中考数学知识点与经典题型练习 全等三角形中的倍长中线模型(解析版)

专题07全等三角形中的倍长中线模型

【模型展示】

B

\/

\/

7

E

已知：在^ABC中，D为AC中点，连接BD并延长到E使得DE=BD,连接AE

特点则：BC平行且等于AE.

【证明】

延长BD到E,使DE=BD,连接CE,

•；4£）是斜边5C的中线

：.AD=CD

♦：NADE=NBDC

：.ΛADE^∆BDC（SAS）

，AE=BC,NDBC=NAED

：.AE//BC

倍长中线是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接

相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法

结论

多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（通常用“SAS”证明）（注：一般都是

原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。

【模型证明】

解决方

案已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∕BAE=∕CDE,则：AB=CD.

叉：NBEF=NCEG,BE=CE,

在4BEF和4CEG中，

'NF=NCGE

<ZBEF=ZCEG,

BE=CE

ΛΔΔCGE.

：.BF=CG.

在△48尸和仆DCG中，

'NF=NDGC

v<ZBAE=ZCDE,

BF=CG

Λ∆ABF⅛∆DCG.

.∖AB=CD.

方法三:

作CF〃AB,交DE的延长线于点F.

D

INF=NBAE.

文YNBAE=ND,

ΛZF=ZD.

：.CF=CD.

'NAEB=NFEC

•・•<ZF=ZBAE,

BE=CE

Λ∆ABE^∆FCE.

ΛAB=CF.

：.AB=CD.

【题型演练】

一、解答题

1.如图，ABC中,A。是BC边上的中线,E,尸为直线A。上的点,连接BE,C尸,且8E〃CE.

⑴求证：BDEWCDF；

⑵若ΛE=15,AF=S,试求。E的长.

【答案】（1）见解析；

⑵；;

【分析】（1）根据两直线平行内错角相等；全等三角形的判定（角角边）；即可证明：

（2）由（1）结论计算线段差即可解答：

（I）

证明：'.'BE//CF,：.ZBED=ZCFD,

VZBDE=ZCDF,BD=CD,

J.∕∖BDE^∕∖CDF（AAS）；

（2）

解：由（1）结论可得QE=QF,

'：EF=AE-AF=I5-8=7,

7

ADE=-；

2

【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定（AAS）和性质；掌握全等三角形的

判定和性质是解题关键.

2.如图，在即AABC中，ZACB=90o,点。是AB的中点，小明发现，用已学过的“倍长中

线'’加倍构造全等，就可以测量CO与4B数量关系.请根据小明的思路，写出C。与AB的

数景关系，并证明这个结论.

A

【答案】证明过程详见解析

【分析】延长CO到点E,使EO=CD,连接8E,根据全等三角形的判定和性质即可求解.

【详解】解：CD=AB,证明：如图，延长C0到点E,使ED=C£>,连接8E,

在ABDE和^ADC中，

BD=AD

<ZBDE=ZADC

ED=CD

：.ΔβDf^∆ADC(SAS),

：.EB=AC,NDBE=NA,

：.BE//AC,

,/ZΛCB=90o,

NEBC=I80。-NAC8=90。,

NEBC=NACB,

在^EC8和4ABC中，

EB=AC

</EBC=ZACB

CB=BC

；・AECB丝AABC(SAS),

：.EC=AB,

.∙.CD=^EC=^AB,

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是正确的作出辅助线.

3.我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形.如图，OA

=0B,0C=0D,NAoB=NCoo=90。，回答下列问题：

(1)求证：△OAC和△OBO是兄弟三角形.

(2)“取8。的中点尸，连接OP,试说明AC=20P.”聪明的小王同学根据所要求的结论，想

起了老师上课讲的“中线倍长”的辅助线构造方法，解决了这个问题，按照这个思路回答下列

问题.

①请在图中通过作辅助线构造aBPE沿LDP0,并证明BE=OD-,

②求证：AC=20P.

【答案】(1)见解析

(2)①见解析；②见解析

【分析】(1)证出/AOC+N5OO=180。，由兄弟三角形的定义可得出结论；

(2)①延长OP至E,使PE=OP,证明△BPE丝△。尸O(SAS),由全等三角形的性质得出

BE=OD-,

②证明AEBO丝ZXCOA(SAS),由全等二:角形的性质得出OE=AC,则可得出结论.

