河北省滦南县2024届数学高二年级上册期末统考试题含解析

河北省滦南县2024届数学高二上期末统考试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知在等比数列｛%｝中，%=1，旬=81,则%=()

A.9或—9B.9

C.27或-27D.27

2.已知公差不为。的等差数列｛4｝中，4=4,且％,%,成等比数列，则其前〃项和S“取得最大值时，〃的值

为()

A.12B.13

C.12或13D.13或14

3.饕饕纹是青铜器上常见的花纹之一，最早见于长江中下游地区的良渚文化陶器和玉器上，盛行于商代至西周早期.将

青铜器中的饕餐纹的一部分画到方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为一个单位长度，有一点P从点A出发，每

次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能的，那么点P经过3次跳动后恰好是沿着饕餐纹的路线到达

点3的概率为()

4.若曲线y=ei与曲线)在公共点处有公共切线，则实数。=()

B.

ee

ee

5.今天是星期四，经过81°°天后是星期()

A.三B.四

C.五D.六

6.已知函数/(x)=e'+a,xe(O,+8),当占时，不等式/詈＜/舁恒成立，则实数。的取值范围为()

A.(-00,-1]B.(TO,-1)

C.[-1,-Hx))D.(-1,-Ko)

7.已知空间A、6、C、。四点共面，且其中任意三点均不共线，设P为空间中任意一点，若=4P8+；IPC，

则4=()

A.2B.-2

C.lD.-1

8.在—ABC中，若Z?sin5+csinC-asinA=Z?sinC,则人=()

A.1500B.120°

C.60°D.30°

9.若倾斜角为鼻的直线过3(2,。)两点，则实数a=()

A.—B.厉

2

C.273D.36

10.在各项均为正数等比数列｛%｝中，若2%,：%，为成等差数列，则"但=()

2。6+。7

1

A.4B.—

2

1

C.2D.——

2

11.求点42,1,-2)关于“轴的对称点的坐标为()

A.(—2,1,2)B.(-2,1-2)

C.(2,-1,-2)D.(2,—l,2)

12.等差数列x,x+2,3尤+6,…的第四项为0

A.5B.6

C.7D.8

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知函数〃尤)的导函数为/'(%),且对任意xeR,若/(2)=e2,则f的取值

范围是.

14.若复数z=丁二7为纯虚数(acR),贝收|=___.

3+21

15.牛顿迭代法又称牛顿一拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法.具体

步骤如下：设r是函数y=/(x)的一个零点，任意选取xo作为r的初始近似值，作曲线y=/(x)在点(xo,/(xo))处的切线

h,设与X轴交点的横坐标为XI,并称XI为r的1次近似值；作曲线y=/(x)在点(Xi,/(X1))处的切线6,设6与x

轴交点的横坐标为冷，并称m为r的2次近似值.一般的，作曲线y=/(x)在点(x“，/(%,))(〃62处的切线/“+1,记

+1与x轴交点的横坐标为X"+1,并称X"+1为r的"+1次近似值.设/(x)=x3+x—1的零点为r,取xo=O,则r的2次

近似值为

22

16.设双曲线C：3一含=1的焦点为耳，鸟，点尸为C上一点，已用=6,则仍闾为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)设A,3为双曲线C：0—4=1(。＞0,匕＞0)的左、右顶点，直线/过右焦点歹且与双曲线。的

a2b1

右支交于N两点，当直线/垂直于x轴时，△AAW为等腰直角三角形

(1)求双曲线C的离心率；

(2)若双曲线左支上任意一点到右焦点/点距离的最小值为3,

①求双曲线方程；

②已知直线40,AN分别交直线x==于P,。两点，当直线/倾斜角变化时，以PQ为直径的圆是否过x轴上

的定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由

18.(12分)如图，AbCZ＞是边长为2的正方形，D£_L平面AbCD,AF//DE,DE=2AF=2

(1)证明：AC〃平面BEF；

(2)求点C到平面BEF的距离

19.(12分)如图，AB是半圆。的直径，C是半圆上一点，M是尸5的中点，/%，平面45(7,且24=2石，AB=4,

NABC=30°.

c

(1)求证:BC_L平面协C；

(2)求三棱锥M—45C体积.

