，O为坐标原点，AB的中点为P，若直线OP的斜率为，则椭圆C的离心率为（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】这是中点弦问题，注意斜率与椭圆a,b之间的关系.【详解】如图：依题意，假设斜率为1的直线方程为：，联立方程：，解得：，代入得，故P点坐标为，由题意，OP的斜率为，即，化简得：，，，；故选：B.6．已知点F是双曲线（）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据双曲线的对称性结合题意可得为等腰三角形，由此可得，进而得到关于的齐次式，即可求解离心率.【详解】由题意可知即为等腰三角形，

故是锐角三角形，只需，将代入可得，故在中，，，则，化简整理，得，∴，∴，又，∴，故选：B.7．已知为双曲线的左､右焦点，过作的垂线分别交双曲线的左､右两支于两点(如图).若，则双曲线的渐近线方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据已知条件和双曲线的定义可求得，，再在中运用余弦定理建立关于a，b，c的方程，可求得双曲线的渐近线方程得选项.【详解】解：由，设，由得，，所以，，又得，，令，化简得：，得，所以渐近线方程为，故选：C.8．已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上.在中，若，则的最大值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用抛物线的几何性质，求得的坐标.利用抛物线的定义以及正弦定理，将题目所给等式转化为的形式.根据余弦函数的单调性可以求得的最大值.【详解】由题意得，准线，，，过作，垂足为，则由抛物线定义可知，于是，在上为减函数，当取到最大值时（此时直线与抛物线相切），计算可得直线的斜率为，从而，,故选C.

【点睛】本小题主要考查抛物线的几何性质，考查直线和抛物线的位置关系，还考查了正弦定理.属于中档题.二、多项选择题：每题5分，共4题，共计20分，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的不得分。9．（多选题）若方程所表示的曲线为C，则下面四个命题中正确的是（

）A．若1＜t＜5，则C为椭圆B．若t＜1．则C为双曲线C．若C为双曲线，则焦距为4D．若C为焦点在y轴上的椭圆，则3＜t＜5【答案】BD【分析】根据椭圆和双曲线的标准方程及简单的几何性质，逐项判定，即可求解，得到答案.【详解】由题意，若方程表示椭圆，则满足，解得或，对于A中，当时，此时方程表示圆，所以不正确；当方程表示焦点在轴上椭圆，则满足，解得，所以D项正确；对于B中，当时，，此时表示焦点在轴上的双曲线，所以是正确的；对于C中，当时，方程，此时双曲线的焦距为，所以不正确.故选BD.若方程表示椭圆，则满足，解得或，【点睛】本题主要考查了椭圆与双曲线的标准方程和简单的几何性质的应用，其中解答椭圆和双曲线的标准方程和几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10．若椭圆上的一个焦点坐标为，则下列结论中正确的是（

）A． B．的长轴长为C．的长轴长为4 D．的离心率为【答案】AB【分析】先根据焦点坐标求出，结合选项逐个验证.【详解】因为焦点坐标为，所以，解得或（舍），所以椭圆的方程为，长轴长为，离心率.故选：AB.11．已知双曲线过点且渐近线为，点在双曲线的一条渐近线上，为坐标原点，为双曲线的右焦点，则下列结论正确的是（

）A．双曲线的离心率为2 B．双曲线的方程是C．的最小值为2 D．直线与有两个公共点【答案】AB【分析】设双曲线的方程为，由双曲线过点求出，判断B；再由离心率公式判断A；联立直线和双曲线方程判断D.【详解】设双曲线的方程为，由双曲线过点可得，即双曲线的方程是，故B正确；可化为，则，，故A正确；由题意可得，当直线与渐近线垂直时，取最小值，且最小值，故C错误；由，解得，即直线与只有一个交点，故D错误；故选：AB12．1.已知椭圆的左，右两焦点分别是，，其中．直线与椭圆交于A，B两点．则下列说法中正确的有（

