2023年辽宁省葫芦岛市普通高校对口单招数学自考模拟考试(含答案)

2023年辽宁省葫芦岛市普通高校对口单招

数学自考模拟考试(含答案)

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题(10题)

12

设/(x)=-7J=,则/(Q=

√3x-l3

1.

A.2B.1C.1/2

2.过点A(2,1),B(3,2)直线方程为()

A.x+y-l=0B.x-y-l=OC.x+y+l=OD.x-y+l=0

3.以点P(2,0),Q(0,4)为直径的两个端点的圆的方程是()

A.(x-l)2+(y-2)2=5

B.(x-l)2+y2=5

C.(x+l)2+y2=25

D.(x+l)2+y=5

4.已知sin2α<0,且COSa>0,则α的终边在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

5.某中学有高中生3500人，初中生1500人.为了解学生的学习情况，

用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高

中生中抽取70人，则n为O

A.100B.150C.200D.250

6.不等式-2χ22+x+3<0的解集是()

A.{x∣x<-1}B.{x∣x>3∕2}C.{x∣-1<x<3∕2}D.{x∣x<-1或x>3∕2}

7."对任意X∈R,都有χ2≥(Γ的否定为()

A.存在x°∈R,使得x02<0

B.对任意x∈R,都有χ2<0

C.存在x°∈R,使得x02K)

D.不存在x∈R,使得χ2<0

8.己知H2}行《1,2,3,4},则这样的集合P有()个数

A.3B.2C.4D.5

直线y=x+5的倾斜角为

9.

π

A.

π

T

B.

π

二N

10.若f(x)=logax(a>0且a≠l)的图像与g(x)=IOgbX(b>0,

b≠l)的关于X轴对称，则下列正确的是O

A.a>bB.a=bC.a<bD.AB=1

二、填空题(10题)

ɪɪ已知〈Nx)的第4项为常数项.则“为

12.已知i为虚数单位，则∣3+2i∣=.

13.双曲线χ2∕4-y2∕3=l的离心率为—.

14.若事件A与事件A互为对立事件，则P(A)+P(λ)=.

15.某机电班共有50名学生，任选一人是男生的概率为0.4,则这个班的

男生共有名。

16.圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交于两点A(0,-4),B(0,

2),则圆C的方程为.

]7等差数列中，己知公差为3,且4-"，+%则s.

/T-.5π5π

√3sm------cos—

18.1212的值是。

iω(3a-2b)的展开式的倒数第4项的二项式系数是

若方程(l-a)x+y=a-4表示焦点在X轴上

2θ的双曲线，则参数a的取值范围____________

三、计算题(5题)

21.已知函数y=抬COS2x+3sin2x,XWR求:

(1)函数的值域;

(2)函数的最小正周期。

1

f(x)+3f(-)=X.

22.已知函数f(x)的定义域为{x∣x≠O},且满足X

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)判断函数f(x)的奇偶性，并简单说明理由.

己知函f(x)=Ioga---，(a>0且a≠)

23.l+x

(1)求函数f(x)的定义域；

(2)判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由。

24.甲、乙两人进行投篮训练，己知甲投球命中的概率是1/2,乙投球

命中的概率是3/5,且两人投球命中与否相互之间没有影响.

(1)若两人各投球1次，求恰有1人命中的概率；

(2)若两人各投球2次，求这4次投球中至少有1次命中的概率.

25.己知｛aj为等差数列,其前n项和为Sn,若a3=6,S3=12,求公差d.

四、简答题(10题)

26.等比数列｛a11｝的前n项和Sn,已知S】，S3,S2成等差数列

(1)求数列｛aj的公比q

(2)当ai—a3=3时，求Sn

27.化简a2sin(-13500)+b2tan4050-(a-b)2cot7650-2abcos(-10800)

∏-stnaI-COSa

28.已知a是第二象限内的角，简化V】+sma+8m"l+coSa

29.已知双曲线C：χ∙厂y庐=1(—的右焦点为玛(2Q),且点明到C

的一条渐近线的距离为人.