(1)

证明：VZAOB=ZCOD=90o,

ΛZAOC+ZBOD=360o-ZAOB-ZCOD=360o-90o-90o=l80°,

又YAO=OB,OC=OD,

,△04C和A08。是兄弟三角形；

(2)

①证明：延长OP至E,使尸E=OP,

：.BP=PD,

y."：ZBPE=ZDPO,PE=OP,

：.ABPE迫ADPO(SAS),

.∙.BE=OD;

②证明：,：ABPEt^ADPO,

：.NE=NDOP,

.'.BE∕∕OD,

ΛZEBO+ZBOD=180o,

XVZB。。+NAOC=I80。，

.∙.NEBO=NAOC,

•：BE=OD,OD=OC,

：.BE=OC,

又：OB=OA,

,∖∕∖EBO^ΛCOA(SAS),

.∙.OE=AC,

XV0E=20P,

.∖AC=20P.

【点睛】本题是三角形综合题，考查了新定义兄弟三角形，全等三角形的判定与性质，正确

作出辅助线是解题的关键.

4.【发现问题】

小强在一次学习过程中遇到了下面的问题：

如图1,AO是AABC的中线，若AB=8,AC=6,求AO的取值范围.

【探究方法】

小强所在学习小组探究发现:延长AD至点E,使EZJ=AD,连接BE.可证出△AOC⅛AEDB,

利用全等三角形的性质可将已知的边长与4。转化到同一个△ABE中，进而求出AD的取值

范围.

方法小结：从上面思路可以看出，解决问题的关键是将中线4。延长一倍，构造出全等三角

形，我们把这种方法叫做倍长中线法.

【应用方法】

(1)请你利用上面解答问题的方法思路，写出求AD的取值范围的过程：

【拓展应用】

(2)已知：如图2,AD是AABC的中线，BA=BC,点E在BC的延长线上，EC=BC.写

出AQ与AE之间的数量关系并证明.

图1

图2

【答案】(1)1<ΛD<7;(2)IAD=AE.理由见解析

［分析］(1)延长AD至点E,使DE=AD,连接BE,证明△8。E丝Z∖CD4(S4S),得出AC=BE=6,

由三角形三边关系可得出答案：

(2)延长AZ)至F,使OF=A。，由SAS证明△8。F丝ZXCD4,利用已知条件推出/∕¾4=∕ACE,

再由SAS证明△ACE^Δ,FBA即可得到IAD=AE.

【详解】(1)证明：延长至E,使OE=A。，

「AD是8C边上的中线，

：.BD=CD,

在4BOE和4CDA中，

BD=CD

•ZBDE=ZCDA,

DE=DA

：.ABDEmACDA(SAS),

.,.AC=BE=6,

⅛ΔABE中，AB-BE<AE<AB+βE,

Λ8-6<2ΛD<8+6,

Λ1<AD<7;

(2)2AD^AE.理由如下：

证明：延长AO至凡使CF=A。，

E

「AD是3。的中线，

・•・BD=CD,

在^BDF和ACDA中，

BD=CD

</BDF=ZCDA,

DF=DA

ABDF^ΛCDA(SAS),

：・AC=BF,NcAo二N/，

.∖AC∕∕BF,

ΛZFBA+ZBAC=180o,

VBA=BC,

.∙.NBAC=NBCA,

'.'ZACE÷ZBCA=180o,

/.NFBA=NACE,

VBA=BCfEC=BC9

LBA=EC,

⅛ΔΛCE⅛1∆FBA中，

CE=BA

,NACE=NFBA,

AC=BF

：.∆ACE^∆FBA(SAS),

：.AE=AF,

∖*2AD=AFf

.∖2AD=AE.

【点睛】本题考查/全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，熟练掌握全等三角形的判

定方法是解题的关键.

5.［问题背景］

①如图1,CD为AABC的中线，则有SZAa）=SZ8C。；

②如图2,将①中的/AC8特殊化，使NACB=90。，则可借助“面积法”或“中线倍长法”证明

AB=2S

涧题应用］如图3,若点G为4ABC的重心（△ABC的三条中线的交点）,CG±BG,若AG×BC

=16,则△8GC面积的最大值是（）

A.2B.8C.4D.6

【答案】I问题背景］①见解析；②见解析；I问题应用］C

【分析】［问题背景］①设A8边的高长为万，可得SAo=gAQx九再由

AD=BD,即可求证；

②延长8至点E,使QE=Czx连接AE,BE,根据Ac=BQ,可得四边形ACBE是平行四

边形，再由NACB=90。，可得到四边形ACBE是矩形，即可求证

［问题应用］如图，过点G作G"L8C于点H,根据题意可得点Z）是BC的中点，AG=IDG,

从而得到。G=3BC,得到AG=BC,再由AGXBC=16,可得到AG=BC=4,再由G”_LBC,

可得G∕⅛∕）G,从而得到当G，=。G时，△8GC面积的最大，即可求解.

