2023年泰州市中考数学试卷及答案

泰州市二。二三年初中学业水平考试

数学试题

（考试时间：120分钟满分：150分）

请注意：

1.本试卷分选择题和非选择题两个部分.

2.所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效

3.作图必须用25铅笔，并请加黑加粗.

第一部分选择题（共18分）

一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分，在每小题所给出的四个选项中，恰

有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1.计算Jr）?等于（）

A.±2B.2C.4D.亚

【答案】B

【解析】

【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案.

【详解】解：心）2="=2.

故选：B.

【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键.

2.书法是我国特有的优秀传统文化，其中篆书具有象形特征，充满美感.下列“福”字的四种篆书图案中，

可以看作轴对称图形的是（）

A喃B福。吊廊

【答案】C

【解析】

【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这

条直线叫做对称轴进行分析即可.

【详解】解：A,B,D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部

分能够互相重合，所以不是轴对称图形；

C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴

对称图形；

故选：C.

【点睛】本题考查了利用轴对称设计图案，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合.

3.若下列计算正确的是()

A.(-a)0=1B.a6-rfl3=a2C.a~'=-aD.a6-a3-a3

【答案】A

【解析】

【分析】直接利用同底数幕的乘法运算法则以及零指数累的性质、合并同类项法则分别化简，进而得出答

案.

【详解】解：A.(-4)°=l(axO),故此选项符合题意；

B.故此选项不合题意；

c.故此选项不合题意；

D.不与“3无法合并，故此选项不合题意.

故选:A.

【点睛】此题主要考查了同底数幕的乘法运算以及零指数基的性质、合并同类项，正确掌握相关运算法则是

解题关键.

4.在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为了,该事件的概率为P.下列说法正确的是

()

A.试验次数越多，/越大

BJ与P都可能发生变化

C.试验次数越多，/越接近于P

D.当试验次数很大时，了在P附近摆动，并趋于稳定

【答案】D

【解析】

【分析】根据频率的稳定性解答即可.

【详解】解：在多次重复试验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且趋于稳定这个性

质称为频率的稳定性.

故选：D.

【点睛】本题考查了频率与概率，掌握频率的稳定性是关键.

5.函数y与自变量x的部分对应值如表所示，则下列函数表达式中，符合表中对应关系的可能是（）

x124

A.y=ax+b(a<0)B.y=—(«<0)

C.y=ax~+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)

【答案】C

【解析】

【分析】根据反比例函数的坐标特征，一次函数的性质，二次函数的坐标特征即可判断.

【详解】解：A、若直线」=◎+）过点。,4）,（2,2）,

a+b=4[a=-2

则,C，解得匕u，

2a+/?=2[〃=6

所以y=-2x+6,

当x=4时，y=-2,故（4,1）不在直线y=or+b上，故A不合题意；

B、由表格可知，y与x的每一组对应值的积是定值为4,所以y是x的反比例函数，。=4〉0,不合题

意；

C、把表格中的函数y与自变量x的对应值代入y=办？+&+c得

a+b+c=4/

7

<4a+2b+c=2,解得-二，符合题意；

,,2

16a+4/?+c=l「

ic=7

D、由C可知，不合题意.

故选：C.

【点睛】主要考查反比例函数、一次函数以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题

的关键.

6.菱形ABCD的边长为2,ZA=60°,将该菱形绕顶点4在平面内旋转30。，则旋转后的图形与原图形重

叠部分的面积为（)

A.3-也B.2-也C.-\/3—1D.273-2

【答案】A

【解析】

【分析】分两种情况：①如图，将该菱形绕顶点A在平面内顺时针旋转30。，连接AC,8。相交于点

O,8C与C'。'交于点E,根据菱形的性质推出AC的长，再根据菱形的性质推出C。'与CE的长，再根

据重叠部分的面积=n叱求解即可.②将该菱形绕顶点A在平面内逆时针旋转30°,同①方法可

得重叠部分的面积=3-6-

【详解】解：①如图，将该菱形绕顶点A在平面内顺时针旋转30。，

连接AC,8。相交于点O,与C'。'交于点E,

•.•四边形A8CQ是菱形，ZDAB=60°,

ZCAB=30°=ZCAD,AC1BD,AO=CO,BO=DO,

,/AB=2,

DO=\,AO=-JiDO=6,

；•AC=2瓜

•••菱形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到菱形ABCD.