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)设P为双曲线C上一点，若IPFII=,求点P到C的左焦点4的距

离.

30.求过点P(2,3)且被两条直线,】：3x+4y-7=0,A：3x+4y+8=0所截

得的线段长为3、历的直线方程。

f(x)=」在(-.0)

31.证明X上是增函数

32.三个数a,b,C成等差数列，公差为3,又a,b+l,c+6成等比数

列，求a,b,Co

力T+.

tan(-÷α^)=2矛Sm2a-2cos2a,,

33.已知4的值

34.在抛物线y2=12x上有一弦(两端点在抛物线上的线段)被点M

(1,2)平分.

(1)求这条弦所在的直线方程；

(2)求这条弦的长度.

35.已知集合尸=Q=K产"；若尸=0求X,y的值

五、解答题(10题)

36.

已知函数f(X)=Cix-Inx,g(X)=e"+3x,其中Λ∈R.

(I)求/O)的极值；

(∏］若存在区间M,使/(A和g(A在区间用上具有相同的单调性，求。的取

值X围.

37.

已知二次函数f(x)=ax∙⅛x∙⅛的图象过两点A(-1，0)和B(5.0).且其顶点的纵坐

标为-9，求

①a、b`c的值

②若f(x)不小于7，求对应X的取值范围。

38.如图，在正方体ABCD-AIBlCIDl中，E,F分别为DDi,CG的中点.

求证：

(l)AC±BDι;

(2)AE〃平面BFD∣.

39.某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对某“著

名品牌”A系列进行市场销售量调研，通过对该品牌的A系列一个阶段

的调研得知，发现A系列每日的销售量f(x)(单位：千克)与销售价格

x(元/千克)近似满足关系式f(x)=a∕x-4+10(l-7)2其中4VχV7,a为常’

数.已知销售价格为6元/千克时，每日可售出A系列15千克.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若A系列的成本为4元/千克，试确定销售价格X的值，使该商场每

日销售A系列所获得的利润最大.

40.

已知，是等差数列｛q,;的前〃项和，且4=」.SS=I5.

(1)求4；(2)令以=2il∙("=l2,3,L)，计算々也和4,由此推则数列秒“｝

是等差数列还是等比数列，证明你的结论.

41.

已知函数ʃ(ʌ)=sin.Ja∞s.v的一个零点是ɪ.

4

(I)XX数。的值；

(H)设8(工)=/(、)./(_1)+2/5访.1<05工，求g(x)的单调递增区间.

42.已知数列｛a∏｝是等差数列，且a2=3,a4÷as+a6=27

(1)求通项公式an

(2)若bn=a2n,求数列｛bn｝的前n项和Tn.

43.

一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示,

在正方体中，设BC的中点为M,G”的中点为N。

(I)请将字母标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)

(II)证明：直线MN//平面BEW

(III)求二面角A-EG-M余弦值

44.

*。匐，在体A8CZ)-A8∣C]R中，£是技

CC的中点.

(IJM阴：ACln卒而BDEr∏J注阴：ACy1BD.

45.已知等差数列｛an｝的前72项和为Sn,a5=8,S3=6.

(1)求数列｛aj的通项公式；

(2)若数列｛aj的前k项和Sk=72,求k的值.

六、单选题(0题)

46.5人排成一排，甲必须在乙之后的排法是()

A.120B.60C.24D.12

参考答案

1.B

2.B

直线的两点式方程.点代入验证方程.

3.A

圆的方程.圆心为((2+0)/2,(0+4)/2)即(1,2),

2

r=-LPQ=I.√(2-0)-+(0-4)=√5,IMI方

程为(Z-DZ+(》-2)?=5.

4.D

三角函数值的符号∙.∙sin2α=2sinα.cosα<0,又COSa>0,.,.sina<O,

a的终边在第四象限，

5.A

分层抽样方法.样本抽取比70/3500=1/50例为该校总人数为

1500+3500=5000,P∙∣J=n∕5000=l∕50,Λn=100.

