2023年中考九年级数学提高练习-四边形动点问题

2023年中考九年级数学高频考点拔高训练-四边形动点问题

1.如图，矩形4BCD中，AB=2,4。=4,动点E在边BC上，与点B、C不重合，过点A

作DE的垂线，交直线C。于点F.设。尸=%,EC=y.

(1)求y关于X的函数关系式，并写出X的取值范围.

(2)若点F在线段CD±,当CF=I时，求EC的长.

(3)若直线AF与线段BC延长线交于点G,当ΔDBE与ΔDFG相似时，求DF的长.

2.将一个平行四边形纸片ABCD放置在平面直角坐标系中，O为原点，点4(一2,0),点B(l,0),

点D在y轴正半轴上，∆DAB=60°.

图①

(I)如图①，求点D的坐标;

3.如图，在矩形ABCD中，点E是AD上的一个动点，连接BE,作点A关于BE的对称点

F,且点F落在矩形ABCD的内部，连结AF,BF,EF,过点F作GFIA尸交AD于

BB

3)1B2

(1)求证：AE=GE；

(2)如图2,当点F落在AC上时，用含n的代数式表示器的值；

(3)当AD=4AB,且4尸GC=90。时，求n的值.

4.在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=12cm,E是AB边上一动点，以ICm/s的速度从点B出发，

到A停止运动；F是BC边上一动点，以2cm∕s的速度从点B出发，到点C停止运动.设动点运动

(2)当△DEF是直角三角形时，求ADEF的面积.

5.综合与实践

【问题背景】

如图1,平行四边形ABCD中，ZB=60o,AB=6,AD=8.点E、G分别是AD和DC边的中

点，过点E、G分别作DC和AD的平行线，两线交于点F,显然，四边形DEFG是平行四边形.

【独立思考】

(I)线段AE和线段CG的数量关系

是：•

(2)将平行四边形DEFG绕点D逆时针旋转，当DE落在DC边上时，如图2,连接AE和

CG.

①求AE的长；

②猜想AE与CG有怎样的数量关系，并证明你的猜想；

(3)【问题解决】

将平行四边形DEFG继续绕点D逆时针旋转，当A,E,F三点在同一直线上时(如图3),AE

与CG交于点P,请直接写出线段CG的长和NAPC的度数.

6.如图，在平面直角坐标系中，点A(遍，0),B(36，2),C(0,2).动点D以每秒1个

单位的速度从点O出发沿OC向终点C运动，同时动点E以每秒2个单位的速度从点A出发沿AB

向终点B运动.过点E作EFLAB,交BC于点F,连接DA、DF.设运动时间为t秒.

(1)求NABC的度数；

(2)当t为何值时，AB〃DF；

(3)设四边形AEFD的面积为S∙①求S关于t的函数关系式;

②若一抛物线y=-χ2+mx经过动点E,当S<2√3时，求m的取值范围(写出答案即可).

7.如图，在矩形ABC。中，AD=2√5，AB=4√5，DWLAC于点M,在对角线AC上取一点

N,使得2CN=3AM,连接ON并延长交BC于点E,尸是AB上一点，连接EF,MF.当点P从点E

匀速运动到点尸时，点Q恰好从点M匀速运动到点N.

(1)求AM,CE的长.

(2)EF//AC,i己EP=X,AQ=y.

①求y关于X的函数表达式.

②连接P。，当直线PQ平行于四边形。EFM的一边时，求所有满足条件的X的值.

(3)在运动过程中，当直线PQ同时经过点8和Z)时，记点。的运动速度为w,记点P的运动

速度为V2,求富的值.

8.如图

图1图3

（1）（学习心得）

于彤同学在学习完"圆''这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解

决，可以使问题变得非常容易.

例如：如图1,在AABC中，AB=AC,ZBAC=90o,D是AABC外一点，月.AD=AC,求

NBDC的度数.若以点A为圆心，AB为半径作辅助OA,则点C、D必在。A上，NBAC是。A的

圆心角，而/BDC是圆周角，从而可容易得到/BDC=°.

（2）（问题解决）

如图2,在四边形ABCD中，ZBAD=ZBCD=90o,ZBDC=25O,求NBAC的度数.

（3）（问题拓展）

如图3,如图，E,F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF.连接CF交BD于点

G,连接BE交AG于点H.若正方形的边长为2,则线段DH长度的最小值是.