【详解】解：［问题背景］①设AB边的高长为〃，

,∙SAco~5Ao×h,Sbcd——BDXh,

YCD为△48C的中线，SPAD=BD,

•∙Sacd-SBCD；

②如图，延长CQ至点£,使DE=CD,连接AE,BE,

C

∙.∙CO为△A8C的中线，

.'.AD=BD,

・：DE=CD,

・・・四边形AC3E是平行四边形，

∙/NAC8=90。，

・•・四边形ACBE是矩形，

：.AB=CE1

YDE=CD,

.∖AB=CD+DE=2CD;

［问题应用］如图，过点G作G”_L8C于点H,

图3

Y点G为AABC的重心（△A6C的三条中线的交点）,

，点D是8C的中点，AG=2DGf

λ9

.CG.LBGf

：.DG=-BC

2t

：.AG=BCf

VAGxBC=16,

.∖AG=BC=4,

ΛDG=2,

YGH工BC,

IGHWDG,

ΛGH<2,

，当GH=2,即GH=OG时，△8GC面积的最大，最大值为

LQGXBC=LX2X4=4.

22

【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，重心的性质，熟练掌握矩形的判定和性质定理，

重心的性质是解题的关键.

6.先阅读，再回答问题：如图1,已知AABC中，A。为中线.延长A。至E,®DE=AD.在

△A3。和AECO中，AD=DE,NADB=NEDC,BD=CD,所以，XABDQ4ECD(SAS),

进一步可得到AB=C£,AB〃CE等结论.

在已知三角形的中线时，我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形，并进一步解决

一些相关的计算或证明题.

解决问题：如图2,在AABC中，A。是三角形的中线，F为上一点，且BF=AC,连结

并延长B产交AC于点E,求证：AE=EF.

【答案】证明见试题解析.

【分析】延长AD到G,使DF=DG,连接CG,得到BD=DC,根据SAS推出△BD2ACDG,

根据全等三角形的性质得出8F=CG,ABFD=ZG,求出NAFE=NG,CG=AC,推出

ZG=ZCAF,求出NAFE=NCAF即可.

【详解】解：延长4。到G,使。尸=。G,连接CG,

A

。是中线，

：.BD=DC,

在ABDFffl∆CQG中，

VBD=DC,NBDF=NCDG,DF=DG,

.∙.∆BDF^∆CDG,

：.BF=CG,ZBFD=ZG,

∙/ZAFE=ZBFD,

：.NAFE=NG,

•：BF=CG,且已知8F=AC,

CG=AC,

,NG=NCA巴

ZAFE=ZCAF,

.".AE^EF.

【点睛】本题考查了倍长中线法、三角形全等的判定、性质及等腰三角形的性质等，本题的

关键是借助阅读材料中提供的方法延长A0到G,使E>F=OG,进而构造三角形全等.

7.(1)如图1,若AABC是直角三角形，NBAC=90。，点D是BC的中点，延长AD到点

E,使DE=AD,连接CE,可以得到△ABDgAECD,这种作辅助线的方法我们通常叫做“倍

长中线法”.求证：AACE是直角三角形

(2)如图2,AABC是直角三角形，ZBAC=90o,D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、

AC边上的点，且DEDF.试说明BE2+CF2=EF2;

(3)如图3,在(2)的条件下，若AB=AC,BE=⑵CF=5,求△DEF的面积.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）-ɪ.

4

【分析】（1）根据全等三角形的性质和宜角三角形的判定解答即可；

（2）延长ED至点G,使得DG=DE,连接FG,CG,根据全等三角形的判定和性质进行解

答；

（3）连接AD,根据全等三角形的判定和性质和三角形的面积公式解答即可.

【详解】（1）V∆ABD^∆ECD

二ZECD=ZB

,.∙ZBAC=90o

ZB+ZBCA=90o

,ZBCE+ZBCA=90°,即ZACE=90o

Λ∆ACE是直角三角形

（2）延长ED至点G,使得DG=DE,连接FG,CG,

VDE=DG,DF±DE,

.∙.DF垂直平分DE,

EF=FG,

「D是BC中点，

BD=CD,

在ABDEffi∆CDG中,

BD=CD

■ZBDE=NCDG,

DE=DG

Λ∆BDE^ΔCDG(SAS),

ΛBE=CG,ZDCG=ZDBE,

VZACB+ZDBE=90o,

ΛZACB+ZDCG=90%即∕FCG=90°,

VCG2+CF2=FG2,

ΛBE2+CF2=EF2;

(3)连接AD,

A

VAB=AC,D是BC中点，

.∙.ZBAD=ZC=450,AD=BD=CD.