6.D

不等式的计算∙-2χ2+x+3<0,2χ2-x-3>0即(2x-3)(x+l)>0,x>3∕2或X

<-1.

7.A

命题的定义.根据否定命题的定义可知命题的否定为：存在xo∈R使得

Xo2<0,

8.C

由题意，尸为口，2}、{1,2,3},{1}2

,4},{1}2,3,4),

故答案为：4.

9.A

10.D

因为它们关于X轴对称，所以Q或6其中一个大

于。小于1,另一个大于I,并且它们的乘积为

1,即它们互为倒数，这样它们的图像才会关

于X轴对称。

11.7

12.

・：•复数模的计算∙∣3+2i∣=∙-'1；L

α1=4,6i=3,.,.c2=a*+6,=7,Λc=√7,e=-

√7a°

13.e=2双曲线的定义.因为F

14.1

有对立事件的性质可知，p(m=1一P("),P(力)+p(m=1

15.20

男生人数为0.4x50=20人

16.(x-2)2+(y+3)2=5圆的方程.圆心在AB中垂线y=-3上又在2x-y-7=0

上,所以C(2,-3),CA=航,所以圆C的方程为(x-2l+(y+3)2=5

17.33

18.

BS-cos患=2s讥(普一^)=2sιnɪ=∕2

n综上所述，答案：也

19.56

20.1<a<4

21.

:解：ʃ=ʌ/ɜcos2x+3sin2x

=2百(；COS2x+理sin2x)

=2>∕3(sin—cos2x+cos-sin2x)

66

=2>∕3sin(2x÷-^)

(1)函数的值域为[一2百,20].

(2)函数的最小正周期为T=—=7r.

2

22.

(1)依题意有

/(x)+3/(1)=x

X

∕d)+3∕(x)J

XX

解方程组可得：

3-x2

∕ω=

8x

(2)函数/(x)为奇函数

∙.∙函数/(X)的定义域为｛XIXH0)关于原点对称,

3-(r)23-x2

=-/(χ)

8(rSx

・・・函数/(x)为奇函数

23.

1—X

解：⑴由题意可知：——>0,解得：-1<Λ-<1,

1+x

：.函数/(X)的定义域为Xe(T,1)

(2)函数/(x)是奇函数，理由如下:

f,、I-(T)l+χI-X

/S)=I1og7--=1Iog--=-I1og--=/(X)，

al+(-x)0I-Xfl1+x

函数/(x)为奇函数

24.

解I记甲投球命中为事件A.甲投球未命中为事件N：乙投球命中为事件B,乙投球未命中为事件6・则:

1—13—2

P(G=Q；P(/1)=Q；P(B)=FP(S)=W

(1)记两人各投球I次,恰有I人命中为事件

—_12131

P(C)=PG4)∙P(5)+P(4)∙P(B)=QXg+QXg=Q

(2)记两人各投球2次4次投球中至少有1次命中为货件D，则.两人各投球2次，4次投球中全未命中为事

件万

-----.1122.124

P(D)=I-P(D)=I-P(Zl).P(∕l)∙P(β).P(B)=l--x-×-×-=l--=-

25.

解:因为a3=6S=12,所以S3=12=3(4+小)=3(〉+6)

22

解得aι=2,d3=6=aι+2d=2+2d,解得d=2

26.

(1)由已知得

2

αl+(al+aq)=2(a1+aκq+αl⅛)

.β.aq2+ʧ=Og=_Lg=0()

2

(2)al-ɑ,(-ɪ)=3.∙.al=4

叩-中81

SLKr"V

27.原式=α，侬-4X3600+90fl)+6atan(360o+45'0-(α-⅛)acot(2×36。°+450)

-2abcos(-3x3600+45°)-2abcos(-3×360σ)

=αasin90。+/tan450-(α-b)acot45。-2abCoSO

=α1+b-(α-bp-2ab=0

28.