20.(12分)已知首项为1的等比数列｛凡｝,满足33+。4)=生+。5

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)求数列｛(2〃—1>4｝的前〃项和7“

21.(12分)如图，三棱柱A3C-A5IG的所有棱长都是2,知上平面ABC,“为A3的中点，N为CQ的中

点

(I)证明：直线〃平面ABG；

(2)求平面ABC与平面夹角的余弦值

22.(10分)甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5题，选择题

(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题

(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】根据等比数列的性质可求.

【详解】因为｛4｝为等比数列，设公比为心

则%2=/%=1x81=81,解得％=±9,又a〕=ad〉。,所以%=9.

故选：B.

2、C

【解析】设等差数列｛%｝的公差为g,根据4,%,%。成等比数列，利用等比中项求得公差，再由等差数列前〃项

和公式求解.

【详解】设等差数列｛q,｝的公差为必

因为4=4,且%,%，成等比数列，

所以（a1+6d）2二q+9d）,

解得公一，

g、i。1225

所以S=ria,H-------------------d——TIHn,

〃1266

所以当”=12或13时，S”取得最大值，

故选：C

3、B

【解析】利用古典概型的概率求解.

【详解】解：点P从点A出发，每次向右或向下跳一个单位长度，跳3次，

则样本空间。=｛（右，右，右），（右，右，下），（右，下，右），（下，右，右），（右，下，下），（下，右，下），（下,

下，右），（下，下，下）｝,

记“3次跳动后，恰好是沿着饕餐纹的路线到达点5”为事件C,则C={(下，下，右)),由古典概型的概率公式

可知P(C)=g

故选：B

4、A

【解析】设公共点为P(sj),根据导数的几何意义可得出关于s的方程组，即可解得实数。、s的值.

【详解】设公共点为P(s/),丁=^7的导数为了=01,曲线y=e*T在P(s/)处的切线斜率k=e~,

y=a4x的导数为y'=5=,曲线y=ayJx在P(s/)处的切线斜率k=(=,

因为两曲线在公共点P处有公共切线，所以寸「'=昼，且。=0~，t=a4，

所以2«,即解得s=L,所以e5T=44，解得竺,

2厂2&2\2e

e=a7s

故选：A

5、C

【解析】求出二项式定理的通项公式，得到除以7余数是1,然后利用周期性进行计算即可

【详解】解：一个星期的周期是7,

则81°°=(1+7严=1+&0c•7+CQ72+…+喘+C0a-7+C盗刀+…+C黑7°°),

即8必除以7余数是1,

即今天是星期四，经过外00天后是星期五，

故选：C

6、C

【解析】由题意得出^/(^)<x2/(x2),构造函数g(x)=+◎,可知函数y=g(x)在区间(0,+。)上单调递增,

可得出g'(%)=eT+xev+a>0对任意的尤>0恒成立，利用参变量分离法可得出a>-e'(x+1),利用导数求得函数

A(x)=-e'(x+1)在区间(0,+。)上的最大值，由此可求得实数a的取值范围.

【详解】函数/■(力=1+。的定义域为(0,+8),当不<尤2时，-1</应恒成立，

即王/(%)<%/(%2)，构造函数g(x)=V(%)=xe*+ta,则g(xj<g(x2)，

所以，函数g(尤)=在区间(0,+功上为增函数，

则g'⑺=e'+xe*+a之。对任意的尤>0恒成立,:.a>—e'(x+1),

令丸(x)=—e*(x+l),其中尤>0,则a2/i(x)1mx.

“(%)=-ex(x+2)<0,所以函数y=/z(x)在(0,+向上单调递减;

又/?(())=—e°(0+1)=—1,所以1.

因此，实数。的取值范围是［-1，+8).

故选：C.

7、B

【解析】根据空间四点共面的充要条件代入即可解决.

【详解】BD=6PA-4PB+APC>即P。-=4P5+4PC

整理得PD=6PA-3PB+APC

由A、B、C、。四点共面，且其中任意三点均不共线，

可得6—3+4=1,解之得力=—2

故选:B

8、C

【解析】根据正弦定理将〃sinB+csinC—asinA=〃sinC化为边之间的关系，再结合余弦定理可得答案.

