2022-2023学年浙江省宁波市海曙区九年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

2022-2023学年浙江省宁波市海曙区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.下列事件中，是必然事件的是（）

A.购买1张彩票，中奖

B.任意画一个三角形，其内角和是180。

C.随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数

D.射击运动员射击一次，命中靶心

2.将抛物线y=Q-1）2-3先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的新抛物线解析式是（）

A.y—（x—3）2—4B.y=（x+I）2—4C.y=（x+l）2—2D.y=（x—3）2—2

3.如图，点A、B、C、D、E在O。上，靛的度数为60。，则NB+ND的度数是（）

A.180°

B.120°

C.100°

D.150°

4.如图，在△ABC中，D、£分别是48、AC上的点，DE//BC,BE与CD相交

于凡则下列结论一定正确的是（）

.ADDE

A•丽=丽

口AD_AE

D.---=----

ABAC

厂DF_AE

'~FC='EC

nDFEF

\_).———

BFFC

5.如图，平面直角坐标系中，点C位于第一象限，点B位于第四象限，四边形

048C是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15。，则点2的纵坐标为

（）

A.—2

D-l

6.已知二次函数、=a/+b%+c（a00）的图象如图所示，当y>0时，x的取值

范围是（）

A.-1<%<2

B.%>2

C.%<—1

D.%<-1或%>2

7.如图，边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、£在格点上，过A、B、E三点

的圆交5C于点。，贝此AEO的正切值是（）

必

B.2

C-T

D-T

8.如图，扇形AOB圆心角为直角，。4=10,点C在⑪上，以。4,CA为邻边

构造口ACZJO,边C3交。8于点E,若。E=8,则图中两块阴影部分的面积和

为（）

A.IOTT—8

B.5TT—8

C.257r—64

D.507r—64

9.如图，将含有60。锐角的三角板△ABC绕60。的锐角顶点。逆时针旋

转一个角度到△ECD,若A3、CE相交于点忆AE=AF,则旋转角

是（）

A.45°

B.40°

C.35°

D.30°

10.如图，点/为△ABC的内心，连接A/并延长交△ABC的外接圆于点。，交8C于点

E,若4=2C。，则黑的值为（）

A.5

B.6

C.7

D.8

二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。

11.从3名男生和2名女生中任选1名学生参加志愿者服务，则选出的这名学生恰好为女生的概率是

12.若扇形的弧长为弓兀，圆心角为45。，则该扇形的半径为.

13.如图，在△48C与aADE中，/-ACB=AAED=90°,/.ABC=/.ADE,

连接8。、CE,若AC：BC=3：4,则8。：CE为.

14.已知点P（m,7i）在二次函数y="+4的图象上，则?n-几的最大值等于

15.如图，。。的半径为4,为。。的直径，^ABC=90°,直线CE与。。相

切于点。，交8A的延长线于点E,若4C=10,则AE的长是.

16.如图，已知NMON=120。，点P、A分别为射线。M、射线ON上的动点,

将射线PA绕点尸逆时针旋转30。交射线ON于点B,则空的最大值为.

三、解答题：本题共8小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题8分）

在科学实验复习备考中，王老师为本班学生准备了下面3个实验项目：A测量物质的密度；5实验室制取

二氧化碳；C.探究凸透镜成像.并准备了如图的三等分转盘，规定每名学生可转动一次转盘，并完成转盘停

止后指针所指向的实验项目（若指针停在等分线上，则重新转动转盘）.根据数学知识回答下列问题：

（1）请直接写出：小明同学转动一次转盘，正好选中自己熟悉的“A”实验的概率是；

（2）请你求出小明和小红两名同学各转动一次转盘，都没有选中“C”实验的概率（用树状图或列表法求解）.

18.（本小题8分）

如图1是一台多功能手机支架，图2是其侧面示意图，OE为地面，支架CO垂直地面，AB,8C可分别绕

点B,C转动,测量知BC=30on,CD=lOOcrn.当AB,8C转动到N2BC=75°,Z.BCD=120°,且A、

C、。三点共线时，求点A到地面的距离.

图1图2

19.(本小题8分)

如图，在6x6的正方形网格中，点A,B,C均在格点上，请按要求作图.

(1)在图1中画一个格点△力DE,使△力DE-A4BC.

(2)在图2中画一条格点线段8P,交AC于点Q,使CQ=24Q.

20.(本小题10分)

如图，抛物线为=ax2-2x+c与无轴交于4(-1,0)和B(3,0)两点.

(1)求此抛物线的解析式；

(2)过点A的直线为=nix与抛物线在第一象限交于点。，若点。的纵坐标为5,请直接写出当乃〈为

时，x的取值范围是.