,.∙ZADE+ZADF=90o,ZADF+ZCDF=90o,

.*.NADE=NCDF,

在4ADEf∏∆CDF中，

NBAO=NC

■AD=CD,

NADE=NCDF

Λ∆ADE^∆CDF(ASA),

AE=CF,BE=AF,AB=AC=17,

∙*∙SPHiiIf；AEDF=5SAABC>

/.S∆AEF=—×5×I2=30,

2

：•ADEF的面积=1SAABC-SAAEF=-^∙

24

【点睛】考查全等三角形的判定与性质，通过证明三角形全等得出对应边相等、对应角相等

是解题基础，将待求线段转化成求等长线段是解题的关键.

8.(1)阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

在AABC中，AB=9,AC=5,求BC边上的中线AD的取值范围.

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法(如图1)：

①延长AD到Q,使得DQ=AD；

②再连接BQ,把AB、AC、2AD集中在AABQ中；

③利用三角形的三边关系可得4<AQ<14,则AD的取值范围是.

感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形,

把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中.

(2)请你写出图1中AC与BQ的位置关系并证明.

(3)思考：已知，如图2,AD是AABC的中线，AB=AE,AC=AF,ZBAE=ZFAC=

90。.试探究线段AD与EF的数量和位置关系并加以证明.

E

D

图I图2

【答案】(1)2<AD<1;(2)AC//BQ,理由见解析；(3)EF=2AD,ADLEF,理由见解

析

【分析】(1)先判断出BQ=CO,进而得出△段ZXAQC(SAS),得出8Q=AC=5,最

后用三角形三边关系即可得出结论；

(2)由(1)知，△QDB咨∕∖ADC(SAS),得出NB。。=/CA。，即可得出结论；

(3)同(1)的方法得出△8DQ丝ZXCDA(SAS),则NQ8Q=∕4CD,BQ=AC,进而判断

出NABQ=NE4F,进而判断出△A8。且ZkEAF,得出AQ=EF,ZBAQ=ZAEF,即可得

出结论.

【详解】解：(1)延长AD到。使得DQ=AD,连接BQ,

；4。是4A8C的中线，

：.BD=CD,

BD=CD

在△QDB和△ADC中，■ZBDQ=ZCDA,

DQ=DA

'△QDBmAADC(SAS),

：.BQ=AC^5,

在4ABQ中，AB-BQ<AQ<AB+BQ,

Λ4<A2<14,

Λ2<AD<7,

故答案为2<AOV7;

(2)AC//BQ,理由：由(1)知，ΔQDB^∕∖ADC,

：.NBQD=NCAD,

.∖AC∕∕BQ-,

(3)EF=2AD,ADVEF,

理由：如图2,延长Ao到Q使得BQ=Azx连接8Q,

由(1)知，∆BDQ^∕∖CDA(SAS),

：.ZDBQ=ZACD,BQ=AC,

VAC=AFf

：.BQ=AF,

o

在AABC中，ZBAC+ZABC+ZACB=ISOf

o

：.ZBAC+ZABC+ZDBQ=ISOf

o

：.ZBAC+ABQ=ISOf

O

∖*ZBAE=ZFAC=909

o

：.ZBAC+ZEAF=ISOf

JZABQ=ZEAFf

AB=EA

在和△EAF中，IZABQ=ZEAF,

BQ=AF

・•・∕∖ABQ^∕∖EAF,

：.AQ=EF,ZBAQ=ZAEF1

延长DA交E尸于P,

VZBΛE=90o,

.∙.NA4Q+NEA尸=90。，

.•・ZAEF+ZEAP=90o,

/.ZAPE=90°,

.∖AD±EF,

,

∖AD=DQ9

.∙.AQ=2AO,

*：AQ=EFf

：.EF=IAD.

即：EF=2AD,ADLEF.

【点睛】本题是三角形综合题，主要考查全等三角形的判定和性质，倍长中线法，构造全等

三角形是解题的关键.

9.在利用构造全等三角形来解决的问题中，有一种典型的利用倍延中线的方法，例如：在

△A8C中，AB=S,4C=6,点。是BC边上的中点，怎样求A。的取值范围呢？我们可以

延长AO到点E,使AQ=OE,然后连接BE（如图①），这样，在AAQC和AEOB中，由于

AD=DE

<ZADC=ZEDB,：,XADgl\EDB、：.AC=EB,接下来，在△ABE中通过AE的长可求

BD=CD

出4。的取值范围.