9.在平面直角坐标系中，矩形OaBC的顶点A,C分别在X轴、y轴上，点8的坐标为

（2,2√3），将矩形OABC绕点A顺时针旋转ɑ,得到矩形OlaBIel,点。，B,C的对应点分别

为O↑,B↑,Cι.

（1）如图①，当α=45°时，O1C1与AB相交于点E,求点E的坐标；

（2）如图②，当点Oi落在对角线OB上时，连接BC1,四边形OACIB是何特殊的四边

形？并说明理由；

（3）连接BC1,当BC1取得最小值和最大值时，分别求出点Bl的坐标（直接写出结果即

可）.

10.如图所示，在等边三角形ABC中，BC=8cm,射线AG〃BC,点E从点A出发沿射线AG以

ɪem/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm∕s的速度运动，设运动时间为t（s）

-»EG

B→FC

(1)填空：当t为S时，AABF是直角三角形；

(2)连接EF,当EF经过AC边的中点D时，四边形AFCE是否是特殊四边形？请证明你的结

论.

11.如图，在四边形ABCD中，ZA=90o,AD〃BC,AD=2,AB=6,CD=IO,点E为CD的中点，

连结BE,BD,作DFLBE于点F。动点P在线段BC上从点B向终点C匀速运动，同时动点Q在

线段CD上从点C向终点D匀速运动，它们同时到达终点。

(1)求tanC的值。

(2)求DF的长。

(3)当Po与ABDF的一边平行时，求所有满足条件的BP的长。

12.如图，菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,AC=12cm,BD=16cm,动点N从点D出

发，沿线段DB以2cm∕S的速度向点B运动，同时动点M从点N出发，沿线段BA以ICm/S的速度

向点A运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也随之停止.设运动时间为t(s)(t>0),以点

M为圆心，MB为半径的。M与射线BA,线段BD分别交于点E,F,连接EN.

(1)求BF的长(用含有t的代数式表示)，并求出t的取值范围;

(2)当t为何值时，线段EN与。M相切？

(3)若。M与线段EN只有一个公共点，求t的取值范围.

13.如图，在RtAASC中，ZA=90o,AC=3,AB=A,动点P从点A出发，沿AB方向以每秒2个

单位长度的速度向终点6运动，点Q为线段AP的中点，过点P向上作PMJ且PM=3AQ,以

PQ.PM为边作矩形PQVM.设点P的运动时间为r秒.

(I)线段MP的长为(用含f的代数式表示).

(2)当线段MN与边BC有公共点时，求f的取值范围.

(3)当点N在AABC内部时，设矩形PQVM与AABC重叠部分图形的面积为S,求S与/之间

的函数关系式.

(4)当点M到AABC任意两边所在直线距离相等时，直接写出此时，的值

14.如图，在平面直角坐标系XOy中，四边形OABC是矩形，点B的坐标是(8,6),点、M为

OA边上的一动点(不与点0、A重合)，连接CM,过点M作直线I1CM,交AB于点

D,在直线I上取一点E(点E在点M右侧)，使得法=之,过点E作EFllAO,交BO

于点F,连接BE,设OM=m(0<m<8).

(1)填空：点E的坐标为(用含m的代数式表示)；

(2)判断线段EF的长度是否随点M的位置的变化而变化？并说明理由；

(3)①当m为何值时，四边形BCME的面积最小，请求出最小值；

②在X轴正半轴上存在点G,使得&GEF是等腰三角形，请直接写出3个符合条件的点G

的坐标(用含m的代数式表示).

15.如图1,在菱形ABCD中，AB=15,过点A作4E1BC于点E,AE=12,动点P从点B出

发，以每秒3个单位长度的速度沿BE向终点E运动，过点P作PQ_LBC,交BA于点Q,以PQ为

边向右作正方形PQMN,点N在射线BC上，设点P的运动时间为t秒.

(1)求菱形对角线AC的长；

(2)求线段AQ与时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围.

(3)如图2,AC交QM于点F,交QN于点0,若0是线段QN的中点，求t的值.

16.如图，BD是^ABCD的对角线，AB=7,BD=4√2,NABD=45。，动点P、Q

分别从A、D同时出发，点P沿折线AB-BC向终点C运动，在AB上的速度为每秒7个单

位，在BC上的速度为每秒5个单位，点Q以每秒2√Σ个单位的速度沿DB向终点B运

动.连结PQ,以DQ、PQ为边作团DEPQ,设点P的运动时间为t(s)(t>0).