【详解】若〃sin6+csinC-asinA=〃sinC,

序42_21

则根据正弦定理得：b2+c2-a2^bc，gPcosA=°+t=-,

2bc2

而0<A<180，故A=60，

故选：C.

9、C

【解析】根据直线的倾斜角和斜率的关系得到直线的斜率为百，再根据两点的斜率公式计算可得；

【详解】解：因为直线的倾斜角为£,所以直线的斜率为tan£=g,所以1二@=G，解得。=2疗；

331-2

故选：C

10、A

【解析】利用等差中项的定义以及等比数列的通项公式即可求解.

【详解】设等比数列的公比为q(q>0),

•.•2%,^生，2成等差数列，

a5=2a3+a4,即2=0,解得q=2或q=-1(舍去),

.1+为_ai/+«i48_%/(i+q)_2_4

,•,一5-6―577~.~\一q-4，

a6+a-j%q+axq0Aq口+q)

故选：A.

11、D

【解析】根据点关于坐标轴的对称点特征，直接写出即可.

【详解】4点关于x轴对称点，横坐标不变，纵坐标与竖坐标为原坐标的相反数，

故点的坐标为(2,—1,2),

故选：D

12、A

【解析】根据等差数列的定义求出X,求出公差，即可求出第四项.

【详解】由题可知，等差数列公差d=(x+2)—x=2,

故3x+6=x+2+2,故x=-1,

故第四项为-1+(4—1)X2=5.

故选：A.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、(2,+8)

【解析】构造函数g(x)=与，利用导数分析函数g(x)的单调性，将所求不等式变形为g⑺<g(2),结合函数

g(x)的单调性可得解.

【详解】构造函数g(x)=/学，则g，(x)J叫"“VO,故函数g(x)在R上单调递减，

ee

由已知可得g(2)=/^=1,

e

由/(/)<e'可得g(0=*<l=g(2),可得f>2.

故答案为：(2,+8).

1

14、-

3

a—I

【解析】利用复数片不二7为纯虚数求出”，即可求出国.

3+21

r注解】a-i(a-i)(3-2i)_(3a-2)-(2a+3)i=3a-22a+3

【详解】“一3+2「(3+2讥3-公厂131313,

^-^=0

132

由纯虚数的定义知，C。，解得

2。+3八3

----HO

113

所以z=—；i.故团=g.

故答案为：—.

3

3

15、-##0.75

4

【解析】利用导数的几何意义根据r的2次近似值的定义求解即可

【详解】由/(%)=三+十—1,得;•'(刈=3/+1,取/=0,/(0)=—1,尸(0)=1,

所以过点(0,-1)作曲线y=于(x)的切线4的斜率为1,

所以直线4的方程为>=尤-1,其与左轴交点的横坐标为1,即西=1,

因为/⑴=1"'⑴=4,所以过点(1,1)作曲线y=/(x)的切线I2的斜率为4,

33

所以直线4的方程为y=4x-3,其与x轴交点的横坐标为:，即々=:，

44

3

故答案为：4

4

16、14

【解析】利用双曲线的定义求解即可

22

【详解】由匕—L=l,得力=16,贝!Ja=4,

1664

因为点尸为。上一点，

所以归41Tp司=2a=8,

因为|P周=6,所以|6—|「司=2a=8,

解得|尸闾=14或|尸用=-2(舍去),

故答案为：14

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)e=2；

2

⑵①山―q=i；②定点有两个(2,0),(-1,0)

【解析】(1)由双曲线方程有"(c,—贵)、N(c,三)、A(-a,0),根据已知条件有。+。=匕，即可求离心率.

aaa

(2)①由题设有a+c=3,结合(1)求双曲线参数，写出双曲线方程即可；

②由题设可设/为％=切+2,服(%,%),"区,为)，联立双曲线方程结合韦达定理求%+%，%%，%+/，X1X2>

再由AM、4V的方程求P,。坐标，若〃(x,y)在P。为直径的圆上点，由PH.QH=0结合向量垂直的坐标表示

列方程，进而求出定点坐标.