请你回答：

（1）在图①中，中线4。的取值范围是.

（2）应用上述方法，解决下面问题

①如图②，在AABC中，点。是BC边上的中点，点E是AB边上的一点，作QF，。E交

AC边于点F,连接ER若BE=4,CF=2,请直接写出EF的取值范围.

②如图③，在四边形ABeD中，ZBCD=150o,NADC=30。，点E是AB中点，点厂在。C

上，且满足8C=C凡DF=AD,连接CE、ED,请判断CE与EO的位置关系，并证明你的

结论.

【答案】（D1<AD<7;（2）①2<E/<6；②CELEC,理由见解析

【分析】（1）在AABE中，根据三角形的三边关系定理即可得出结果；

（2）①延长ED到点N,使ED=DN,连接CN、FN,由SAS证得NVDC三的汨，得出

BE=CN=4,由等腰三角形的性质得出砂=W,在ACFN中，根据三角形的三边关系定

理即可得出结果；

②延长CE与DA的延长线交于点G,易证DG〃BC,得出∕G4E=∕C3E,由ASA证得

∖GAE^∖CBE,得出GE=CE,AG=BC,即可证得CD=G。，由GE=CE,根据等腰三角

形的性质可得出CEJ.ED.

【详解】（1）在△ABE中，由三角形的三边关系定理得：AB-BE<AE<AB+BE

.∙.8-6<ΛE<8+6,ER2<AE<14

.∙.2<2AD<14,BP1<AD<7

故答案为：1<AD<7;

(2)①如图②，延长ED到点N,使ED=DN,连接CN、FN

Y点D是BC边上的中点

.'.BD=CD

CD=BD

在aNDC和AEDB中，<ZCDN=ZBDE

DN=ED

:.ANDCAEDB(SAS)

BE=CN=4

,DFIDE,ED=DN

.∙.ΔEFN是等腰三角形，EF=FN

在ACFN中，由三角形的三边关系定理得：CN-CF<FN<CN+CF

.∙.4-2<∕W<4+2,GP2<∕W<6

2<EF<6；

②CELED；理由如下：

如图③，延长CE与DA的延长线交于点G

Y点E是AB中点

/.BE=AE

ZBCD=150o,ZADC=30°

.∙.DGHBC

ZGAE=ZCBE

ZGAE=ZCBE

在AGAE和ACBE中，IAE=BE

ZAEG=ZBEC

・•.AGAEACBE(ASA)

GE=CE,AG=BC

BC=CF,DF=AD

:.CF+DF=BC^AD=AG+AD,即CD=Gr)

GE=CE

.∙.CE,瓦).(等腰三角形的三线合-)

【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、三角形的三边关系定理、等腰三角形的

判定与性质等知识点，较难的是题（2）②，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键.

10.阅读材料，解答下列问题.

如图1,己知△4BC中，AD为中线.延长AO至点E,使DE=AD.在△AOC和△EOB中，

AD=DE,NADC=NEDB,BD=CD,所以，ΔACD^Δ,EBD,进一步可得至IJAC=BE,ACHBE

等结论.

图1图2

在己知三角形的中线时，我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形，并进一步解决

一些相关的计算或证明题.

解决问题：如图2,在AABC中，是三角形的中线，点尸为AD上一点，且BF=4C,连

结并延长BF交AC于点E,求证：AE=EF.

【答案】详见解析

【分析】延长AD到M,使DM=AD,连接BM,根据SAS推出△BDM@Z∖CDA,根据全

等三角形的性质得出BM=AC,∕CAD=∕M,根据BF=AC可得BF=BM,推出∕BFM=∕M,

求出NAFE=NEAF即可.

【详解】如图，延长AD至点〃，使得MD=A£＞，并连结BM，

・・・AO是三角形的中线，

BD=CD,

在AWDB和AAOC中，

BD=CD,

</BDM=ZCDA,

DM=DA,

：.AMDBgAADC，

：・AC=MB,ZBMD=ZCAD1

'：BF=AC,

:∙BF=BM,

：•/BMD=ZBFD,

VZBFD=ZEFA,/BMD=NCAD,

ΛZEFA=ZEAF,即AE=EF.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，主要考查

学生的运用性质进行推理的能力，关键是能根据“倍长中线”法作出辅助线来构造全等三角形.