21.(本小题10分)

如图，AB是O。的直径，AC是。。的弦，平分NC4B交。。于点。，过点。作。。的切线交A8

的延长线于点E,交AC的延长线于点F.

(1)求证：AF1EF；

(2)若CF=1,AC=2,AB=4,求BE的长.

22.(本小题10分)

某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售

量W(千克)与销售价穴元/千克)有如下关系：W=-2x+80,设这种产品每天的销售利润为y(元).

(1)求y与x之间的函数关系式.

(2)当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？

23.(本小题12分)

［基础巩固］

(1)如图1,在四边形A8C£＞中，对角线平分乙4BC,乙ADB=LDCB,求证：BD2=BA-BC；

［尝试应用］

(2)如图2,四边形ABCZ)为平行四边形，F在AD边上，力B=4F,点E在8A延长线上，连接ERBF、

CF,若乙EFB=ZDFC,BE=4,BF=5,求A。的长；

［拓展提高］

(3)如图3,在△力8C中，D是BC上一点，连接AD,点E、厂分别在A。、AC上，连接BE、CE、EF,若

DE=DC,乙BEC=LAEF,BE=18,EF=7,^=|；求桨的值.

BC3FC

图1图2图3

24.(本小题14分)

如图，AB为。。的弦，P是劣弧卷上的动点，尸。交AB于点C,交。。于点。，作PE12B,分别交

AB、于点E、F,交O。于点G,连结AG,GD,DB,CF.

(1)求证：AG=BD；

(2)当=乙4。。=30。时，求NGDB的大小；

(3)当CF〃OB时，①求证：DP平分乙GDB；

②若4G=4,tan/GPD=|,求。。的面积.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：4购买1张彩票会中奖是随机事件，因此选项A不符合题意；

员任意画一个三角形，其内角和是180。是必然事件，因此选项B符合题意；

C随意翻到一本书的某页，这页的页码可能是奇数，有可能是偶数，因此是随机事件，所以选项C不符合

题意；

。射击运动员射击一次，可能命中靶心，有可能不命中靶心，它是随机事件，因此选项。不符合题意；

故选：B.

根据必然事件、不可能事件，随机事件的意义，结合具体的问题情境进行判断即可.

本题考查必然事件、不可能事件，随机事件，理解必然事件、不可能事件，随机事件的意义是正确判断的

前提.

2.【答案】B

【解析】解：将抛物线y=(久-1)2-3先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的新抛物线解析

式为y=(%-1+2)2-3-1,

即y=(x+I)2-4,

故选：B.

根据左加右减，上加下减的平移规律求解即可.

本题考查了二次函数图象的平移规律，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键.

3.【答案】D

【解析】【分析】方5^0

本题考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质，作出辅助线构建圆内接四边形是解题的/)

关键.

连接48、DE,先求得乙4BE=N4DE=30。，根据圆内接四边形的性质得出乙4BE+NEBC+/ADC=

180°,即可求得NEBC+/.ADC=150°.

【解答】

解：连接AB、DE,贝=乙4。£\

晶的度数为60。，

.­./.ABE=^ADE=30°,

,点A、B、C、。在O。上，

••・四边形ABCD是圆内接四边形,

.­.AABC+^ADC=180°,

.­•乙ABE+乙EBC+AADC=180°,

•••Z.EBC+ZXDC=180°-乙ABE=180°-30°=150°.

故选：D.

4.【答案】B

【解析】解：••・DE〃BC,

■■■AADE^^ABC,

•.•喘=胎=需故A不正确，8正确，

AD/iCDC

•・•DE//BC,

•••△DEFs〉CBF,

故选：B.

根据DE〃BC,得LDEF^LCBF,再利用相似三角形对应边成比例即可.

本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键.

5.【答案】B

【解析】解：如图，连结08,作BDlx轴于点。，贝此。DB=90。,

••・四边形0A8C是边长为1的正方形,

oc=BC1,ZC=90",\、、、、

0B=V0C2+BC2=VI2+I2=V

|A

■■乙COB=ACB0=45°,乙COD=15°,

.­.乙DOB=40B-乙COD=45°-15°=30°,

...BD=1oB=1x/2

・・•点B的纵坐标为—争

故选:B.

连结。2,作BD1久轴于点，由。C=BC=LZC=90°,得。B=Vg+BC2=71,由NC0B=

45°,ZC0D=15°,得NDOB=30。，贝”。=苧，则点8的纵坐标为―苧，于是得到问题的答案.

此题重点考查图形与坐标、正方形的性质、直角三角形中30。角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理

等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键.

