专题05导数的综合问题（九大考点）（原卷版）

专题05导数的综合问题思维导图核心考点聚焦考点一：构造函数解不等式问题考点二：证明不等式考点三：恒成立问题考点四：能成立问题考点五：零点问题考点六：方程的根问题考点七：双变量问题问题考点八：实际应用问题考点九：极值点偏移问题1、恒成立问题（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；（2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则不等式在区间D上恒成立．不等式在区间D上恒成立．（3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；（4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论：不等式在区间D上有解不等式在区间D上有解（5）对于任意的，总存在，使得；（6）对于任意的，总存在，使得；（7）若存在，对于任意的，使得；（8）若存在，对于任意的，使得；（9）对于任意的，使得；（10）对于任意的，使得；（11）若存在，总存在，使得（12）若存在，总存在，使得．2、破解双参数不等式的方法：一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果．3、函数零点问题的常见考点：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围．求解步骤：第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与轴（或直线）在某区间上的交点问题；第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像；第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数．1、极值点偏移的相关概念所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性．若函数在处取得极值，且函数与直线交于两点，则的中点为，而往往．如下图所示．图1极值点不偏移图2极值点偏移极值点偏移的定义：对于函数在区间内只有一个极值点，方程的解分别为，且，（1）若，则称函数在区间上极值点偏移；（2）若，则函数在区间上极值点左偏，简称极值点左偏；（3）若，则函数在区间上极值点右偏，简称极值点右偏．2、利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数．（4）对数单身狗，指数找基友（5）凹凸反转，转化为最值问题（6）同构变形考点剖析考点一：构造函数解不等式问题例1．（2024·陕西西安·高二统考）已知是函数的导函数，，且对于任意的有．请你试用构造函数的方法，利用函数的单调性判断下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．例2．（2024·全国·高三专题练习）若函数在R上可导，且满足恒成立，常数则下列不等式一定成立的是（）A． B．C． D．例3．（2024·湖北武汉·高二武汉市育才高级中学校联考期末）已知定义域为的奇函数的图象是一条连续不断的曲线，当时，，当时，，且，则关于的不等式的解集为（