11.(1)如图1所示，在一ABC中，。为3C的中点，求证：AB+AC>2AD

图1图2图3

甲说：不可能出现所以此题无法解决；

乙说：根据倍长中线法，结合我们新学的平行四边形的性质和判定，我们可延长A。至点E,

使得DE=AD，连接BE、CE,由于BD=DC,所以可得四边形ABEC是平行四边形，请写

出此处的依据(平行四边形判定的文字描述)

所以AC=8E,∆Λ8E中，AB+BE>AE,

即AB+AC>2AD

请根据乙提供的思路解决下列问题：

（2）如图2,在ABC中，。为BC的中点，A5=5,AC=3,AD=2,求ABC的面积；

（3）如图3,在ABC中，。为BC的中点，M为Ae的中点，连接BM交AZ）于F,若

AM=MF.求证：BF=AC.

【答案】（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形；（2）6；（3）见解析.

【分析】（1）根据题意，DE=AD,Bn=DC即可得四边形的对角线相等，根据平行四边形

的判定定理即可写出；

（2）根据倍长中线法，延长AD至点G,使得DG=AD,可以求得AGAC,GC.再根据勾

股定理的逆定理可知，AGC为用，，继而即可求得面积

（3）根据倍长中线法，延长AO至点N,证明四边形ABNC是平行四边形，由AA/=W即可

证明BF=AC.

【详解】解：（1）DE=AD,BD=DC

••・四边形ABEC是平行四边形

依据是：对角线互相平分的四边形是平行四边形.

故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形.

（2）如图，根据倍长中线法，延长AD至点G,使得DG=AD,

由（1）可知，四边形48GC是平行四边形

∖GC=AB,AC/IBG

AB=5,AC=3,AD=2

.∖AG=4.GC=5

AC2+AG2=3、42=25

CG-=52=25

.-.AC2+AG2=CG2

.∙.∆AGC是M

ACHBG

∙"∙SdABC=^ΔAGCAG=-×3×4=6

（3）如图，根据倍长中线法，延长A。至点N,使AD=QN,

A

M

N

由（1）可知：四边形ABNC是平行四边形,

.-.ACHBN.AC=BN

∖NMAF=NBNF

AM=MF

.-.ZMAF=ZMFA

又∙.4MFA=ZBFN

.-.ZBNF=ZBFN

JBF=BN

BF=AC

【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理的逆定理，等角对等边，运用倍长

中线法是解题的关健.

12.（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1,在AABC中,

AB=8,AC=6,求BC边上的中线A。的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下

的解决方法（如图2）,

图1图2图3

①延长40到使得。M=A。；

②连接BA/,通过三角形全等把AB、AC、2A。转化在AAbW中；

③利用三角形的三边关系可得的取值范围为AB-BM<AMVA8+8W,从而得到AO的

取值范围是:

方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边

之间的关系.

（2）请你写出图2中AC与8M的数量关系和位置关系，并加以证明.

（3）深入思考：如图3,A。是aABC的中线，AB=AE,AC=AF,N54E=NCAF=90。，

请直接利用(2)的结论，试判断线段与EF的数量关系，并加以证明.

【答案】(I)I<4。<7；(2)且AC=B例，证明见解析；(3)EF=2AD,证明

见解析.

【分析】(1)延长AD到M，使得DM=4力，连接8M,根据题意证明△ME>8丝Z∖AOC,可

知BM=AC,在4A8M中，根据AB-BM<AM<Aβ+BM,即可；

(2)由(1)知，XMDB悬XADC,可知∕M=NCAO,AC^BM,进而可知4C〃8W：

(3)延长A。到M,使得DM=AO,连接8M,由(1)(2)的结论以及己知条件证明

XABM@4EAF,进而可得AΛ∕=2AQ,由AM=EF,即可求得与EF的数量关系.

【详解】(1)如图2,延长4。到M,使得DM=A。,连接BM,

：A。是AABC的中线，

：.BD=CD,

在4MOB和△A£>C中，

BD=CD

-ZBDM=ZCDA,

DM=AD

：.AMDB迫AADC(SAS),

.∙.8M=AC=6,

⅛ΔABMΦ,AB-BM<AM<AB+BM,

：.8-6<AMV8+6,2<AM<14,

.∖∖<AD<7,

故答案为：1VACV7；

(2)AC//BM,且4C=8W,

理由是：由(1)知，∆MDB^∕∖ADC,

/M=NCA力，AC=BM,

.∖AC∕∕BM∙,

(3)EF=2AD,

理由：如图2,延长AD到M,使得QM=A。，连接BM,

由(1)知，4BDMgACDA(SAS),

：.BM=AC,

：AC=AF,

BM=AF,

由(2)知：AC//BM,

.∙.∕8AC+N48M=180°,

'：ABAE=AFAC=Wa,

ΛZBAC+ZE4F=180o,

ZABM=ZEAFf

在△48〃和4E4F中，

AB=EA

<NABM=/EAF,

BM=AF

：.∆ABM^∆EAF(SAS)f

.'.AM=EFf

t

ZAD=DMf

,

..AM=2ADf

'：AM=EF,

:∙EF=2AD,

即：EF=2AD.