【小问1详解】

22

由题设，若“(C,-幺h)，N(c,h幺)且4-4，0)，又△AAW为等腰直角三角形，

aa

A2°.

a+c=一，即2〃+QC-C=0,则2+e—/=0又e>l,可得e=2.

a

【小问2详解】

由题设，〃+c=3,由(1)有纭=3,贝!|〃=1,。=2,即人2=/一4=3,

2

①由上可知：双曲线方程为必—匕=1.

3

②由①知：砥2,0),A(T,0)且直线/的斜率不为0,设/为x=/ny+2,M(xl,yl),N(x2,y2),

联立直线与双曲线得：(3相2-1)/+12冲+9=0,

12m9n,...4

••2+%=」「yiy2=2_>则=m(％+%)+4=2,

J.J”cJrrIA.11L

.2c/、(3m2+4

••玉Z=加X%+2加(X+%)+4=2，

l-3m

二直线AM为丁="7(%+1)；直线AN为V=上7(%+1)；

玉+1x2+1

永'）,°。可备）'若在加为直径的圆上点，

肃匕）,即二04»一5）且「"6=°'

:.(x--)2+ly——[y--=0,

22(%1+1)2(X2+1)

令y=0,贝!I。」?+——-----——=0,

q"22(X]+1)2(々+1)

二5f,+4(;俄+D=("T+4(玉々：；[+D=°'BP(x4)2=r

.♦.x=2或x=-l,即过定点(2,0),(-1,0).

【点睛】关键点点睛：第二问的②，设直线为工=冲+2,联立直线与双曲线，应用韦达定理求%+%，%%，%+々，

%了2,进而根据A"、4V的方程求P,。坐标，再由圆的性质及向量垂直的坐标表示求定点坐标.

18、（1）证明见解析

⑵逅

3

【解析】（1）建立空间直角坐标系，进而求出平面5E尸的法向量;，然后证明线面平行；

（2）算出a=（2,0,0）在向量；方向上的投影，进而求得答案.

【小问1详解】

因为OE_L平面ABC。，DA.OCu平面ABC。，所以OEJ_ZM,DE±DC,因为ABC。是正方形，所以ZMJ_OC.以

。为坐标原点，日4,所,金所在方向分别为x，%z轴的正方向建立空间直角坐标系，则AQ,0,0）,C（0,2,0）,

H

所以彘=(—2,—2,2)，晶=(O,—2,1)，设平面8EF的法向量：=(x,y,z),因为晶=0,；.赤=0，所以一2工

-2j+2z=0,­2y+z=0,令y=L则;=(1，1,2),又因为就=(-2,2,0),所以:/=1x(—2)+lx2+2义0=0，

即Ad，而4。仁平面3岳下，所以AC〃平面3EF.

【小问2详解】

-2一遍[7

设点C到平面BE尸的距离为d,而。3=(2,0,0)，所以"曰[1=需=彳，所以点C到平面5E歹的距离为牛

19、(1)证明见解析(2)2

【解析】(1)依题意可得ACL3C,再由平面ABC,得到即可证明平面PAC；

(2)连接。0,可证创"/B4,即可得到平面ABC,为三棱锥M-ABC的高，再根据锥体的体积公

式计算可得；

【详解】(1)证明:因为A3是半圆。的直径，所以ACLBC.

因为出，平面ABC,BCu平面ABC,所以

又因为ACu平面PAC,PAu平面PAC,且ACcK4=A

所以BC,平面尸AC.

(2)解:因为NABC=3O°,AB=4,所以3c=2百，S谢=gABICsinSO。=2百.连接.因为。、M

分别是AB,P3的中点，所以〃44,。加=工24=百.又？平面ABC.所以平面ABC.因此ON为

2

C

【点睛】本题考查线面垂直的证明，锥体的体积的计算，属于中档题.

20、(1)4=3"T

(2)7；=(〃—l)x3"+l

【解析】(D根据已知条件求得数列｛4｝的公比彘由此求得为.

(2)利用错位相减求和法求得T„.

【小问1详解】

设等比数列的公比为心

由3(/+%)=%+%，可得4=3.

故数列｛为｝是以1为首项，3为公比的等比数列，

所以4=3力

【小问2详解】

由(1)得(2"—l)q=(2〃—1>