）A．的周长为B．若的中点为M，则C．若，则椭圆的离心率的取值范围是D．若的最小值为，则椭圆的离心率【答案】AC【分析】根据椭圆的定义判断A；用点差法判断B；先算出，进而根据A在椭圆上进行消元得到，然后结合椭圆的范围得到的范围，最后求出离心率的范围；根据的最小值为通径的长度求得答案.【详解】对A，根据椭圆的定义的周长为，正确；对B，设，则，所以，，由，即，错误；对C，，则，正确；对D，容易知道，的最小值为通径长度，由于直线斜率存在，所以不能取到最小值，不正确.故选：AC.三、填空题：每题5分，共4题，共计20分。13．若抛物线经过点，，则该抛物线的标准方程为.【答案】【解析】由所过两点坐标即可设出抛物线方程，待定系数即可求得结果.【详解】因为抛物线经过点，，即抛物线经过第一、二象限，故设抛物线方程为，代入点，可得，即，则抛物线方程为：.故答案为：.【点睛】本题考查由抛物线上一点求抛物线方程，属基础题.14．过原点的一条直线与圆相切，交曲线于点，若，则的值为．【答案】【分析】根据圆和曲线关于轴对称，不妨设切线方程为，，即可根据直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系解出．【详解】易知圆和曲线关于轴对称，不妨设切线方程为，，所以，解得：，由解得：或，所以，解得：．当时，同理可得．故答案为：15．直线与抛物线相交于，两点，当时，则弦中点到轴距离的最小值为.【答案】【分析】由定义直接将所求转化为焦点三角形中的问题．【详解】由题意，抛物线的焦点坐标为（0，），根据抛物线的定义如图，所求d=故答案为．【点睛】本题考查抛物线的定义的应用，属于基础题．16．已知圆：（）和：，动圆与圆内切，与圆外切，是的内心，且，则的值为.【答案】17【分析】首先根据题意得到的轨迹为以，为焦点的椭圆，设为，且，，，根据得到，再代入即可得到答案.【详解】因为，，，所以，又因为动圆与圆内切，与圆外切.设动圆，半径为，所以，，即，所以的轨迹为以，为焦点的椭圆，如图所示：设椭圆为：，且，，.因为是的内心，所以到，，的距离相等，设为.又因为，所以，即，，又，所以.故答案为：17四、综合题：共6题，共计70分。17．求适合下列条件的椭圆标准方程：（1）与椭圆有相同的焦点，且经过点；（2）经过两点.【答案】（1）；（2）【解析】（1）利用已知椭圆可得焦点的坐标，结合椭圆的定义可求，从而可得椭圆标准方程：（2）利用待定系数法，设出方程，代入两点的坐标，解方程可求.【详解】（1）椭圆的焦点坐标为，∵椭圆过点，∴，∴，∴椭圆的标准方程为.（2）设所求的椭圆方程为．把两点代入，得：，解得，∴椭圆方程为．【点睛】本题主要考查椭圆方程的求解，待定系数法和定义法是常用的求解方法，侧重考查数学运算的核心素养.18．已知抛物线（）的焦点为，点为抛物线上一点，且.(1)求抛物线的方程；(2)不过原点的直线：与抛物线交于不同两点，，若，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据抛物线过点，且，利用抛物线的定义求解；（2）设，联立，根据，由，结合韦达定理求解.【详解】（1）由抛物线过点，且，得所以抛物线方程为；（2）由不过原点的直线：与抛物线交于不同两点，设，联立得，所以，所以，所以因为，所以，则，，即，解得或，又当时，直线与抛物线的交点中有一点与原点重合，不符合题意，故舍去；所以实数的值为.19．已知直线y＝－x＋1与椭圆相交于两点.（1）若椭圆的离心率为，焦距为2，求线段的长；（2）若（共中为坐标原点），当椭圆的离心率时，求椭圆的长轴长的最大值.【答案】（1）（2）【分析】(1)根据椭圆中基本量的关系计算椭圆的方程,再联立直线与椭圆的方程,利用弦长公式求解线段的长即可.(2)设,,根据可得,再联立方程利用韦达定理表达出关于椭圆的基本量的关系,再根据椭圆的离心率可列出不等式求解关于的不等式,从而得到长轴长的最大值.【详解】解：（1）,,,,则,椭圆的方为,联立消去得：,设,,则,（2）设,,,,即,由,消去得,由,整理得,又,,,由,得：,,整理得：,,代入上式得,,,,,,,,适合条件,由此得,,故长轴长的最大值为.【点睛】本题主要考查了椭圆中基本量的计算以及联立直线与椭圆的方程,根据韦达定理求解基本量参数的关系,进而求得基本量的最值问题.属于难题.20．已知椭圆经过．(1)求椭圆的方程；(2)若直线交椭圆于不同两点，，是坐标原点，求的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）将两点坐标代入椭圆方程中，求出，的值，可求出椭圆的方程；（2）直线方程与椭圆方程联立，消去，得到一元二次方程，解这个方程，求出两点的纵坐标，，设直线与轴交于点，利用进行求解．【详解】（1）椭圆经过，将两点坐标代入椭圆方程中，得，解得：，，即椭圆的方程为；（2）记，，可设的方程为，由，消去得，解得，直线与轴交于点，则.21．已知抛物线T：（）和椭圆C：，过抛物线T的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，线段的中垂线交椭圆C于M，N两点.(1)若F恰是椭圆C的焦点，求p的值；(2)若恰好被平分，求面积的最大值【答案】(1)4(2)．【分析】（1）求出椭圆焦点，得抛物线焦点，从而得的值；（2）设直线方程为，代入抛物线方程，结合韦达定理得中点坐标，根据椭圆的弦中点性质得出一个参数值，由中点在椭圆内部得出另一个参数的范围，然后求出三角形面积，得出最大值．【详解】（1）在椭圆中，，所以，；（2）设直线方程为，代入抛物线方程得，设，中点为，则，，，，设，则，两式相减得，所以，，，所以，解得，点在椭圆内部，所以，得，因为，所以或，，时，，时，，所以面积的最大值为．【点睛】本题考查求抛物线的方程，考查直线与椭圆、抛物线相交问题，考查圆锥曲线中的面积问题．解题方法采用设而不求的思想方法，即设交点坐标，设直线方程，代入曲线方程后应用韦达定理，求得弦中点坐标，弦长等，把这个结论代入其他条件可求得参数关系，参数值，参数范围等．即设参数，利用韦达定理把目标用参数表示，进而求最值，证明一些结论．本题考查学生的逻辑推理能力，运算求解能力，对学生的要求较高，属于难题．22．已知抛物线的焦点为F.(1)过点F且斜率为的直线交抛物线C于P，Q两点，若，求抛物线C的方程；(2)过点F的直线交抛物线C于A，B两点，直线AO，BO分