6.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解

答.

根据函数图象中的数据和二次函数的性质，可以写出当y>0时，x的取值范围，本题得以解决.

【解答】

解：由图象可知，

当y>0时，尤的取值范围是x<—1或x>2,

故选：D.

7.【答案】A

【解析】解：连接

•••AD1BC,。是中点，

1

•••0D==1,

0D=0A=0E=0D,

.•.点A、D、B、E在以。为圆心，1为半径的同一个圆上，

/.ABC=/-AED,

tanZ-AED=tanZ-ABD=

故选：A.

连接证明点A、。、B、E在以。为圆心，1为半径的同一个圆上，把求乙4ED的正切值转化为求

乙4BC的正切值.

本题考查了解直角三角形，掌握四点共圆的证明及三角函数的应用是解题关键，其中连接。证明点

A、D、B、E在以。为圆心，1为半径的同一个圆上是本题的难点.

8.【答案】C

【解析】解：连接0C.

■.•四边形OAC。是平行四边形，

OA//CD,

：./-OEC+/-EOA=180",

•••4AOB=90°,

•••乙OEC=90°,

EC=VOC2-OF2=V102-82=6,

907rxi()2i

S阴=S扇形AOB—S梯形OECA=360x(6+10)x8=257r-64.

故选：C.

连接。C.利用勾股定理求出EC,根据=S扇形40B-S战彩40EC,计算即可.

本题考查扇形的面积的计算，平行四边形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握割补法求阴影部分

的面积.

9.【答案】B

【解析】解：设旋转角=戊，

・•・直角三角板A8C绕直角顶点C逆时针旋转角度a,得到ADCE,

Z.ACF—a,CA—CE,

・•・/,CAE=/.CEA=其180。-a)=90。一匆，

•・,AE=AF,

•••Z-AEF=Z-AFE,

Z.AFE=a+Z.CAF=a+30°,

a+30°=90。一如

••・a=40°,

故选：B.

设旋转角=心先根据旋转的性质得CA=CE,再利用三角形内角和得到NC4E=NCEA=90。-，a，由等

腰三角形的性质可得出乙4EF=乙4FE,根据三角形外角的性质可得出答案.

本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;

旋转前、后的图形全等.也考查了等腰三角形的性质.

10.【答案】D

【解析】解：如图，连接

•・・/是△ABC的内心，

Z.IAC=^IAB,〃CA=ACB,

•••乙DIC=ZMC+/LICA,乙DCI=乙BCD+乙ICB,

•••Z-DIC=Z.DCIf

・•.DI=DC,

vAI=2CD,

AI=2DI,AD=3m

乙BCD=乙BAD=Z-CAI,乙D=乙D,

CDEs>ADC,

.2^_££_1

''CD~AD~39

1

DE=3CD,

AE=AD-DE=3CD-"D=|C£),

AE8CD3

丽=~3~XCD=8'

故选：D.

根据三角形的内心性质证明△CDESAADC,得第=累=4，所以DE=〈CD,然后表示出AE,进而可以

解决问题.

本题考查三角形的内心、三角形的外接圆、相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用

辅助线，构造相似三角形解决问题.

11.【答案】I

【解析】解：一共有5种结果，任选1名学生参加志愿者服务，则选出的这名学生恰好为女生的概率是|.

故答案为：|.

根据题意，一共有5种结果，任选1名选出的这名学生恰好为女生的概率是|.

本题考查概率，解题的关键在于掌握概率公式.

12.【答案】3

【解析】解：设扇形的半径为r,根据扇形公式得：察=,兀，

loU4

解得：r=3.

故答案为：3.

根据弧长的公式直接计算即可.

考查了弧长的计算，解题的关键是牢记弧长的公式，难度不大.

13.【答案】5：3

【解析】解：乙ACB=AAED=90。，^ABC=AADE,

■.KABCLADE,

ACAP

/.^BAC=ADAE,株，

ABAD

•・•Z.BAC+Z-BAE=Z-DAE+Z-BAE,

•••Z-CAE=Z-BAD,

ACAE

VAB=ADf

：^ACE^LABD,

'•~CE=ACf

vAC：BC=3：4,AACB=^AED=90°,

则设AC=3%,BC=4%,

在R%ABC中，AB2=AC2+BC2,

AB=y/AC2+BC2=J(3%)2+(4%)2=5%,

AC：BC：AB=3：4：5,

•••BD：CE=5：3,

故答案为：5：3.

根据相似三角形的判定得出利用相似三角形的性质得出=进而证明4

ACEs&ABD,利用相似三角形的性质和勾股定理进行解答即可.