ND'AB=30°,AD=AD'=2,

：.A,D',C三点共线，

."-CD'=CA-AD'=2y/3-2,

又；NAC8=30。，

D'E=4i-\-CE=CD，E=3-6，

,重叠部分的面积=sABC-S1D>EC,

重叠部分的面积=；乂26、1—；x（万-l）x（3-b）=3—6;

②将该菱形绕顶点4在平面内逆时针旋转30°,同①方法可得重叠部分的面积=3-73.

故选：A.

【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，正确作出图形是解题的关键.

第二部分非选择题（共132分）

二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分.请把答案直接填写在答题卡相应

位置上）

7.函数y：—1—中，自变量x的取值范围是—.

x—2

【答案】x#2

【解析】

【详解】解：由题意知：x-2加，解得中2；

故答案为存2.

8.溶度积是化学中沉淀的溶解平衡常数.常温下CaCOs的溶度积约为0.000000（）（）28,将数据

0.0000000028用科学记数法表示为.

【答案】2.8x10-

【解析】

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为axl（T",与较大数的科学记数法不

同的是其所使用的是负整数指数幕，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

【详解】解：0.0000000028=2.8xlO*9.

故答案为：2.8x10-9.

【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为axlO-,其中141al<10,〃为由原数左边起

第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

9.两个相似图形的周长比为3:2,则面积比为.

【答案】9:4

【解析】

【分析】由两个相似图形，其周长之比为3:2,根据相似图形的周长的比等于相似比，即可求得其相似比，

又由相似图形的面积的比等于相似比的平方，即可求得答案.

【详解】解：；两个相似图形，其周长之比为3:2,

，其相似比为3:2,

•••其面积比为9:4.

故答案为：9:4.

【点睛】此题考查了相似图形的性质.此题比较简单，注意熟记定理是关键.

10.若2a—6+3=0,则2(2。+/?)—4/?的值为.

【答案】-6

【解析】

【分析】由2。-。+3=0,可得2。一6=-3,根据2(2。+与-4〃=2(2。-6),计算求解即可.

【详解】解：由2。一。+3=0,可得2a—b=-3,

2(2a+b)-4b=4a+2〃-4)=4a-2。=2(2。-匕)=-6,

故答案为：—6.

【点睛】本题考查了代数式求值.解题的关键在于正确的运算.

11.半径为5cm的圆内接正五边形一边所对劣弧的长为cm.

【答案】2/

【解析】

【分析】根据正多边形和圆的性质，计算半径为5c?n的圆周长的五分之一即可.

【详解】解：由题意得，半径为的圆内接正五边形一边所对劣弧的长是半径为5c7〃的圆周长的五分之

~~*，

所以1x2x乃x5=27r(cm),

故答案为：2万.

【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握弧长、圆周长计算方法是正确解答的关键.

12.七(1)班40名同学上周家务劳动时间的频数分布直方图如图所示，设这组数据的中位数为mh,则

m2.6(填“>”"="<”)

【答案】＜

【解析】

【分析】根据中位数的意义解答即可.

【详解】解：因为有40个数据，中位数应是数据有小到大排列第20、21个数据的平均数，

由频数分布直方图可知：第1-5组的人数分别为5,7,12,9,7,

所以第20、21个数据都在第3组，即2.0~2.5,这两个数的平均数一定小于2.6,

故答案为：＜.

【点睛】本题考查频数分布直方图，中位数的概念，能从频数分布直方图中获取有用信息，明确中位数的确

定方法是解题的关键.

13.关于x的一元二次方程V+2》一1=0的两根之和为.

【答案】-2

【解析】

【分析】利用根与系数的关系进行求值.

【详解】解：x2+2x—1=0＞

b2c

Xj+%=—=—=-2f

a1

故答案为：-2.