图2

【点睛】本题考查了三角形三边关系，三角形全等的性质与判定，利用倍长中线辅助线方法

是解题的关键.

13.【阅读理解】倍长中线是初中数学一种重要的数学思想，如图①，在MC中，AO是BC

边上的中线，若延长AO至使QE=A。，连接CE,可根据S45证明AABO之△比",

则AS=EC.

图①图②图③

(1)【类比探究】如图②，在-Z)瓦'中，DE=3,OF=7,点G是EF的中点，求中线QG的

取值范围；

(2)【拓展应用】如图③，在四边形438中，AB//CD,点E是BC的中点.若AE是NRW

的平分线.试探究AB,AD,OC之间的等量关系，并证明你的结论.

【答案】(1)2<OG<5

(2)AD=DC+AB

【分析】(1)延长DG至M,使GM=4G,连接MR根据SAS可证△DEG丝Z∖MFG,得出

MF=3,然后根据三角形三边不等关系定理求出OM取值范围，最后把DM=2。G代入即可求

解；

(2)延长AE,DC相交于点F,根据ASA可证△ABE^∕∖FCE,则AB=FC,然后由AE平

分/BAD,43〃CO可证/F=NQAF,由等角对等边可得4。=。尸，最后由线段的和差关系

即可求解.

(1)

解：延长。G至M,使GM=OG,连接MF,

又EG=FG,NEGD=NFGM,

LADEG咨AMFG,

：.DE=MF,

又QE=3,

∖MF=3,

又DF=I,

：DF-MF<DM<DF+MF,

Λ7-3<DM<7+3,即4<OΛ∕<IO,

Λ4<2DG<10,

Λ2<DG<5;

(2)

延长AE,Z)C相交于点F,

,JAB∕∕CD,

INBAE=NF,

又BE=CE,NAEB=NFEC,

：.ΛABE^AFCE,

：.AB=CF,

•：NBAE^/F,NDAF=NBAE,

：.ZF=ADAF,

.'.AD=FD,

XFD=CD+DF,CF=AB,

：.AD=CD+AB.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形三边关系定理等知识,

读懂题意，添加“倍长中线''的辅助线是解题的关键.

14.阅读下面材料：小军遇到这样一个问题：如图1,AABC中，AB=6,AC=4,点D

为BC的中点，求AD的取值范围.

(1)小军发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题.他的做法是：如图2,延长AD

到E,使DE=AD,连接BE,构造△BED会ACAD,经过推理和计算使问题得到解决.

请回答：AD的取值范围是.

(2)参考小军思考问题的方法，解决问题：如图3,AABC中，E为AB中点，P是CA延

长线上一点，连接PE并延长交BC于点D.求证：PA∙CD=PC∙BD.

【答案】(1)1<AD<5;(2)证明见试题解析.

【详解】试题分析：(1)由ABED丝ZXCAD,得至IJBE=AC,在AABE中，由三角形三边

关系即可得到结论；

(2)延长PD至点F,使EF=PE,连接BF.得到△BEF丝Z∖AEP,从而NAPE=NF,BF

BFBD

=PA,又由NBDF=NCDP,得到△BDFsaCDP,故尸C=CZ),即可得到结论.

试题解析：(I)I<AD<5;

(2)证明：延长PD至点F,使EF=PE,连接BF.VBE=AE,ZBEF=ZAEP,

.∙.∆BEF^∆AEP,ΛZAPE=ZF,BF=PA,又：∕BDF=∕CDP,Λ∆BDF∞∆CDP,

BFBDPΛBD

.∙.PC^CD,..PC^CD,即PA∙CD=PC∙BD.

考点：相似三角形的判定与性质.

15.在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线法.

(1)如图1,AO是ABe的中线，Aθ=7,AC=5求AO的取值范围.我们可以延长AE>到

点例，使DW=4),连接8M,易证4AOC0Z∖MDB,所以BM=AC.接下来，在一ABM

中利用三角形的三边关系可求得AM的取值范围，从而得到中线AO的取值范围是

⑵如图2,A。是，45C的中线，点E在边AC上，BE交A。于点F,且AE=EF,求证:

AC=BF;

【答案】(1)1<A0<6

(2)见解析

【分析】(1)如图1,延长A。到点M,使DW=A。，连接BM,证明△AQC丝Z∖MO5(SAS),

推出AC=BM=5,再根据AB-BM可得结论；

⑵如图2,延长A。到7,使得DT=ADf连接BT,由^Aoeg△"＞以推出AC=87,ZC=ZTBDi

推出3TAC,再证明8b二87，可得结论.