(1)当点P在边AB上时，用含t的代数式表示点P到BD的距离.

(2)当点E落在边CD上时，求t的值.

(3)设SDEPQ与SABCD重叠部分图形的面积为S,求S与t之间的函数关系式.

(4)连结EQ,直接写出直线EQ与直线BD所夹锐角的正切值.

答案解析部分

1.【答案】(I)解：如图1,

・・・四边形ABCD是矩形，

・・・DC=AB=2,∆ADC=乙BCD=90°.

又••・AF1DE,

・・.∆ADF=Z-DCE=90o,∆DAF=乙EDC=90°-∆DFA,

ΛΔADF-ΔDCE,

AD_DF

∙∙DC^CE,

4_X日n1

•・2=y9BPy=2x-

♦.,点E在线段BC上，与点B、C不重合，

・•・0<yV4,.∙.0<ɪɪ<4,即0<X<8,

ʃ2

:.y--X,(0<X<8);

(2)解：①当点F线段DC上时，

CF=1,

・•・DF=x=2-1=1,此时CE=y=⅛x=⅛;

②当点F线段DC延长线上时，

VCF=1,

Aɔ

・・.DF=x=2+l=3,此时Cf=y=-%=-；

当CF=I时，EC的长为:或§；

(3)解：在Rt△ADF中，AF=Λ/AD2+DF2=√16+x2,

在Rt△DCE中，DE=√EC2+DC2=J(∣x)2+4=∣√16+x2，

”四边形ABCD是矩形，

AD//BC,

.∙.ΔADFS∆GCF,

.AF_DF

∙∙GF=~CF,

.∙.FG=喋磐=—√x2+16.

DFx

%∙乙DEC=∆AFD=90-乙EDC,

・•・乙BED=乙DFG,

•••当ΔDBE与ΔDFG相似时，可分以下两种情况讨论:

(1)∆DEB-ΔGFD,如图2,

图2

右

川Inll有EDB=FDG,

・・・ED∙FD=FG∙EB,

∙*∙BJ%)+16∙X=+16,(4_ɪɪ)，

解得：X=].

②若ΔDEBSΔDFG,如图3,

图3

后

则mil有EDB=TFGD'

：,ED∙FG=EB∙FD,

:∙ɪJ/+16,y]N+16=(4-ɪɪ)∙X

整理得：3%2+8%-16=0,

解得：打=/，％2=-4(舍去).

综上所述：DF的长为卷或界

2.【答案】解：・・•点4（一2,0）,

:.0A=2.

在RtZkADO中，∆DA0=60°,

：•DO=OA-tanzZMO—2×tan60o=2Λ∕3.

又点D在y轴正半轴上，

，点D的坐标为(0,2√3).

(II)剪切下△4。。并将其沿X轴正方向平移，点A的对应点为/,点D的对应点为。'，点O的对

应点为0‘，设00'=3△4)0'和四边形OBCD重叠部分的面积为S.

①如图②，若平移后AAOO'和四边形OBCD重叠部分是五边形时，∕D'交y轴于点E,0力'交

BC于点F,试用含有t的式子表示S,并直接写出t的取值范围；

②28

当

<<小

3---3-求S的取值范围(直接写出结果即可).

【答案】解：①由平移可知，AADO三A4'D'0',AD//BC,

,∙AO=Ao=2，DO=DO=2√3-/.D'A'B=/.CBO'=60°.

由0。，=3B(1,0)知，AO=AO-OO=2-t>BO'=00'-OB=t-1,

在Rt中，EO=A'O-tan∆EA'0=(2-t)∙tan60o=√3(2-t)∙

∙"∕EO=^,O∙OE=f∙(2-t)∙√3(2-t)=f(2-t)2-

同理如£=如。'•尸。'=坐("1产

又S”/0，=∣∕θ,∙DO=∣×2×2√3=2√3.