【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，熟练掌握x+x,=-2,%1x2=-.

aa

14.二次函数y=x2+3x+n的图像与x轴有一个交点在），轴右侧，则n的值可以是（填一个值即

可）

【答案】—3（答案不唯一）

【解析】

【分析】根据根与系数的关系即可求解.

【详解】解：设二次函数y=/+3x+〃的图象与x轴交点的横坐标为玉、巧,

即二元一次方程/+3%+〃=（）的根为X1、々，

由根与系数的关系得：%+龙2=-3，Xt-x2=n,

••・一次函数y=X2+3x+n的图象与x轴有一个交点在）'轴右侧，

二.看,巧为异号，

:.n<0,

故答案为：-3（答案不唯一）.

【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，根与系数之间的关系，关键是根与系数之间的关系的应用.

15.小明对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正

北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一颗大树，向树的方向走9里到达城堡边，再往前走

6里到达树下.则该城堡的外围直径为里.

【答案】9

【解析】

【分析】由4?切圆于切圆于C,连接0。，得到OO_LAB,0C±BC,3。=5。=9里，由

勾股定理求出AC=jAB2_BC;2=]2,由tanA=92=gG,求出。。=4.5（里），即可得到答案.

ADAC

【详解】解：如图，口。表示圆形城堡，

由题意知：A3切圆于。，BC切圆于C连接0。,

0D1AB,0C1BC,BD=BC=9里,

*.*AD=6里，

AB=AD+BD=15里,

•••AC7AB，-BC2=12,

ODBC

•tan4A=---=-----,

ADAC

•OD9

••一,

612

OD=4.5（里）.

，城堡的外围直径为2。。=9（里）.

故答案为：9.

【点睛】本题考查勾股定理，解直角三角形，切线的性质，切线长定理，关键是理解题意，得到

tanA=——=—，求出。。长即可.

ADAC

16.如图，口A3C中，AB=AC,NA=30°,射线CP从射线CA开始绕点C逆时针旋转。角

（0°<a<75°）,与射线AB相交于点。将EMC。沿射线CP翻折至△ACD处，射线C4'与射线A5相

交于点E.若口4。£是等腰三角形，则Na的度数为.

P/"

【答案】22.5°或45°或67.5°

【解析】

【分析】分情况讨论，利用折叠的性质知NA=/A=30°,NACP=NACP'=a,再画出图形，利用三

角形的外角性质列式计算即可求解.

【详解】解：由折叠的性质知乙4=乙4'=30°,ZACP=ZACP'=a,

当A'D=DE时，ZDEA'=NA=30°,

由三角形的外角性质得ZDE4'=NA+ZACD+ZA'CD,即30°=30°+2a,

此情况不存在；

当A'O=A'E时，

C

ZA,=30°，NOE4'=ZEDA'=1(180°-30°)=75°,

由三角形的外角性质得75°=30°+2a,

解得a=22.5°；

当EA=OE时，NEDA'=N4=30°，

C

...N0EA'=180。-30°-30°=120°,

由三角形的外角性质得120°=30°+2a,

解得a=45°；

当=时，NA'DE=NA'ED=15°,

c

A

：.ZADC=ZA'DC=1(180°-15°)=82.5°,

a=NACO=180°-30°-82.5°=67.5°；

综上，Na的度数为22.5°或45°或67.5°.

故答案为：22.5。或45°或67.5°.

【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，画出图形，数形结合是解题的

关键.

三、解答题(本大题共有10题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要

的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(1)计算：(1+3yy-(x+3y)(x-3y)；

x3

(2)解方程：-^—=2--^—.

2元-11-2尤

【答案】(1)6砂+18产；(2)x=—；

【解析】

【分析】(1)先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项即可；

(2)方程两边都乘2x-l得出x=2(2x-1)+3,求出方程的解，再进行检验即可.

【详解】解：(1)(x+3y)2—(元+3y)(x—3y)

=x2+6肛+9/-(x2-9y2)

=x2+6孙+9/一/+9)/

=6%y+l8y2；

方程两边都乘2工一1,得x=2(2%-1)+3,

解得：尤=一;，

检验：当x二一,时，2x-lw0,

3

所以分式方程的解是x=-L.