(I-SilIaY(1-CoSa)

解:原式=cos«---------------------------0I

\(1÷Sina)(I-Sina))(1+cos[)(1-CoS«)

=COSa∙LV吧÷sinα∙—。是第二象限角

IcosaIISinal

29.(1);双曲线C的右焦点为Fl(2,0),Λc=2

2

II.J2

又点Fl到Cl的一条渐近线的距离为应,,"+了,即以

0=√2

C

解得b=,万

^=σa-ba=激双曲线C的标准方程为二=1

22

(2)由双曲线的定义得IPFI卜仔矶=2夜

..∣PFj∣-√2∣=2^,解得照|=%反

故点阕C的左焦点Fm距离为3企

30.x-7y+19=0或7x+y-17=0

31.证明：任取且X1<X2

/(⅞)=-^√(⅞)-∕(¾)=-^+-!-=^ΞΔ>O

.,.XA⅞再再Xa

即/。2)>/(砧

e(-∞,0)J√(x)=-^

.∙.X在是增函数

α≡6-3

<c=6÷3

32.由已知得：［s+D2=α(c+6)

。二4

<⅛=7

由上可解得L=1°

33.

,Æ、1÷tanaʌ

tan(—f-a)=---------=2

4l-tanα

1.1

tana≡-,sɪna=-CoSa

.∙.33

`3c4

sm2a=-,cos2a=-

.∙.55

则Sm2a-2cos2a=-↑

34.V(1)这条弦与抛物线两交点4孙H)B(%M).∙.H=12x1*=12々

•••(必-必)(必+%)=12(覆-七)•••弦的中点为Md,2)

V.-V,12126CN.、

•β・—一"—=-----==一=y-2=2(x-1)

XI-X2Ji+yi2凡2

.∙.弦所在的直线方程为3χ-y-l=0

(2)=⑵得Gx-D2-IZx=OΛ9xz-18x+l=0

3x-j-1=O

；•弦长/=√l+9^4-4×^=√lδXʒɪ=ʒɪ

35.

解；,・"=Q

1=χ2fl=xy

Λ(1)√或⑵<2

J=盯Iy=X

∕∙Λ=-1>>,=O

36.

〔I〕解：/(X)的定义域为(O,+8),

_1ClX-1

且/'(K)="——=-------.

XX

①当α≤()时,∕,(.v)<O,故/(x)在(0,+oc)上单调递减.

从而/(x)没有极大值，也没有极小值.

②当”>0时，令/")=0,得X=L.

a

/(X)和/'(X)的情况如下：

"T

(L+)

X(0,-)aa

a

7υ0

+

云

Z

故/(X)的单调减区间为(0」)；单调增区间为J,+8).

〔口〕解：g(x)的定义域为R，且g'(x)="e"+3.

③当α>°时,显然g(D>O,从而g(-D在R上单调递增.

由〔I〕得，此时/W在J,+8)上单调递增，符合题意.

a

④当α=0时，g(x)在R上单调递增，/(X)在(0.+8)上单调递减，不合题意.

分

⑤当“<0时f令g，(X)=O,得/=Ln(A).

aa

g(R和g'(κ)的情况如下表：

(—00t-V)%(X,+。

X0(I

6"

+

Z

当一3"<0时，x*0,此时g(x)在(.％,+oo)上单调递增，由于/")在

(0.+8)上单调递减，不合题意.

当。<一3时，一%>0,此时gS)在(-co,%)上单调递减，由于/O)在(O∙+oc)

上单调递减，符合题意.

综上，”的取值X围是(re，-3)[J(°，”).

37.