:∙S=S-SAA'EO_SABF0,-2vɜ-ɪ(2_t)2_亨(1_1)/

即S=-√3t2+3√3t-ɪ(l<t<2)∙

②朵百≤s≤（√^∙

Io住

3.【答案】（1）证明：设AE=α,则AD=九。，

由对称知，AE=FE,

・•.∆EAF=Z.EFA,

VGF1AF,

・・・∆EAF+∆FGA=Z.EFA+乙EFG=90°,

・•・∆FGA=乙EFG,

・・・EG=EF,

：・AE=EG；

（2）解：如图1,当点F落在AC上时，

由对称知，BELAF,

・・・∆ABE+LBAC=90°,

V∆DAC+Z-BAC=90°,

・•・Z-ABE=Z.DAC,

•・•∆BAE=乙D=90°,

ʌΔABESΔDAC,

•・•AB=DC,

DA~~DC

・,.AB2=AD∙AE=na2,

VAB>0f

・•・AB=√nα,

AD_Tla

AB~>∕na

（3）解：若AD=4AB，贝I」AB=^a,

q

如图2,当点F落在线段BC上时，EF=AE=AB=a,此时1a=a,

.∙.n=4,

・・・当点F落在矩形内部时，n>4,

・.・(CGF=90°,如图3,

Λ∆CGD+Z.AGF=90°,

V∆FAG+∆AGF=90°,

••・∆CGD—Z-FAG—∆ABE,

•・•∆BAE=乙D=90°,

ʌΔABESΔDGC,

AB_AE

∙∙DG=DC,

ʌABDC=DG-AE,

,∙*DG=AD—AE-EG=ZlQ-2。=(九一2)Q,

71n

Qa)2=(n-2)a-a,

∙∙.n=8+4√Σ或n=8-4√Σ(由于n>4,所以舍)，

即：n=8+4√2

4.【答案】⑴解:VBE=tcm,BF=2tcm,AE=(6-t)cm,CF=(12-2t)cm,

•♦S∆DEF-S矩彩ABCD-SAAED-S∆BEF-SACDF,

ΛS=12×6-ɪ×12×(6-t)-It×2t-∣×6×(12-2t)=-t2+12t,

t>0

根据题意得6—t≥0,

,12—2t≥0

解得0<t<6;

(2)解：由勾股定理可，EF2=BE2+BF2=5t2,

DF2=CD2+CF2=4t2-48t+180,

DE2=AD2+AE2=t2-12t+180,

①当NEDF为直角时，EF2=DE2+DF2,

即5t2=t2-12t+180+4t2-48t+180,

解得t=6,

ΛS=-62+12×6=36;

②当NDEF为直角时，DF2=DE2+EF2,

即6t2-12t+180=4t2-48t+180,

解得t=0或-18,

V0<t<6,

•••都不符合；

③当NDFE为直角时，DE2=DF2+EF2,

即5t2+4t2-48t+18O=t2-12t+180,

解得t=o(舍)或t=I.

2

∙∙∙S=-(∣)+12×^=33∣.

5.【答案】⑴3AE=4CG或AE=&G或我E=CG或震=g等

(2)解：解：①如图，过点E作EHLAD于点H,

在RtAEDH中，ZEDA=60o,ED=^AD=∣×8=4,

：.DH=∣DE=∣×4=2,

.'.EH=DE-SinZJWE=4×sin60o=2√3,

ΛAH=AD-HD=8-2=6,

在RtAAHE中，根据勾股定理可得AE=4AH?+EH?=jð2+(2√3)2=4√3;

②3AE=4CG或4E=A=CG或%E=CG或缥=等等，

ɔ4∙CUJ

证明如下：

由题可知：ZADC=ZCDG=60°,解=瞪=与即霁=器，

Λ∆ADESZSCDG,

E力D84

-=-=--

GCD63

即3AE=4CG或4E=W=CG或%E=CG或循=1等;

(3)解：CG=3"+3,zAPC=60°

6.【答案】(1)解：过点B作BM_LX轴于点M

ΛBC√OA

ΛZABC=ZBAM

∙.∙BM=2,AM=2√3

AtanZBAM=叵

3

ΛZABC=ZBAM=30o

(2)解：：AB〃DF

ΛZCFD=ZCBA=30o

在RtZiDCF中，CD=2-t,ZCFD=30o,

ΛCF=√3(2-t)

ΛAB=4,

ΛBE=4-2t,ZFBE=30o,

•RF-2(4-2t)

/F—-/F-

Λ√3(2-t)+2∕t)=3√3,

.∙.t=I

(3)解：①连接DE,过点E作EG,X轴于点G,

贝IJEG=t,OG=√3+

∙".E(V3+√3t>t)

ΛDE√x轴

S=SΔDEF+SΔDEA=ɪDE×CD+ɪDE×0D

—ɪDE×0C=ɪ×(V3t+√3)×2

=√3+√3t.