3

【点睛】本题考查了整式的混合运算和解分式方程，能正确根据整式的运算法则进行化简是解（1）的关键,

能把分式方程转化成整式方程是解（2）的关键.

18.如图是我国2019、2022年汽车销售情况统计图.

M19年-20”年我属新献・汽友辅■■

帆口，（万

根据图中信息，解答下列问题：

（1）2022年我国新能源汽车销售量约占该年各类汽车销售总量的%（精确到1%）；

这4年中，我国新能源汽车销售量在各类汽车销售总量占比最高的年份是年；

（2）小明说：新能源汽车2022年的销售量超过前3年的总和，所以2022年新能源汽车销售量的增长率比

2021年高.你同意他的说法吗？请结合统计图说明你的理由.

【答案】（1）26,2022年

（2）不同意.理由见详解

【解析】

【分析】（1）将图中数据分别计算2019~2022年我国新能源汽车销售量在各类汽车销售总量占比即可求解;

（2）求出2021、2022年新能源汽车销售量的增长率即可求解.

【小问1详解】

2022年我国新能源汽车销售量约占该年各类汽车销售总量的占比为：黑［x100%=26%,

2686.4

2021年我国新能源汽车销售量约占该年各类汽车销售总量的占比为：与352100%。13%,

2020年我国新能源汽车销售量约占该年各类汽车销售总量的占比为：翳X100%Q5%,

2019年我国新能源汽车销售量约占该年各类汽车销售总量的占比为：罂xl00%“5%,

・•.这4年中，我国新能源汽车销售量在各类汽车销售总量占比最高的年份是2022年.

故答案为：26,2022年；

【小问2详解】

不同意.理由如下：

2022年新能源汽车销售量的增长率为：688^~352X100%«96%,

2021年新能源汽车销售量的增长率为：生与竽x100%”157%,

2022年新能源汽车销售量的增长率比2021年低.

【点睛】本题主要考查了条形统计图，折线统计图，准确从统计图获取信息是解题的关键.

19.某校组织学生去敬老院表演节目，表演形式有舞蹈、情景剧和唱歌3种类型.小明、小丽2人积极报名

参加，从3种类型中随机挑选一种类型.求小明、小丽选择不同类型的概率.

【答案】小明、小丽选择不同类型的概率为

【解析】

【分析】用树状图列举出所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可.

【详解】解：用树状图法表示所有等可能出现的结果如下：

/NXIX

“曲号蹈情景喇彳依舞蹈情爱喇*跟舞霜情就刷叫歌

共有9种等可能出现的结果，其中小明、小丽选择不同类型的有6种，

所以小明、小丽选择不同类型的概率为9=2.

93

【点睛】本题考查列表法或树状图法，树状图法适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为：概率

=所求情况数与总情况数之比.

20.如图，CO是五边形ABCDE的一边，若AM垂直平分CD,垂足为且,,

则.

给出下列信息：①AM平分/BAE；®AB=AE；③BC=DE.请从中选择适当信息，将对应的序号填

到横线上方，使之构成真命题，补全图形，并加以证明.

【答案】②③，①；证明见详解

【解析】

【分析】根据题意补全图形，连接AC、AD,根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段

两个端点的距离相等可得出4c=A。，在求证三角形全等得出角相等，求得=NE4V，进而得出结

论AM平分

【详解】②③，①

证明：根据题意补全图形如图所示：

CM=DM,AC=AD（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）,

在△ACM与中，

AM=AM

<AC=AD,

CMDM

:DACM^iADM（SSS）,

ZCAM=ADAM,

在DAB。与△AED中，

AB=AE

<ACAD,

BC=ED

:DABC^]AED（SSS）,

NBAC=NEAD,

5L.-：AC\M=Z.DAM,

ABAC+ZCAM=READ+Z.DAM,

即4BAM=NEAM=-ZBAE,

2

AM平分N3AE.

故答案为：②③①.