本题考查了相似三角形的判定和性质和勾股定理的运用，解决本题的关键是证明△ABCSAADE.

14.【答案】—字

4

【解析】解：•・,点P(m,几)在抛物线y=%2+4上，

••・n=m2+4,

115

•••m—n=m—(m2+4)=—m2+m—4=—(m--)2—彳,

.••当m=:时,m-几取得最大值，m_n=一?.

24

故答案为：-当

根据题意，可以得到机和"的关系，然后将相、〃作差，利用二次函数的性质，即可得到爪-九的最大

值，本题得以解决.

本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的

性质解答.

15.【答案】y

【解析】解：连接如图，

•.■直线CE与。。相切于点D,AABC=90。,

0D-LCE,CD-BC-VAC^—AB^-6,

・•.Z.0DE=90°,

设AE=x,贝lj0E=4+%,BE=8+%,

在R%ODE中，ED=J(4+%)2-42,

在Rt△BCE中，EC=J(8+x)2+62,

J(4+%)2-42+6=V(8+%)2+62,

32日n.j-,32

•••x=―,即ZE=—,

故答案为：y.

连接。£),如图，根据切线的性质得NODE=90。，在RtAODE中利用正弦的定义可求出NE=30。，接着

再在RtABCE中利用含30度的直角三角形三边的关系求出BC,然后利用勾股定理计算AC的长.

本题考查了切线的性质，解题的关键是掌握圆的切线垂直于经过切点的半径.

16.【答案】竽—1

【解析】解：以PB为底作等腰ABDP且PD=BD,过B作射线尸。于

H,过。作。CJ.P。于C,

•・・将射线PA绕点尸逆时针旋转30。交射线ON于点B,

・•・乙BPA=乙PBD=30°,

・•・乙BDP=120°,(BDH=60°,

・•・点尸，O,D,8在以点E为圆心的圆上，当。E1PO时，OC的值最大，

•・•Z.OCA=乙BHA=90°,^CAO=乙BAH,

AOCs匕ABH,

OA_PC

•••AB=~BHf

v^MON=120°,Z-BDP=120°,

・•・(PEB=120°,

・••乙PEB=乙EBP=30°,

•・•乙DPB=30°,

・•・乙EPC=60°,

・•・乙EPC=60°,

•••OC1PD,

・•・PD=2PC,

；・PE=0焉=2PC=PD,EC=PC,tan4EPC=OPC=空产D'，

cosZ.EPC2

OC=OE-EC=PD-与PD1

•••4BDH=60°,

•••BH=BD-sin乙BDH=^-BD=号PD\

.oc_PD翼PD'_2/3

"'BH~苧PD，-L

二黑的最大值为婴-1;

Ab3

故答案为：手—1.

以PB为底作等腰ABOP且PD=B。，过8作BH，射线尸。于X,过。作。C1P。于C,根据旋转的性质

得到N8P4=4PBD=30°,求得乙BDP=120°,4BDH=60",推出点P,O,D,8在以点E为圆心的圆

上，当OE1PD时，OC的值最大，根据相似三角形的性质得到空=器，根据等腰三角形的性质得到

ADDri

乙PEB=4EBP=30°,求得PD=2PC,得到。C=OE-EC=PD-苧PD'，求得BH=BD•sin4BDH=

争D*PD:于是得到结论.

本题考查了旋转的性质，解直角三角形，垂径定理，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题

的关键.

17.【答案】解:(1)最

(2)画树状图如下：

共有9种等可能的结果，其中小明和小红两名同学各转动一次转盘，都没有选中“C”实验的结果有4

种，

二小明和小红两名同学各转动一次转盘，都没有选中“C”实验的概率为/

【解析】解：(1)小明同学转动一次转盘，正好选中自己熟悉的“A”实验的概率是，

故答案为：

(2)见答案.

(1)直接由概率公式求解即可；

(2)画树状图，共有9种等可能的结果，其中小明和小红两名同学各转动一次转盘，都没有选中“C”实验

的结果有4种，再由概率公式求解即可.

此题考查的是用树状图法求概率.树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以

上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验.用到的知识点为：概率=所求情况数与总

情况数之比.

18.【答案】解：如图2,过3作于〃,

图2

•・•乙BCD=120°,

・••乙BCA=60°,

•・•(ABC=75°,

.•・乙4=180°-AABC-乙ACB=45°,

在Rt△8cH中，•・•BC=30cm,MBH=30°,

，CH=^BC=15(cm),BH=乌BC=15V3(cm)»

在RtAABH中，vZX=45°,

・•・△4BH是等腰直角三角形，

AH=BH=15<3cm,

•••点A到地面的距离为+CH+CD=15AA3+15+100=(115+15<3)cm.