②当S<2√3时，

由①可知，S=√3+√3t

Λ√3t+√3<2√3,

Λt<l,

Vt>O,

ΛO<t<b

Yy=-χ2+mx,点E(√3+√3t,t)在抛物线上，

当t=0时，E(√3.0),

.∙.m=√3,

当t=l时，E(2遮，1),

•m-13√3

6

Λ√3<m<Iy

6

7.【答案】(1)解：在矩形ABCD中，AD=2√5,AB=4√5,ZADC=90o,

2222

'AC=y∣AD+DC=J(2√5)÷(4√5)=□

VDM±AC,

ΛZADM=ZDCM,

ΛAM=AD∙sinZADM=AD∙sinZDCM=2√5×=2,

<2CN=3AM,

ΛCN=3,AN=AC-CN=7,

VAD√CE,

・•・△ADN^ΔCEN,

.AD_AN

∙*CEr=CW'

・2√57

"CE=3'

.,.CE=迪

7

(2)解：①若EF〃AC,则EF=√5BE=√5x竽=岑

VP,Q匀速运动,设y=kx+b,(k≠0),

令x=0,y=b,此时点P在E点，Q在M点，b=AM=2;

令y=7时，此时Q在N点，P在F点，X=岁，

(2=b

即

(7=-4y0∕c,+,,b,

7

解得k=8-

∙β∙y=QX+2；

②(i)当QP〃DM时，AN-y+CN-∣=x,

解得X=翳，

(ii)当QP〃MF时，四边形QMFP是平行四边形，由MQ=FP得，y-2=与-x,

解得X=桀，

(iii)当QP〃NE时，四边形QPEN为平行四边形，由QN=EP可得，7-y=x,

解得X=§.

综合以上可得，满足条件的X的值为舞或芸或I

(3)解：PQ同时经过B,D时，Q为AC的中点，此时MQ=3,QN=2,

由题意知露=能=1，

过点P作PHLBE,EH=IEB==24√≡,BH=,

ɔ5/ɔiɔɔɔ

贝IJEH：PH：EP=3：4：5,

∙"∙EF—BE=8√5=40√5

X721

vMN5

∙∙.Q,P的运动速度比为1访=面r=而后=4卓

z-2Γ4U

8.【答案】⑴45

(2)解：如图2,取BD的中点O,连接AO、CO.

∙.∙∕BAD=∕BCD=90°,

.∙.点A、B、C、D共圆，

ΛZBDC=ZBAC,

VZBDC=25o,

；.NBAC=25。，

(3)√5-1

9.【答案】(1)解:

：矩形OABC,

."048=90。.

"J∆OAO1=45°,

."OiAE=45。.

o

∖,∆AO1E=90,O1A=OA=2,

,

..01F=AF=FE=√2,

：-AE=AF+EF=2√2.

∙,∙F(2,2√2).

(2)解：四边形OAClB是平行四边形.

在Rt∆AOB中，tanz√10B=器==遮>

：.Z.B0A=60°.

同理，∆O1AC1=60°.

=O1A,

...△。401是等边三角形.

ΛZOXO1=60°.

.".AC1与X轴的夹角等于60°.

：.BoUACl.

又BO=AC1,

.∙.四边形OAGB为平行四边形.

(3)(2+√3,3),(2-√3,-3)

10.【答案】(1)2或8

(2)解：四边形AFCE是平行四边形，证明如下:

如图3,过点A作AHLBC于点H

图3

=NABC=60。，AB=8cm

AsinZABC=她=y，cosZABC=空=5

AB2AB2

ΛAH=2AB=4√3cm,BH=ɪAB=4cm

・.,AG〃BC

ΛZEAD=ZFCD,NAED=NCFD

・・,点D是AC中点

ΛAD=CD

⅛ΔADE⅛ΔCDF中

(∆AED=乙CFD

∖∆EAD=Z.FCD

(AD=CD

Λ∆ADE^∆CDF(AAS)

ΛDE=DF

・・・四边形AFCE是平行四边形

JAE=CF

VAE=t,CF=BC-BF=8-2t

Λt=8-2t

解得：t=I

ΛAE=Icm,BF=竽cm

ΛBF>BH,AF>AH,ZAFC>90o

ΛAF≠AE

・・・四边形AFCE不是菱形或矩形，四边形AFCE是平行四边形.