【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及三角形全等的判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质

是本题的解题关键.

21.阅读下面方框内的内容，并完成相应的任务.

小丽学习了方程、不等式、函数后提出如下问题：如何求不等式6<0的解集？

通过思考，小丽得到以下3种方法：

方法1方程/一%-6=0的两根为玉=-2,马=3,可得函数y=—6的图像与x轴的两个交

点横坐标为-2、3,画出函数图像，观察该图像在x轴下方的点，其横坐标的范围是不等式/-x-6<0

的解集.

方法2不等式V一无一6<0可变形为f<x+6，问题转化为研究函数y=f与y=x+6的图像关

系.画出函数图像，观察发现：两图像的交点横坐标也是-2、3；y=f的图像在y=x+6的图像下方

的点，其横坐标的范围是该不等式的解集.

方法3当x=0时，不等式一定成立；当x>0时，不等式变为％-1<色；当x<0时，不等式变为

X—1>色.问题转化为研究函数y=x-l与y=2的图像关系…

xx

任务：

（1）不等式工2-》一6<0的解集为；

（2）3种方法都运用了的数学思想方法（从下面选项中选1个序号即可）；

4分类讨论B.转化思想C.特殊到一般D.数形结合

（3）请你根据方法3的思路，画出函数图像的简图，并结合图像作出解答.

【答案】（1）-2<x<3

（2）D（3）图像见解析，不等式》2一工一6<0的解集为-2<x<3

【解析】

【分析】（1）如图1,作y=—6的图像，由方法1可知，不等式/一万一6<0的解集为

-2<无<3；

（2）由题意知，3种方法都运用了数形结合的数学思想方法；

（3）如图2,作函数y=x-l与y=9的图像，由图像可得，/一工一6<0的解集为-2<x<0,或

x

（）<x<3,进而可得J—x-6<0的解集.

【小问1详解】

解：如图1,作y=d-x-6的图像,

-To~~•

.

由方法1可知，不等式X?一x—6<0的解集为—2<x<3,

故答案为：一2<x<3；

【小问2详解】

解：由题意知，3种方法都运用了数形结合的数学思想方法,

故选：D；

【小问3详解】

解：如图2,作函数y=x-l与y=9的图像，

x

由图像可得，V-*一6<0的解集为—2<x<0,或0<x<3,

综上，/一%-6<0的解集为-2<x<3.

【点睛】本题考查了数形结合求一元二次不等式的解集，作二次函数、一次函数、反比例函数的图像.解

题的关键在于理解题意并正确的作函数图象.

22.如图，堤坝AB长为10m,坡度，•为1:0.75,底端A在地面上，堤坝与对面的山之间有一深沟，山顶O

处立有高20m的铁塔CO.小明欲测量山高QE,他在A处看到铁塔顶端C刚好在视线AB上，又在坝顶

8处测得塔底。的仰角a为26。35'.求堤坝高及山高OE.（sin26°35'氏0.45,cos26°35z«0.89,

tan26。35'=0.50,小明身高忽略不计，结果精确到1m）

【答案】堤坝高为8米，山高OE为20米.

【解析】

【分析】过B作8/71AE于，，设3〃=4x,AH=3x,根据勾股定理得到

AB=dAH、BH2=5X=10,求得AH=6,BH=8,过B作CE于凡则

EF=BH=8,BF=EH,设=a,解直角三角形即可得到结论.

【详解】解：过B作BH1AE于“，

•.•坡度，・为1:0.75,

...设8”=4x,AH=3x,

AB=yjAH2+BH2=5x=10，

x=2,

.♦.AH=6,BH=8,

过B作BE_LCE于F,

则七/=8"=8,BF=EH,

设。F=a,

Va=26°35'.

DFa

/.BF2a,

tan26°35'0.5

AE=6+2a,

；坡度i为1:0.75,

CE：AE=(20+a+8)：(6+2a)=l：0.75,

a=12,

/.DF=12（米），

DE=DF+EF=12+8=20（米），

答：堤坝高为8米，山高OE为20米.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-俯角仰角，解直角三角形的应用-坡角坡度，正确地作出辅助线

是解题的关键.