①依题意，图象的顶点为(2,-9)

设这二次函数的解析式为f(x)=a(χ-2)-9∙

由于其图像过点A(-1.0)

a(-l-2)-9=0

解得李1

二这二次函数为f(x)=(x-2)-9

即f(x)=x-4x-5

∙,∙arl,b=_4,c=-5,'

②依题意，f(x)≥7

即X-4χ-5≥7

X-4χ-12≥0

(x-6)(x+2)≥0

∙・∙x=≤-2或x36■

38.(1)连接BD,由DID_L平面ABCDTDID_LAC又BD_LAC,

BD∩DιD=D,BD∣,BD平面BDDLAC_L平面BDDi,又因为BDI包含

于平面BDD∣→AC±BD∣.

(2)连接EF,因为E,F分别为DDι,CG的中点，所以EF//DC,且

EF=DC,又DC//AB,且EF=AB所以四边形EFBA是平行四边形，所

以AE//BF,又因为AE不包含平面BFD∣,BF包含于平面BFD],所以

AE〃平面BFDi

39.(1)由题意可知,当x=6时,f(x)=15,即a∕2+10=15,解得a=10,所

以f(x)=10f(x-4)++10(x-7)2.

(2)设该商场每日销售A系列所获得的利润为h(x),h(x)=(x-4)[10∕x-

4+10(x-7)2]=lOx3-180x2+1050x-l950(4<x<7),h(x)=30x2-360x+1050,令

h(x)=30χ2-360x+1050=0,得x=5或x=7(舍去)，所以当4<χV5时，

h(x)>O,h(x)在(4,5]为增函数;当5<*<7,h(x)<O,11。)在[5,7)为减函

数，故当x=5时，函数h(x)在区间(4,7)内有极大值点，也是最大值

点，即x=5时函数h(x)取得最大值50.所以当销售价格为5元/千克时,

A系列每日所获得的利润最大.

40.

(D设数列｛a｝的公差为d，那么5a+：•5∙4d=15.

把a>l代久上式，得d=2.

因此'a=-l+2(n-l)=2n-3.

(2)根据/>==2"，，得b=w，b.=2»b=8.

由此推测｛b｝是等比数列.

证明如下：

由(1)得，a-a=2.斫以室=2%"f=2二=4(常数),

bn

因此数列｛b｝是等比数列.

41.

〔I〕依题意，得/¢)=0,

4

.ππ√2√2i∕

gπ∏πsin-----∏cos—=---------------=0

4422'

解得。=1.

(∏]由〔I〕得/(x)=Sinx-COSX.

g(X)=/(-V)∙/(-V)+2√3sinXCOS.v

=(sin.v-cos.v)(-sinɪ-cos.v)+sin2.v

=(cos2.v_sin`ɪ)+6Sin2.v

=cos2.r+0sin2.v

=2sin(2x+-).

6

由2a∕≤2x+V≤2E+5,

彳导*几一：≤XWAJI+:,k∈Z.

36

所以g(x)的单调递增区间为达兀-马,a+N],k∈z.

36

42.

设数列｛a.｝的公差为d∙依鹿意得

,

(l)."al+βj+α*=27*.*.2αs÷α4=27.即3a^

β27*∙*∙β$=9,又*∙ut≡≡3♦

a=αI+44-9

i解得故α.

a1=αI÷d"=3d=2

n(n-IW=≡1+(”-1)×2=2n—］即4.=2«—1.

(2)ill(I)知打.=uι.—4M—1.*.T.=b∖+6：÷

...4-6.-4×1-1+4X2-1+4×3-1÷4×

Λ-1≡4(1÷24-∙∙∙+Λ)-π=≡2Λ(l+n)-n

=2n'÷n故Λb.∖的前n项和T.=2,J÷n.

43.

(I)如图

(II)连接BI),取8。的中点0,连接MQ

因为M`。为线段4C、8。中点，所以MQHCDHGll且MQ=:?Gll

又因N为GH中点，所以NH=-GH

ɔ

得到NH=MQ且NHuMQ

所以四边形QMN〃为£7

得到JQH/IMN

又因为。〃U平面8/)，

所以MNU平面BDH(得证)

(Ill)连接AC,EC；,过点M作MK_LΛC,垂足在ΛC±,