【解析】如图2,过8作BH147于“，根据平角的定义得到48C4=60。，根据三角形的内角和定理得到

4=180°-UBC-Z.ACB=45。，解直角三角形即可得到结论.

本题考查了解直角三角形的应用，正确地作出辅助线是解题的关键.

19.【答案】解：(1)如图1所示，AADE即为所求;

(2)如图2所示，线段8尸即为所求.

【解析】本题主要考查作图-相似变换，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质.

(1)根据相似三角形的判定，并结合网格求解即可；

(2)根据相似三角形的判定与性质，并结合网格特点求解即可.

20.【答案】x>4或x<0

【解析】解：(1)由题意设抛物线的解析式为：y=a(x+1)(%-3)=ax2-2ax-3a,

ax2—2x+c=ax2—2ax—3a,

a=1,c=-3,

••・抛物线的解析式为y=X2-2%-3；

(2)当y=5时，x2—2x—3=5,解得：x=—2或x=4,

•••。在第一象限，

0(4,5),

由图象得：当x>4或x<0时，y2<yi>

故答案为：x>4或久<0.

(1)先设抛物线的交点式，再列方程求解；

(2)先求出。的坐标，再根据图象求解.

本题考查了二次函数和不等式的关系，掌握数形结合思想是解题的关键.

21.【答案】(1)证明：连接0。，如图:

•・・/o平分“m

Z.FAD=Z-0AD,

0A=0D,

・•・Z,0AD=4ODA,

•••Z-FAD=乙ODA,

・•.0D//AF,

•••石尸是。。的切线，。。是O。的半径，

•••0D1EF,

・•・AF1EF；

(2)1?：-0DLEF,

又AF1EF,

AEF^LODE,

AF_AE

••丽-5F

设BE=%,

.1+2_4+x

--=------«

22+x

x-2.

答：BE的长为2.

【解析】(1)连接由平分NC4B,0A=0D,可得。而EF是。。的切线，。。是。。的半

径，WOD1EF,即得4F1EF；

(2)证明△AEFS^ODE,进而列比例式求出BE的长.

本题考查圆的综合应用，涉及相似三角形判定与性质，锐角三角函数，圆的切线等知识，解题的关键是作

辅助线，构造相似三角形解决问题.

22.【答案】解：(l)y=(X—20)(-2x+80)

=-7.x2+120x-1600；

(2)方法一：

y=-2x2+120x—1600

=-2(x2-60x)-1600

=-2(x-30)2+200；

.•.当x=30时，丫泰大二？。。；

方法二：一5=30,处±=200.

・•・当x=30时，y表大=200.

【解析】(1)用商品的利润乘每天的销售量得出每天的销售利润；

(2)由(1)的函数解析式直接配方求出最值或利用公式法即可；

此题主要考查了二次函数的应用，关键是根据题目中的数量关系列出式子，求出函数关系式.

23.【答案】(1)证明：・•・BD平分N4BC,

图1

Z.ABD=Z.DBC,

Z.ADB=zJDCB,

•••△ABD^LDBC,

BD_BA

'BC=BDf

・•.BD2=BA-BC.

(2)解：•・・四边形ABC。为平行四边形,

:・AD"BC,AD=BC,

乙AFB=^FBC,乙DFC=LFCB,

E

AD

BC

图2

AB=AF,

・•.Z,AFB=4ABF,

・•・乙ABF=乙FBC,

Z.EFB=乙DFC,

•••Z.EFB=乙FCB,

EBFs^FBC,

.BE_BF

••—,

BFBC

BE—4,BF=5,

.4_5

S=~BC9

解得8c=当，

4

25

AD=~4r-.

(3)解：过点。作CM〃ZD,交EF的延长线于点M,

图3

・••4EMC=±AEF,乙ECM=^DEC,

乙BEC=Z.AEF,

•••乙BEC=Z.EMC；

•••DE=DC,

•••Z-DCE=乙DEC,

••・(BCE=乙ECM,

BCEs^ECM,

.EM_EC_2

"~BE~~BC~3"

•••BE=18,EF=7,

2

EM=|x18=12,FM=EM-EF=12-7=5,

•••CM//AD,

.AF_EF_7

FC=FM=5'

【解析】(1)证明△ABDsADBC即可.

(2)证明△EBFs&FBC即可.

(3)过点。作。“〃4£),交所的延长线于点M,证明ABCESAECM,再利用CM〃4D,得到皆=篙=(

本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性

质，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键.

24.【答案