23.某公司的化工产品成本为30元/千克.销售部门规定：一次性销售1000千克以内时，以50元/千克的

价格销售；一次性销售不低于1000千克时，每增加1千克降价0.01元.考虑到降价对利润的影响，一次性

销售不低于1750千克时，均以某一固定价格销售.一次性销售利润y（元）与一次性销售量x（千克）的函

数关系如图所示.

（1）当一次性销售800千克时利润为多少元？

（2）求一次性销售量在1000〜1750kg之间时的最大利润；

（3）当一次性销售多少千克时利润为22100元？

【答案】（1）当一次性销售800千克时利润为16000元；

（2）一次性销售量在1000~1750kg之间时的最大利润为22500元；

（3）当一次性销售为1300或1700千克时利润为22100元.

【解析】

【分析】（1）用销售量x利润计算即可；

（2）根据一次性销售不低于1000千克时，每增加1千克降价0.01元求出销售单价，再乘以销售量即可列

出函数解析式，再根据函数的性质求最值；

（3）根据（2）中解析式，令尸22100,解方程即可.

【小问1详解】

解：根据题意，

当x=800时，y=800x(50-30)=800x20=16000,

当一次性销售800千克时利润为16000元；

【小问2详解】

解：设一次性销售量在1000〜1750kg之间时，

销售价格为50-30—0.01(x—1000)=-0.0lx+30,

/.y=x(-0.01x+30)

=-0.0lx2+30x

=-0.01(x2—3000)

=—0.01(x—1500)2+22500,

V-0.01<0,1000<x<1750,

...当x=1500时,y有最大值，最大值为22500,

...一次性销售量在1000〜1750kg之间时的最大利润为22500元；

【小问3详解】

解：由(2)知，当元=1750时，

y=-0.01(1750-1500)2+22500=16250<22100,

当一次性销售量在1000〜1750kg之间时，利润为22100元，

A-0.01(x-l500)2+22500=22100,

解得玉=1700,x,=1300,

...当一次性销售为1300或1700千克时利润为22100元.

【点睛】本题考查二次函数的应用，根据等量关系列出函数解析式，掌握二次函数的性质是解答本题的关

键.

24.如图，矩形ABCD是一张A4纸，其中=小天用该A4纸玩折纸游戏.

DAD

BFCB

图①图⑵

游戏1折出对角线BD,将点8翻折到8。上的点E处，折痕交3。于点G.展开后得到图①，发

现点尸恰为的中点.

游戏2在游戏1的基础上，将点C翻折到8。匕折痕为BP；展开后将点B沿过点尸的直线翻折到

上的点H处；再展开并连接GH后得到图②，发现NAG"是一个特定的角.

（1）请你证明游戏1中发现的结论：

（2）请你猜想游戏2中NAG”的度数，并说明理由.

【答案】（1）证明见详解

（2）120°,理由见解析

【解析】

【分析】（1）由折叠的性质可得根据题意可得Nb4G=NA£>B=NGBF,再设A8=a,然后

表示出A。、BD,再由锐角三角函数求出8尸即可：

（2）由折叠的性质可知NGBH=NFBH,BF=HF,从而可得出NGBH=NBHF,进而得到

BDOHF,ZDGH=ZGHF,由（1）知AEJ.8。，可得A尸，在RtAGRH中求出NGHF的正

切值即可解答.

【小问1详解】

证明：由折叠的性质可得A80,

ZAGB=90°,

:四边形A8CD是矩形，

NBAO=NABC=90°,

N8AG=AADB=NGBF,

vAD=CAB，

设AB=a,则AZ）=yfla，BD=y[?>ci>

/.sin/.BAG=sinZ.ADB,

即叫二四，

ABBD

BG_a

ay/3a9

解得BG=@a，

3

根据勾股定理可得AG=—a，

3

cosZ.GBF=cosZBAG,

BGAG

n即n——=——,

BFAB

6娓

.——a——a

••3二3•

BF~a

解得BF=W^a，

2

,/BC=AD=y[2a，

BF=-BC,

2

.,.点E为BC的中点.