IL【答案】(1)解：过点D作DGLBC于点G,

・.,AD〃BC,ZA=90o,

.∖ZDGC=90o,AD=BG=2,

.∙.DG=AB=6,GC=S,ΛtanC=g≤=A=∣

(2)解：过点E作EMLBe于点M,

,.∙E为De中点，,EM为ADGC的中位线,

.∙.EM=iDG=3,CM=ɪGC=4,

・•・MC=VfC2—EM2=Vs2-32=4»

,∙,BC=BG+GC=AD+GC=2+8=10,

ΛBM=BC-MC=10-4≈6,

2222

'BE=y/BM+EM=√6+3=3√5，

YE为CD的中点，

.,.SΔBDE=ɪSΔBDC=∣×∣×DG×BC=^×ɪ×6×10=15,

/.SABDE=ɪBEDF=I5

Wi×3√5XDF=I5

ΛDF=2√5∙

(3)解：由题意可知BC=CD,所以动点P与Q的运动速度相等,

⅛BP=CQ,设BP=x,贝IJCP=I()-x

①当PQ〃BD时，△CPQSACDB

CMQsz∖CGD

ΛCQ=CP

：•10-x=x

Λx=5,/.BP=5

②当PQ〃BF时，^CQPsaCEB,

∙CQ_CP.X_10—%

^CE=BC,∙,5=T0-

.∙.X=学，ΛBP=学

③当PQ〃DF时，延长DF交BC于H,

VBD=2√10,DF=2√5,,BF=2√5

Λ∆BDF为等腰直角三角形

YABDC为等腰三角形

根据轴对称性，点H为BC的中点（注：也可ACDH&Z∖CBE）

ΛCH=5

•CQ_CP.X_10—x

VPQ√DF,^CD=CH^10=~5~

，X=孚.∙.BP=20

T

.∙.BP=5或学或孕

12.【答案】（1）解：连接MF.：四边形ABCD是菱形,ΛAB=AD,

AC±BD,OA=OC=6,OB=OD=8,

在Rt∆AOB中，AB=√62+82=1。，

VMB=MF,AB=AD,

.∙.ZABD=ZADB=ZMFB,

ΛMF/7AD,

.BM_BF

'''BA=BD'

.t_BF

,,Tθ=16，

ΛBF=It(0<t<8).

(2)解：当线段EN与。M相切时，易知^BENSAB0A,

.BE_BN

''OB=AB'

.2t_16-2t

∙∙u-

.•・一-3y2-.

・・/=苧S时,线段EN与。M相切.

(3)解：①由题意可知：当OVtW竽时，OM与线段EN只有一个公共点.②当F与N重合

时，则有It+2t=16,解得t=等,

观察图象可知，挈＜tV8时，(DM与线段EN只有一个公共点.

综上所述，当0＜区竿或等＜t＜8时，G)M与线段EN只有一个公共点.

13.【答案】(1)3t

(2)解：如图2-1中，当点M落在BC上时，

图2-1

・.・PM〃AC,

.PM_PB

一次一丽’

•3t_4-2t

解得t=I

如图2-2中，当点N落在BC上时,

图2-2

VNQ√AC,

-NQ_BQ

AC~BA'

・3t_4-t

•,包=丁'

解得t=I

综上所述，满足条件的t的值为I<t<I.

(3)解：如图3-1中，当O<twI时，重叠部分是矩形PQNM,S=3t2

图3-1

如图3-2中，当IVt1时，重叠部分是五边形PQNEF.

图3-2

22

S=S®®PQNM-SΔEFM=3t-B'(4-2t)]∙g[3t-'(4-2t)]=-ɪt+18t-6,

zɔ

3t2(O<t≤5)

综上所述，S=217ɜ.

—2^+18t—6<t≤ʒ)

(4)如图4-1中，当点M落在NABC的角平分线BF上时，满足条件.作FE,BC于E.