）A． B．C． D．考点二：证明不等式例4．（2024·浙江·高三专题练习）证明以下不等式：(1)；(2)；(3).例5．（2024·全国·高二专题练习）当时，证明：不等式.例6．（2024·山东菏泽·高二校考阶段练习）已知函数在处取得极值.(1)求实数的值;(2)证明:对于任意的正整数,不等式成立.考点三：恒成立问题例7．（2024·天津·高二天津市西青区杨柳青第一中学校联考期末）已知函数其中为常数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)求的单调区间；(3)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.例8．（2024·全国·高三专题练习）已知函数，其图象在点处的切线方程为．(1)求，的值与函数的单调区间；(2)若对，，不等式恒成立，求的取值范围．例9．（2024·陕西榆林·高二校考）已知函数，.(1)当时，求函数的极值；(2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.考点四：能成立问题例10．（2024·四川雅安·高二雅安中学校考阶段练习）已知函数.(1)若，求函数的极小值.(2)存在，使得成立，求实数的取值范围．例11．（2024·重庆铜梁·高二铜梁一中校考阶段练习）已知函数在处取得极值，其中为常数.（1）试确定的值；（2）讨论函数的单调区间；（3）若对任意，不等式有解，求的取值范围.例12．（2024·陕西西安·高三阶段练习）已知函数.（1）若，求曲线在处切线的方程；（2）求的单调区间；（3）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围.考点五：零点问题例13．（2024·四川·高三统考对口高考）已知a，b为实数，是定义在R上的奇函数．(1)求a，b的值；(2)证明：函数有唯一零点．例14．（2024·四川资阳·高二校考）已知三次函数的极大值是，其导函数的图象经过点，如图所示，求(1)，，的值；(2)若函数有三个零点，求的取值范围．例15．（2024·青海西宁·统考二模）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若恰有一个零点，求a的值．考点六：方程的根问题例16．（2024·四川乐山·高二期末）已知函数．(1)求的极值；(2)求方程有两个不同的根，求的取值范围．例17．（2024·北京大兴·高二统考）已知函数．(1)求的极值；(2)比较的大小，并画出的大致图像；(3)若关于的方程有实数解，直接写出实数的取值范围．例18．（2024·北京·高二北京市第三十五中学校考）已知函数.(1)求的单调区间；(2)求在区间上的最大值和最小值.(3)若方程有三个根，写出k的取值范围（无需解答过程）.考点七：双变量问题问题例19．（2024·四川凉山·高二宁南中学校联考期末）已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)若恒成立，求的取值范围．例20．（2024·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考阶段练习）已知，函数．(1)当与都存在极小值，且极小值之和为0时，求实数的值；(2)当时，若，求证：例21．（2024·吉林长春·高二长春市第五中学校考阶段练习）已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)对任意的、，当时都有，求实数的取值范围.考点八：实际应用问题例22．（2024·江苏盐城·高二江苏省射阳中学校考阶段练习）已知某商品的成本和产量满足关系（元），该商品的销售单价和产量满足关系式（元），记该商品的利润为（假设生产的商品能全部售出，利润=销售额成本）．(1)将利润（元）表示为产量的函数；(2)当产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少万元？例23．（2024·全国·高二专题练习）为进一步推进国家森林城市建设，我市准备制定生态环境改造投资方案，该方案要求同时具备下列两个条件：①每年用于风景区改造的费用随每年改造生态环境总费用增加而增加；②每年用于风景区改造的费用不得低于每年改造生态环境总费用的，但不得高于每年改造生态环境总费用的.若每年改造生态环境的总费用至少亿元，至多亿元；请你分析能否采用函数模型作为生态环境改造投资方案．考点九：极值点偏移问题例24．（2024·河北唐山·高三开滦第二中学校考阶段练习）已知函数.(1)若函数有两个零点，求的取值范围；(2)设是函数的两个极值点，证明：.例25．（2024·四川南充·高二统考期末）设函数．(1)当时，讨论函数的单调性；(2)设，记，当时，若方程有两个不相等的实根，求证：．例26．（2024·广东深圳·高三校联考阶段练习）已知函数(1)若对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围；(2)设是两个不相等的实数，且．求证：过关检测1．（2024·陕西西安·高二校考）已知函数的定义域为，其导函数是．若恒成立，则关于的不等式的解集为（

）A． B．C． D．2．（2024·湖北·高二校联考）已知函数的定义域为，其导函数是.有，则关于x的不等式的解集为（）A． B． C． D．3．（2024·陕西商洛·高二校考）已知函数．(1)当时，求函数的最小值；(2)当时，证明：不等式在上恒成立．4．（2024·江西南昌·高三校联考阶段练习）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)当时，证明：不等式.5．（2024·安徽芜湖·高二安徽师范大学附属中学校考）已知函数在与处都取得极值．（1）求，的值；（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．6．（2024·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考阶段练习）已知函数.（1）求函数在区间上的最大值和最小值(参考数据：)；（2）若不等式有解，求实数a的取值范围.7．（2024·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考）已知函数，.(1)求函数的单调区间；(2)若函数在上有两个不同的零点，求实数的取值范围.8．（2024·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中学校联考）已知函数.(1)求曲线在处的切线方程；(2)方程恰有两个不同的实根，求的取值范围.9．（2024·广东揭阳·高二惠来县第一中学校考阶段练习）设函数.(1)当时，求函数的单调区间；(2)若函数有两个极值点，且，求的最小值.10．（2024·高二单元测试）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：m），其中容器的中间为圆柱体，左右两端均为半球体，按照设计要求容器的体积为m3.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱体部分每平方米建造费用为3万元，半球体部分每平方米建造费用为4万元．设该容器的总建造费用为y万元．(1)将y表示成r的函数，并求该函数的定义域；(2)确定r和l为何值时，该容器的建造费用最小，并求出最小建造费用．11．（2024·黑龙江牡丹江·高二牡丹江市第二高级中学校考阶段练习）某汽车公司生产一种品牌汽车，上年度成本价为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5万辆．本年度公司为了进一步扩大市场占有量，计划降低成本，实行降价销售．设本年度成本价比上年度降低了