(1)

解：如图1中，延长4。到点使。M=A。，连接3例,

•・・A。是AABC的中线，

IBD=CD,

在△AOC和^MO8中，

DA=DM

ZADC=NMDB,

DC=DB

：.AADCWAMDB(SAS),

.∖AC=BM=5,

VAB=7,

AB-BM<AM<AB+BMf

Λ2<ΛM<12,

Λ2<2AD<12,

・・・1<AD<6,

故答案为：1<AQ<6;

(2)

证明：如图2中，延长AO到7,使得。7二A。，连接87,

A

E

・・,A。是448C的中线，

：・BD=CD,

在^ADC力98中，

DA=DT

,/ADC=NTDB,

DC=DB

：.ZVI。Cg△77)B(SAS),

：.AC=BT,ZC=ZTBDf

.*.BTAC,

：・NT=NDAC,

・；EA=EF,

；・NEAF=NEFA,

・・•NEFA=NBFT,

IZT=NBFT,

：・BF=BT,

.'.AC=BF

【点睛】本题属于四边形综合题，考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定和性质，三

角形的中线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线,

倍长中线构造全等三角形解决问题.

16.在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线.

(1)如图1,是ΔABC的中线，A8=7,AC=5,求AO的取值范围.我们可以延长AZ)到

点、M,使。M=4),连接易证AAOC二ΔMD3,所以BM=AC.接下来，在AABM

中利用三角形的三边关系可求得AM的取值范围，从而得到中线AO的取值范围

是;

Λ

（2）如图2,是ΛBC的中线，点E在边AC上，8E交Ao于点尸,且AE=EF,求证:

AC=BF;

⑶如图3,在四边形ABa）中，4?〃8C,点E是AB的中点，连接CE,EE）且CELOE,

试猜想线段BC,CD,AD之间满足的数量关系，并予以证明.

【答案】（1）1<AD<6;（2）见解析；（3）CD=BC+AD,证明见解析

【分析】（1）延长AD到点M,使DW=Ar>,连接8M,即可证明ΔADC=ΔΛ">8,则可

得BM=AC,在MBM中，根据三角形三边关系即可得到AM的取值范围，进而得到中线AD

的取值范围：

（2）延长AD到点M,使DM=A£>,连接BM,由（1）知-AOC=.MDB,则可得

NM=Ne4。，BM=AC,由AE=所可知，ZCAD=ZAFE,由角度关系即可推出

ABMF=ΛBFM,故BW=3/，即可得到AC=BF；

（3）延长支到尸，使EF=EC,连接AF,即可证明ΔΛEP三ΔBEC,则可得

ZEAF=NB,AF=BC,由AD〃8C,以及角度关系即可证明点尸,A,。在一条直线上，通过

证明/?/△£）£尸也RtaOEC,即可得到£0=8,进而通过线段的和差关系得到

CD=BC+AD.

［详解】(1)延长AD到点M,使DM=AD，连接BM.

・・•Ao是A43C的中线，

：•DC=DB,

在ΔAQC和ΔMDB中，

AD=MD9ZADC=ZMDB,DC=DB,

：,AADC^AMDBf

JBM=AC,

在ΔABM中，

AB-BM<AM<AB+BM，

Λ7-5<AM<7+5,BP2<AΛ∕<12,

JIVAD<6；

(2)证明:延长A。到点M,使DW=AD,连接BM,

由(1)知AADC=MDB,

AE=EF,

.∖ZCAD=ZAFE,

ZMFB=ZAFE,

ZMFB=ZCAD,

.∙.ZBMF=ZBFM,

..BM=BF,

..AC=BF9

(3)CD=BC+AD,

延长CE到F，使EF=EC,连接AF,

AE=BEfZAEF=ZBEC,

.,.ΔAEF二ΔBEC,

:.ZEAF=ZB,AF=BC,

ADUBC,

:.ZBAD+ZB=180o,

:.ZEAF+ZBAD=ISOo,

・・・点EA。在一条直线上，

.CELED,

：,NDEF=NDEC=900,

・・・在RfADEF和RtADEC中,

EF=EC,ZDEF=/DEC,DE=DE,

：,RfADEFmRtADEC,

:.FD=CD,

YFD=AD+AF=AD+BC,

.∖