图44

YNFAB=NFEB=90°,ZFBA=ZFBE,BF=BF,

・•・△BFA^∆BFE(AAS),

ΛAF=EF,AB=BE=4,设AF=EF=x,

VZA=90o,AC=3,AB=4,

22

JBC=y/AC+AB=5,

ΛEC=BC-BE=5-4=1,

在RtZkEFC中，则有χ2+F=(3-χ)2,

解得X=I，

・.・PM〃AF,

PMPB

T4FBA'

t34-2t

4,

3­4

.-1

∙∙tt^TT

如图4-2中，当点M落在NACB的角平分线上时，满足条件作EFLBC于F.

C

同法可证：△ECA丝4ECF(AAS),

二AE=EF,AC=CF=3,设AE=EF=y,

ΛBF=5-3=2,

在RtAEFB中，则有χ2+22=(4-x)2,

解得X=§,

•；PM/7AC,

.PM_PE

^~AC=AE'

•3t一尹2t

..百一1一，

2

解得t=I

如图4-3中，当点M落在△ABC的/ACB的外角的平分线上时，满足条件.

设MC的延长线交BA的延长线于E,作EFlBC交BC的延长线于分,

同法可证：AC=CF=3,EF=AE,设EF=EA=x,

在RtaEFB中，则有χ2+"=(χ+4)2,

解得x=6,

VAC∕/PM,

.AC_EA

'"PM~EP'

.3t_6

,,T=6+2t'

解得t=I,

综上所述，满足条件的t的值为A或今或S.

14.【答案】(1)(m+2,ɜm)

(2)解：设直线BO的解析式为：y=kx,

把点B的坐标是(8,6),代入上式可得：6=8k,解得：k=I,

.∙.直线Bo的解析式为：y=IX,

：点E的坐标为(m+3，Im),EF//A0,

，点F的坐标为(m,Im),

：.EF=m+I-m=I,即：线段EF的长度不会随点M的位置的变化而变化

（3）解：①连接CE,过点E作EQ_LBC于点Q,

：点E的坐标为（m+义，Im）,

.∖EQ=6-Mm,

V0C=6,OM=m,

∙*∙CM=ʌ/ɜð÷m2，

..OC_OM_CM

ΛMN~~NE~ME~3'

.∙.ME=,CM=*ʌ/ɜð÷m2，

四边形BCME的面积=^CM-ME+\BC-QE=∣m2-3m+^=∣（m-4）2+ɪ,

即：当m=4时，四边形BCME的面积最小值为：竽；

②(a)当点G为顶角顶点时，如图，则G(Tn+*+m,o),即：G(m+∕θ)，

(b)当点E为顶角顶点时，如图，贝IJEG=EF=I,EHTm,GH=J(I)L(轴,=

ξ√36—m2，

Qɔ_______、Qɔ_______

∙∙G(τιτ+3+4、36—z∏2,0)或G(τn+]—彳V36—Tfi^,0),

—

综上所述：G的坐标可以是：G(m÷ξl0)或G(m+,+)>36-旅,0)或G(m÷

Q-----------

2・

74√36-m,0)

15.【答案】⑴解:如图，连结力C,

・・・四边形ABCD是菱形，

：.AB=BC=15,

9：AE1BC,

.∖∆AEB=90o,

9：AB=15,AE=12,

,BE=y∕AB2-AE2=9,

/.CF=BC-SF=15-9=6,

，在Rt△ACE中，AC=∖∣AE2÷CE2=6Λ^5;

(2)解：•：PQ1BC,

；.PQIlAE,

••・△BPQSXBEA,

・BP_PQ_BQ

即等=*=辔

：・BQ—53PQ—43

：.AQ=AB-BQ=15-5t,(O≤t≤3)

(3)解:,：QMHBC,

AQFSRABC,乙OQF=乙ONC

-AQ_QF

,•而一阮’

∖9AB=BC,

：.AQ=QF,

TO是QN的中点，

：.OQ=ON；

(∆OQF=2ONC

⅛ΔOQFfΠΔO∕VCψ,OQ=ON,

ZFOQ=∆CON

：.4OQFONC(ASA)9

：.FQ=CN,

：.AQ=FQ=CN,

∙.∙BP=33PQ=PN=4t,

：.BN=73

：.AQ=BN-BC=7t—15=15—53

解得：t=1

16.【答案】(1)解：如图①，过点P作PFLBD于点F

图①

在RtAPFB中，乙PFB=90°