【小问2详解】

解：ZAGH=\20°,理由如下：

连接HP,如图：

由折叠的性质可知NGBH=NFBH,BF=HF，

：.ZGBH=ZFBH,4FBH=NFHB,

NGBH=NBHF,

BDUHF,

Z.DGH=ZGHF,

由（1）知AF_LB£>,可得AFJ.HF,

.-.ZAGD=90°,

B

设48=。，则4。=缶=3。，BF=HF=­a，

2

曳

3

£

6

V6

在RtAGF”中，tanZGWF=——=-^=—,

HFV23

a

2

/.NG”/=30。,

/.ZDGH=30°,

NAG”=NAGO+ZDGH=900+30°=120°.

【点睛】本题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握以上知识是解题关键.

25.在平面直角坐标系xOy中，点A(〃?,0),3(，”一。,0)(。＞加＞0)的位置和函数％=一(彳＞0)、

x

%=竺二幺(*＜0)的图像如图所示.以AB为边在x轴上方作正方形ABC。，边与函数乂的图像相

x

交于点E,CO边与函数凹、％的图像分别相交于点G、H,一次函数为的图像经过点E、G,与y轴相交

(1)加=2,a=4,求函数方的表达式及△PGH的面积；

(2)当a、机在满足a〉加〉0的条件下任意变化时，△PGH的面积是否变化？请说明理由;

(3)试判断直线尸H与边的交点是否在函数内的图像上？并说明理由.

【答案】(1)函数为的表达式为＞3=-2X+5,△PG”的面积为g

(2)不变，理由见解析

(3)在，理由见解析

【解析】

2-2

【分析】(1)由m=2,a=4,可得A(2,0),5(-2,0),y-y2=——，则A3=4,当尤=2,

1=xx

22i(1)—2

X==1,则E(2,l)；当y=4,4=—,解得x=[,则G彳,4；当%=4,4=一,解得

2x2)x

x=—则”［一；,4）；待定系数法求一次函数为的解析式为为=-2x+5,当x=0,%=5,则

P（0,5）,根据S»GH=gx；-［一；）x（5—4）,计算求解即可；

（2）求解过程同（1）；

a

（3）设直线尸H的解析式为y=包1+〃2,将P（O,l+a）,Hy9a］,代入y=&x+”2得，

b)=1+Qb2=1+a

m-a.,解得]a，即y=’一九+1+a,当％=根一。，

------k+b=ak=------a-m

.a2~22a-m

y=/一x(机—a)+l+a=l,则直线p”与BC边的交点坐标为(m—a,l),当x=m-a,

a-m

%="二8=1,进而可得结论.

m-a

【小问1详解】

解：*.*m=2,a=4,

.•.A(2,0),8(-2,0),y,=-,%==，

Xr

•AB4

:-，

2

当X---

2,yl2则E（2,l）；

2解得x，则G（；,4

当y=4,4=一

X

-21

当>2=4,4=—，解得x=—，则“

x2

设一次函数力的解析式为为=依+人，

ri\\2k+b=\々=_2

将E(2,l),G『4,代入%=依+匕得，1,,，，解得，匚

\2)—k+b=4b=5

2l

y3——lx+5,

当x=0,%=5,则尸(O,5),

S

APCW=|XJ-[-1]]x(5-4)=1；

函数力的表达式为/=-2x+5,/\PGH的面积为g；

【小问2详解】

解：△PG”的面积不变，理由如下：

“八、八/八、mtn-a

・.・A("2,0),B(m-a,0),yi=一,y2=-----,

x~x

/.AB=a,

当x=m,y,=—=1,则E(m,1)；

m

当必=〃，a=—f解得光='，则G('，]；

xayaJ

m—a,,m—a,八(m—a)

当必=。，a=-----,解得x=--------,则”------，。；

xa\a)

设一次函数为的解析式为%=

mk+4=1

I117x

将£1(/%,1),G—,a,代入+4得，m，解得＜

Ici-A1+4-a